1.4.2二次函数与一元二次方程（八大题型提分练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《第1章 二次函数》 1.4.2 二次函数与一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程的联系 ★1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. ★2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 知识点二 用图象法解一元二次方程 ★图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点三 二次函数与不等式（组） ★二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标 解题技巧提炼 1、求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0， 即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 2、求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与y轴的交点坐标，令x＝0, y=c , 即与y轴的交点坐标是（0，c）． 1．二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣6） B．（﹣6，0）、（1，0） C．（﹣1，0）、（6，0） D．（3，0）、（2，0） 【分析】根据题意可知，抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，将y＝0代入函数解析式求出相应的x的值，即可得到二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣5x﹣6， ∴当y＝0时，0＝x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）， 解得x1＝6，x2＝﹣1， ∴二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（6，0）， 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确抛物线与x轴的交点的纵坐标为0． 2．（2023•泉州一模）二次函数y＝2x2﹣3x+1的图象与y轴的交点坐标为 　 　． 【分析】将x＝0代入解析式求解． 【解答】解：将x＝0代入y＝2x2﹣3x+1得， y＝1， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1）， 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 3．（2024•高新区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 【分析】先把x＝2代入ax2+k＝0得出k＝﹣4a，再把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k，然后令y＝0，解方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2， ∴4a+k＝0， 解得k＝﹣4a， 把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k中， 得y＝a（x+1）2﹣4a， 当y＝0时，a（x+1）2﹣4a＝0， 即a（x+1）2＝4a， ∵a≠0， ∴（x+1）2＝4， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣3，0）， 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解一元二次方程﹣直接开平方法，关键是解方程方法的应用． 4．（2023秋•安阳校级期中）抛物线y＝3（x﹣2）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 　 ． 【分析】利用抛物线解析式得出对称轴，进而利用其中一个交点坐标为（﹣1，0），得出另一个交点坐标． 【解答】解：∵函数y＝3（x﹣2）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0）， ∴抛物线对称轴为：直线x＝2， ∴则它与x轴的另一个交点坐标是：（5，0）． 故答案为：（5，0）． 【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，得出二次函数对称轴是解题关键． 5．（2024•柳州三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则另一个交点的横坐标为（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 【分析】先求出二次函数对称轴，再根据对称性求出另一个交点的横坐标． 【解答】解：∵对称轴为直线x， ∴另一个交点的横坐标为2×2﹣（﹣1）＝5， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象的对称性，求出二次函数对称轴是解题的关键． 6．（2023秋•灵宝市期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … ①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）； ②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）； ③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）； ④当x＝﹣1时，对应的函数值y为﹣5．以上结论正确的是　 　． 【分析】由上表得与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）；函数图象有最低点（1，﹣9）；由抛物线的对称性可得出可得出与x轴的另一个交点坐标为（4，0）；当x＝﹣1时，对应的函数值y为﹣5．从而可得出答案． 【解答】解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得， ①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）； ②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）； ③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）； ④当x＝﹣1时，对应的函数值y为﹣5． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，锻炼了学生数形结合的思想方法． 题型二 判断抛物线与坐标轴的交点情况 解题技巧提炼 ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1．（2022秋•云龙县期末）二次函数y＝9x2+1的图象与x轴的交点个数是（　　） A．1个 B．2个 C．1个或者2个 D．0个 【分析】根据一元二次方程的判别式的符号判断方程9x2+1＝0根的情况即可解答． 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣36＜0， ∴方程9x2+1＝0无实数根， ∴二次函数y＝9x2+1的图象与x轴无交点，即0个交点， 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数的图象与x轴的交点和对应一元二次方程的根的情况之间的联系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解答的关键． 2．（2022秋•临邑县校级月考）抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据b2﹣4ac的取值情况来进行判断． 【解答】解：∵b2﹣4ac ＝4﹣4×3 ＝﹣8＜0， ∴抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是0， 故选：A． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握根据b2﹣4ac的取值情况判断抛物线与x轴的交点，其中二次函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键． 3．二次函数y＝x2﹣6x+9与坐标轴的交点个数是（　　） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点 【分析】令x2﹣6x+9＝0，根据判别式Δ＝0，判断二次函数y＝x2﹣6x+9与x轴只有一个交点，再由二次函数的图象与y轴一定有一个交点可得出结论． 【解答】解：令x2﹣6x+9＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×9＝36﹣36＝0， ∴二次函数y＝x2﹣6x+9与x轴只有一个交点． ∵二次函数的图象与y轴一定有一个交点， ∴二次函数y＝x2﹣6x+9与坐标轴的交点个数是2． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数与坐标轴的交点，解答本题的关键是通过判别式来判断二次函数与x轴交点的个数． 4．（2023•商南县校级模拟）已知点P（2﹣m，n），Q（m+2，n），且m≠0，在抛物线l：y＝ax2﹣（5﹣a）x+1+a上，则抛物线l与坐标轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】首先观察点P，Q的坐标可得出点P，Q关于直线x＝2对称，据此可得出抛物线L的对称轴为x＝2，然后根据抛物线的对称轴可求出a的值，最后再将a的值代入抛物线L的解析式即可判定抛物线与坐标交点的个数． 【解答】解：∵点P（2﹣m，n），Q（m+2，n）的横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴点P，Q关于直线对称， 又∵点P，Q在抛物线l上， ∴抛物线l关于直线x＝2对称，即抛物线l的对称轴为x＝2， ∴， 解得：a＝1， 此时抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2， ∵判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴抛物线l与x轴有两个不同的交点， 又∵c＝2， ∴抛物线与y轴的交点为（0，2）， ∴抛物线l与坐标轴的交点个数是3个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，对称轴等，解答此题的关键是根据点P，Q关于直线x＝2对称得出抛物线l的对称轴为x＝2． 5．（2024•海州区校级一模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，则函数y＝kx2﹣3x﹣b与x轴的交点有 　 　个． 【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，得出k＜0，b＜0，然后根据Δ＝9+4kb＞0，得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0， ∴kb＞0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4k•（﹣b）＝9+4kb＞0， ∴函数y＝kx2﹣3x﹣b与x轴的交点有2个， 故答案为：2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是确定k，b的符号． 6．（2023春•东莞市校级月考）已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与y轴交于点（0，3），求该函数的图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）令y＝0，则x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0，计算判别式即可得出结论． （2）根据题意求得抛物线的对称轴，进而根据自变量的取值范围求得最小值与最大值即可求解． 【解答】（1）解：令y＝0，则x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0， ∴Δ＝[﹣（m+2）2]﹣4（2m﹣1）， ＝m2+4m+4﹣8m+4， ＝m2﹣4m+8 ＝（m﹣2）2+4≥4， ∴Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个交点； （2）∵函数的图象与y轴交于点（0，3）． ∴2m﹣1＝3， ∴m＝2， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， 当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣1， ∴x1＝3，x2＝1， ∴该函数的图象与x轴的交点坐标（3，0）或（1，0）． 【点评】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型三 由二次函数解一元二次方程 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 1．（2023秋•建湖县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝0的解是 　 　． 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣8，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程x2+bx+c＝0的解． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣8，0）， 即x＝﹣8或2时，y＝0， ∴一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣8，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣8，x2＝2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 2．（2023•涵江区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 … y … 0 n ﹣3 m ﹣3 … 根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝5.5 C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝﹣2，x2＝7 【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则x＝﹣2或x＝7时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2+bx+c＝0的解． 【解答】解：∵x＝1时，y＝﹣3；x＝4时，y＝﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵x＝﹣2时，y＝0， ∴x＝7时，y＝0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝7． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 3．（2023•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（）+c（）2＝0， 设t，可得ct2+bt+a＝0， ∴t1＝1，t2， 由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝1，x2， 故选：C． 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键． 4．（2023秋•官渡区期末）抛物线y＝﹣x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣3 【分析】解法一：观察图象可得抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（1，0），再根据抛物线的对称性即可求解． 解法二：直接利用跟与系数的关系即可求解． 解法三：将（1，0）代入抛物线解析式中，求出b，再令y＝0，求解即可． 【解答】解：解法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线的另外一个交点为（﹣3，0）， ∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3． 故选：D． 解法二：由图象可设一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2， 则x1x2＝﹣3， 解得：x2＝﹣3， ∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3． 故选：D． 解法三：将（1，0）代入抛物线解析式中得﹣1+b+3＝0， ∴b＝﹣2， ∴y＝﹣x2﹣2x+3， 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， ∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题抛物线与x轴的交点、用函数观点解一元二次方程、跟与系数的关系，理解一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的解实质上是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是解题关键． 5．（2023•仙居县二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b的解为（　　） A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝﹣1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝﹣7 【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），b+4a＝0可得，b＝﹣4a，c＝﹣12a，方程ax2+bx+c＝0的解为﹣2或6，整理a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b可得a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，进而得到x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6，求出x的值即可得解． 【解答】解：由题意可知，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0， 则有4a﹣2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝﹣12a， ∴方程ax2+bx+c＝0可化为x2﹣4x﹣12＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝6， 整理关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b可得， a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0， ∴x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6， 解得x1＝﹣1，x2＝7， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0后得到x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6． 题型四 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 解题技巧提炼 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1．（2024•潼关县一模）如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（　　）范围之间． A．1～1.1 B．1.1～1.2 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【解答】解：观察表格可知：当x＝1.1时，y＝﹣0.49；当x＝1.2时，y＝0.04， ∴方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在范围是1.1＜x＜1.2． 故选：B． 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 2．（2023秋•沭阳县期末）下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（　　） A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+5x﹣3中a＝1＞0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴x， ∴x时y随x的增大而增大， ∵当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，y＝1.31＞0， ∴方程x2+5x﹣3＝0的一个正根：0.5＜x＜0.75， 故选：C． 【点评】解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 3．（2024春•海淀区校级月考）如表是若干组二次函数y＝x2﹣4x+c的自变量x与函数值y的对应值： x … 0.7 0.8 0.9 1.0 … y … 0.28 0.05 ﹣0.18 0.40 … 则下面哪个数是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）（　　） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【分析】观察表格可得0.05更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是0.8，再由y＝x2﹣4x+c的对称轴为x＝2得到方程x2﹣4x+c＝0的另一个近似根（精确到0.1）是3.2． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c， ∴对称轴为直线x＝2， 观察表格得：方程x2﹣4x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是0.8， ∴另一个近似根m满足2， ∴m＝3.2， 故选：C． 【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 4．（2023秋•江夏区校级期末）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，更靠近点（1.3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c＝0一个根的近似值． 【解答】解：∵x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.29； x＝1.3时，y＝ax2+bx+c＝0.14； ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，且更靠近点（1.3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.27． 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键． 5．（2023秋•江州区期末）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．6.17 B．6.18 C．6.19 D．6.20 【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝6.18时，y＝﹣0.01；当x＝6.19时，y＝0.02．”由﹣0.01更接近于0即可得出结论． 【解答】解：当x＝6.18时，y＝﹣0.01；当x＝6.19时，y＝0.02． ∵﹣0.01更接近于0， ∴方程的一个近似根为6.18． 故选：B． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 6．（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 题型五 已知二次函数的值求自变量或代数式的值 解题技巧提炼 由给出的二次函数的值列出关于自变量的方程，然后再解方程就可以得出自变量的值，从而也可以求出代数式的值. 1．（2022•单县一模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为 　 　． 【分析】将（m，0）代入函数解析式可得m2﹣m的值，进而求解． 【解答】解：将（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1， ∴m2﹣m+2022＝1+2023， 故答案为：2023． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 2．如果二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．5 B．3 C．3或-5 D．-3或5 【分析】根据二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，可以计算出相应的x的值，本题得以解决． 【解答】解：∵二次函数y=x2+2x-7， ∴当y=8时，x2+2x-7=8， 解得x1=-5，x2=3， 即x的值是-5或3， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二 次函数的性质解答． 3．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】把（m，0）代入抛物线解析式即可求得答案． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0）， ∴m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1， 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 4．（2023•武山县一模）已知，二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x＝x1+x2时，则y的值为（　　） A．2019 B．2017 C．2018 D．﹣2017 【分析】因为二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，所以x1+x2＝﹣b，当x＝x1+x2＝﹣b时，y＝（﹣b）2+b•（﹣b）﹣2017＝﹣2017，由此即可解决问题． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点， ∴x1+x2＝﹣b， ∴当x＝x1+x2＝﹣b时，y＝（﹣b）2+b•（﹣b）﹣2017＝﹣2017， 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（2023•新洲区模拟）若抛物线y＝x2﹣3x+1与x轴的一个交点为（t，0），则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】将（t，0）代入抛物线解析式，变形得到t4+1＝7t2，再整体代入即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+1与x轴的一个交点为（t，0）， ∴t2﹣3t+1＝0， ∴t2+1＝3t， ∴（t2+1）2＝（3t）2， ∴t4+1＝7t2， 原式， 故选：B． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点和整体代入思想，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 6．（2023春•杭州月考）已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（　　） A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b 【分析】设函数y′＝（x﹣c）（x﹣c﹣d），该函数与x轴的交点坐标为（c，0）、（c+d，0），函数y′向下平移3个单位得到y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3，该函数与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0），则a＜c＜c+d＜b，或a＜c+d＜c＜b即可求解． 【解答】解：设函数y′＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）， 则该函数与x轴的交点坐标为（c，0）、（c+d，0）， ∵函数y′向下平移3个单位得到y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3， ∴该函数与x轴的交点坐标为（a，0）、（b，0）， ∴a＜c＜c+d＜b，或a＜c+d＜c＜b． ∴|a﹣c|+|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a， 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象的平移，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标所代表的意义及函数特征等． 题型六 由二次函数与x轴交点个数求值或取值范围 解题技巧提炼 由抛物线与x轴的交点个数得出＝b2﹣4ac的值的情况，从而列出不等式求字母的取值的范围即可． 1．（2024•合肥模拟）已知二次函数y＝x2+（k﹣1）x+1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣1 【分析】根据二次函数图象与x轴有且只有一个交点，得出Δ＝0，即可求出k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+（k﹣1）x+1的图象与x轴有且只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2﹣4＝0， ∴k＝3或k＝﹣1， 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与x轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合来解题． 2．（2024•市中区校级二模）若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点， ∴Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k， 又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k且k≠0． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确记忆对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解题关键． 3．（2023秋•河西区期末）若抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，则实数k的值可以是 　 （写出一个即可）． 【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，可以得到Δ＜0，从而可以得到k的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＜0， 解得，k＞9， 故答案为：10（答案不唯一）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点． 4．（2023秋•浙江期末）若抛物线y＝kx2﹣3x+1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是 　 ． 【分析】根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴有两个交点，得到Δ＝（﹣2）2﹣4k×1＞0，k≠0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝9﹣4k＞0， 解得：k， 由于该函数为二次函数， 则k≠0． ∴k且k≠0． 故答案为：k且k≠0． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系，Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 5．（2024春•泸县校级月考）已知二次函数y＝（x﹣a﹣2）（x﹣a+2）﹣4a+12（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣3＜a＜2 B．a＞﹣3 C．﹣3≤a＜2 D．﹣3＜a≤2 【分析】先把二次函数解析式化为一般式，再根据二次函数与x轴没有公共点，得到判别式小于0，求出a＜2，再根据二次函数的增减性可得对称轴在直线x＝﹣3右侧或就为直线x＝﹣3，据此求解即可． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣a﹣2）（x﹣a+2）﹣4a+12═x2﹣2ax+a2﹣4a+8与x轴没有公共点， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣4a+8）＜0， ∴a＜2， 又∵当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，且抛物线开口向上， ∴对称轴在直线x＝﹣3右侧或就为直线x＝﹣3， ∴， ∴a≥﹣3， ∴﹣3≤a＜2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 6．（2024•工业园区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为C，该二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，连接AC，若AB＝6，AC＝5，则a的值是 　 ． 【分析】过C作CD⊥x轴于点D，可求CD＝4，设出各点坐标A（m，0），则B（m+6，0），C（m+3，﹣4），重新设抛物线表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6），代入点C即可求解． 【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D． 由题意可知， ∵AC＝5， ∴， 设A（m，0），则B（m+6，0），C（m+3，﹣4）， 抛物线解析式为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）， 把C（m+3，﹣4）代入得： ﹣4＝a（m+3﹣m）（m+3﹣m﹣6）， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键． 题型七 利用二次函数的图象解不等式 解题技巧提炼 利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 1．（2023秋•如皋市校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，若该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　 　． 【分析】先由抛物线的对称轴及已知点A的坐标得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，则根据二次函数与不等式的关系可得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0）， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0） 又∵抛物线开口向上 ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣1或x＞3． \故答案为：x＜﹣1或x＞3． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数的相关性质及二次函数与不等式的关系是解题的关键． 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当﹣2＜x＜6时，y＞0， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 3．（2023•城阳区校级一模）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 　 　． 【分析】根据解析式，得抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），结合图形即可求解． 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）， 则（﹣1，0）关于x＝2对称的点为（5，0）， 即抛物线与x轴另一个交点为（5，0）， 所以y≤0时，x的取值范围是﹣1≤x≤5． 故答案为：﹣1≤x≤5． 【点评】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键． 4．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围． 【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q）， ∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n， ∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 　 ； （2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 　 　； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 　 　． 【分析】（1）设抛物线交点式y＝a（x+2）（x﹣4），将（0，4）代入解析式求解． （2）根据抛物线与x轴交点坐标及开口方向判断． （3）由抛物线与x轴交点坐标可得抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据开口方向进行判断． （4）将抛物线解析式化为顶点式求解． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣4）得4＝﹣8a， 解得a， ∴y（x+2）（x﹣4）x2+x+4， 故答案为：yx2+x+4． （2）由图象可得x≤﹣2或x≥4时，y≤0， 故答案为：x≤﹣2或x≥4． （3）∵图象经过（﹣2，0），（4，0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向下， ∴x＞1时，y随x的增大而减小， 故答案为：x＞1． （4）∵yx2+x+4（x﹣1）2， ∴y， ∴y时，ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根， 故答案为：k． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 6．（2023•和平区校级开学）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式：　 　，并在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 　 　； （3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； （4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 　． 【分析】（1）将y＝x2﹣2x﹣3配成顶点式得y＝（x﹣1）2﹣4，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，由图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，所以当x1＜x2＜1时，则y1＞y2； （3）当y＝﹣2时，则x2﹣2x﹣3＝﹣2，整理得x2﹣2x﹣1＝0，可知该方程的两个根即为抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出这两个交点即可； （4）由函数图象可知，当x＞0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以y≥﹣4． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1； 当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）； 当x＝0时，y＝﹣3， ∴该抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣3）， 故答案为：y＝（x﹣1）2﹣4， 画出该函数的图象如图所示． （2）由（1）得，抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜1， ∴y1＞y2， 故答案为：y1＞y2． （3）当y＝﹣2时，则x2﹣2x﹣3＝﹣2， ∴x2﹣2x﹣1＝0， 该方程的两个根即为抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣2的交点的横坐标， 如图，点M、N的横坐标即为m、n的值． （4）由函数图象可知，当x＞0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点， ∴y的取值范围是y≥﹣4， 故答案为：y≥﹣4． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用图象法求一元二次方程的近似根等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键． 题型八 二次函数与一元二次方程的综合应用 解题技巧提炼 综合应用主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数的极值，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2024•钟楼区校级二模）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+m． （1）若该二次函数的最大值为2m，求m的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式得到当x＝﹣2时，二次函数有最大值m+4，则m+4＝2m，解之即可； （2）求出平移后的解析式为y＝﹣x2+m，根据题意结合二次函数图象的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则m＞0． 【解答】解（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2﹣4x+m＝﹣（x+2）2+m+4， ∴当x＝﹣2时，二次函数有最大值m+4， ∵该二次函数的最大值为2m， ∴m+4＝2m， ∴m＝4； （2）把二次函数y＝﹣（x+2）2+m+4向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为y＝﹣（x+2﹣2）2+m+4﹣4＝﹣x2+m， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴m＞0． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2024春•渠县校级月考）已知函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值． 【分析】（1）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，解方程可证得结论； （2）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到A、B两点的坐标，然后令x＝0，得到点C的坐标，最后利用三角形面积公式列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）即y＝2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m， ∴当y＝0时，即2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（2m+3）]2﹣4×2×（2m2+6m）＝36＞0， ∴该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）∵y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）即y＝2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m， ∴当y＝0时，即2（x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0， ∴x＝m或x＝m+3， 当x＝0时，y＝2m2+6m， ∴设A（m，0），B（m+3，0），C（0，2m2+6m）， ∴AB＝3， ∵△ABC的面积等于12， ∴，即， ∴m2+3m＝4①或m2+3m＝﹣4②， ∴解①得m＝﹣4或m＝1，方程②无解． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（2024•梁园区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点P（m，n）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，可得方程组，计算后可得函数解析式，再化成顶点式可得顶点坐标，进而得解； （2）依据题意，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝2得2＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1或x＝1，可得K（1，2），T（1，2），又在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝﹣2得﹣2＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1或x＝1，可得R（1，﹣2），S（1，﹣2），再结合抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴． ∴． ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由题意，如图： 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝2得2＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1或x＝1， ∴K（1，2），T（1，2） 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝﹣2得﹣2＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1或x＝1， ∴R（1，﹣2），S（1，﹣2）， ∵抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2， ∴P在点K和R之间的抛物线上（包含K，不包含R）， ∴1m＜1． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法，解题的关键是掌握二次函数的相关性质并能灵活应用． 4．（2023•诸暨市模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2． （1）求b的值； （2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值； （3）当1＜x＜4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围． 【分析】（1）利用二次函数的对称轴为直线x的性质解答即可； （2）利用函数的图象的性质分别求得当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值，列出关于c的方程，解方程即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分①Δ＝0和②当1＜x＜4时，抛物线与x轴有且只有一个交点时，利用函数的图象列出不等式组解答即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2， ∴， ∴b＝﹣4； （2）∵1＞0， ∴抛物线y＝x2+bx+c的开口方向向上， ∴当x＝2时，函数取得最小值＝4﹣8+c＝c﹣4， 当x＝4时，函数取得最大值＝16﹣16+c＝c， ∵当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6， ∴c+c﹣4＝6， 解得：c＝5； （3）由（1）得抛物线为y＝x2﹣4x+c， ∵抛物线与x轴有且只有一个交点， ①Δ＝16﹣4c＝0， 解得：c＝4， ②当1＜x＜4时，抛物线与x轴有且只有一个交点， ∴， 解得：0＜c≤3， ∴c的取值范围为0＜c≤3或c＝4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数的极值，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2023•南乐县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝3，OB＝1． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标． （2）若将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位长度得新抛物线G，若抛物线G与坐标轴仅有两个交点，求m的值． （3）若P为线段AB上一动点，过点P作y轴的平行线，该平行线与抛物线G的交点为N，请直接写出点N纵坐标yN的取值范围． 【分析】（1）先利用交点式求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先求出平移后的抛物线解析式为y（x+1+m）2﹣2，再根据抛物线的性质推出：抛物线“G”必过原点，由此代入原点坐标求解即可； （3）由（2）得抛物线“G”的函数解析式为y（x+2）2﹣2，得到﹣1≤xM≤3，由PN∥y轴，得到xN＝xP，则﹣3≤xN≤1，根据抛物线的性质求出抛物线﹣2＜yN，由此即可得到答案． 【解答】解：（1）∵OA＝3，OB＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）． ∴抛物线的表达式为y （x+3）（x﹣1）x2+x（x+1）2﹣2． ∴顶点坐标为（﹣1，﹣2）； （2）抛物线y（x+1）2﹣2向左平移m个单位长度得抛物线G， ∴抛物线G的函数表达式为y（x+1+m）2﹣2， ∵新抛物线G与坐标轴仅有两个交点， ∴新抛物线G必过原点，将原点坐标（0，0）代入，得m＝1； （3）如图， 由（2）知，平移后的函数表达式为y（x+1）2﹣2， ∵P为线段AB上一动点，PN∥y轴， ∴点N的横坐标的范围为﹣3≤xN≤1． ∵抛物线G的对称轴在此范围内， ∴当x＝﹣2时，函数值最小为yN＝﹣2； 当x＝时，函数值最大为yN， ∴yN的取值范围为﹣2≤yN． 【点评】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线的平移问题，灵活运用所学知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《第1章 二次函数》 1.4.2 二次函数与一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程的联系 ★1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. ★2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 知识点二 用图象法解一元二次方程 ★图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点三 二次函数与不等式（组） ★二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标 解题技巧提炼 1、求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0， 即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 2、求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与y轴的交点坐标，令x＝0, y=c , 即与y轴的交点坐标是（0，c）． 1．二次函数y＝x2﹣5x﹣6与x轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣6） B．（﹣6，0）、（1，0） C．（﹣1，0）、（6，0） D．（3，0）、（2，0） 2．（2023•泉州一模）二次函数y＝2x2﹣3x+1的图象与y轴的交点坐标为 　 　． 3．（2024•高新区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 4．（2023秋•安阳校级期中）抛物线y＝3（x﹣2）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 　 ． 5．（2024•柳州三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则另一个交点的横坐标为（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 6．（2023秋•灵宝市期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … ①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）； ②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）； ③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）； ④当x＝﹣1时，对应的函数值y为﹣5．以上结论正确的是　 　． 题型二 判断抛物线与坐标轴的交点情况 解题技巧提炼 ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1．（2022秋•云龙县期末）二次函数y＝9x2+1的图象与x轴的交点个数是（　　） A．1个 B．2个 C．1个或者2个 D．0个 2．（2022秋•临邑县校级月考）抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．二次函数y＝x2﹣6x+9与坐标轴的交点个数是（　　） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点 4．（2023•商南县校级模拟）已知点P（2﹣m，n），Q（m+2，n），且m≠0，在抛物线l：y＝ax2﹣（5﹣a）x+1+a上，则抛物线l与坐标轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024•海州区校级一模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，则函数y＝kx2﹣3x﹣b与x轴的交点有 　 　个． 6．（2023春•东莞市校级月考）已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与y轴交于点（0，3），求该函数的图象与x轴的交点坐标． 题型三 由二次函数解一元二次方程 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 1．（2023秋•建湖县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝0的解是 　 　． 2．（2023•涵江区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 … y … 0 n ﹣3 m ﹣3 … 根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝5.5 C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝﹣2，x2＝7 3．（2023•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 4．（2023秋•官渡区期末）抛物线y＝﹣x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣3 5．（2023•仙居县二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b的解为（　　） A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝﹣1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝﹣7 题型四 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 解题技巧提炼 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1．（2024•潼关县一模）如表是部分二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根在（　　）范围之间． A．1～1.1 B．1.1～1.2 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4 2．（2023秋•沭阳县期末）下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（　　） A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 3．（2024春•海淀区校级月考）如表是若干组二次函数y＝x2﹣4x+c的自变量x与函数值y的对应值： x … 0.7 0.8 0.9 1.0 … y … 0.28 0.05 ﹣0.18 0.40 … 则下面哪个数是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）（　　） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 4．（2023秋•江夏区校级期末）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 5．（2023秋•江州区期末）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．6.17 B．6.18 C．6.19 D．6.20 6．（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 题型五 已知二次函数的值求自变量或代数式的值 解题技巧提炼 由给出的二次函数的值列出关于自变量的方程，然后再解方程就可以得出自变量的值，从而也可以求出代数式的值. 1．（2022•单县一模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为 　 　． 2．如果二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．5 B．3 C．3或-5 D．-3或5 3．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 4．（2023•武山县一模）已知，二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x＝x1+x2时，则y的值为（　　） A．2019 B．2017 C．2018 D．﹣2017 5．（2023•新洲区模拟）若抛物线y＝x2﹣3x+1与x轴的一个交点为（t，0），则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 6．（2023春•杭州月考）已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（　　） A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b 题型六 由二次函数与x轴交点个数求值或取值范围 解题技巧提炼 由抛物线与x轴的交点个数得出＝b2﹣4ac的值的情况，从而列出不等式求字母的取值的范围即可． 1．（2024•合肥模拟）已知二次函数y＝x2+（k﹣1）x+1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣1 2．（2024•市中区校级二模）若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 3．（2023秋•河西区期末）若抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，则实数k的值可以是 　 （写出一个即可）． 4．（2023秋•浙江期末）若抛物线y＝kx2﹣3x+1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是 　 ． 5．（2024春•泸县校级月考）已知二次函数y＝（x﹣a﹣2）（x﹣a+2）﹣4a+12（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣3＜a＜2 B．a＞﹣3 C．﹣3≤a＜2 D．﹣3＜a≤2 6．（2024•工业园区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为C，该二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，连接AC，若AB＝6，AC＝5，则a的值是 　 ． 题型七 利用二次函数的图象解不等式 解题技巧提炼 利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 1．（2023秋•如皋市校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，若该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　 　． 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 3．（2023•城阳区校级一模）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 　 　． 4．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 　 ； （2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 　 　； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 　 　． 6．（2023•和平区校级开学）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式：　 　，并在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 　 　； （3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； （4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 　． 题型八 二次函数与一元二次方程的综合应用 解题技巧提炼 综合应用主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数的极值，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2024•钟楼区校级二模）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+m． （1）若该二次函数的最大值为2m，求m的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点，求m的取值范围． 2．（2024春•渠县校级月考）已知函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值． 3．（2024•梁园区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点P（m，n）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 4．（2023•诸暨市模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2． （1）求b的值； （2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值； （3）当1＜x＜4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围． 5．（2023•南乐县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝3，OB＝1． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标． （2）若将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位长度得新抛物线G，若抛物线G与坐标轴仅有两个交点，求m的值． （3）若P为线段AB上一动点，过点P作y轴的平行线，该平行线与抛物线G的交点为N，请直接写出点N纵坐标yN的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$