1.4 二次函数的应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

所述,正确的有2个. 8. C 解析:∵ 二次函数y=ax2- 2ax+3=a(x-1)2+3-a(a>0), ∴ 该函数的图象开口向上,对称轴是 直线x=1,当x=1时,该函数取得最 小值3-a.∵ 当0≤x≤m 时,3- a≤y≤3,当y=3时,x=2或x=0, ∴ 1≤m≤2. 9. C 解析:令x+1=-x2+2x+3, 解得 x1 = -1,x2 =2.∴ y= x+1(-1≤x≤2), -x2+2x+3(x<-1或x>2), 画 出函数图象如图所示.把x=2代入 y=x+1,得y=3,∴ 该函数的最大 值为3. (第9题) 10. 1 解析:∵ AC⊥x 轴,∴ 当A 为抛物线的顶点时,AC 长取最小值. ∵ y=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,1).∴ AC 长的最小值为1.∵ 四边形ABCD 为 矩形,∴ BD=AC.∴ BD 长的最小 值为1. 11. x0>-2 解析:∵ 点A(-7, y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)上,-7<3,C(x0,y0)是 该抛 物 线 的 顶 点,y1>y2≥y0, ∴ a>0,49a-7b+c>9a+3b+c. ∴ b<4a.∴ b 2a<2.∴ -b2a>-2. ∴ x0=- b 2a>-2. 12. (1) ∵ 抛物线y=x2-2bx+c 的顶点坐标为(2,-3), ∴ y=(x-2)2-3=x2-4x+1. ∴ b=2,c=1. (2) 存在. 理由:令y=1,则x2-2bx+c=1, ∴ x2-2bx+c-1=0. ∵ b+c=0, ∴ c=-b. ∵ (-2b)2-4(c-1)=4b2-4(-b- 1)=4b2+4b+4=(2b+1)2+3>0, ∴ 存在实数x,使得对应的y 的值 为1. (3) ∵ c=b+2, ∴ 抛物线对应的函数表达式可化为 y=x2-2bx+b+2. ∴ 对称轴为直线x=b. ① 当b≤-2时,函数在x=-2时取 得最小值-3,此时(-2)2-2b× (-2)+b+2=-3,解得b=-95 ,不 合题意; ② 当b≥2时,函数在x=2时取得最 小值-3,此时22-2b×2+b+2= -3,解得b=3; ③ 当-2<b<2时,函数在x=b时 取得最小值-3,此时b2-2b·b+ b+2=-3,即b2-b-5=0,解得 b1= 1+ 21 2 (不 合 题 意,舍 去), b2= 1- 21 2 . 综上所述,b的值为3或1- 212 . 13. (1) ∵ y=-x2+6x-5= -(x-3)2+4, ∴ 该二次函数图象的顶点坐标为(3,4). (2) ∵ a=-1<0, ∴ 抛物线的开口向下. ∵ 顶点坐标为(3,4), ∴ 当x=3时,y最大值=4. ∵ 当1≤x≤3时,y 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=1时,y最小值=0. ∵ 当3<x≤4时,y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=4时,y最小值=3. ∴ 当1≤x≤4时,函数的最大值为 4,最小值为0. (3) 当t≤x≤t+3时,对t进行分类 讨论:① 当t+3<3,即t<0时,y随 x的增大而增大. 当x=t+3时,函数取得最大值,m= -(t+3-3)2+4=-t2+4; 当x=t时,函数取得最小值,n= -t2+6t-5. ∴ m-n=-t2+4-(-t2+6t- 5)=-6t+9. 令-6t+9=3,解得t=1(不合题意, 舍去). ② 当0≤t<3时,顶点的横坐标在取 值范围内, ∴ m=4. (Ⅰ) 当0≤t<32 时,函数在x=t时 取得最小值, ∴ n=-t2+6t-5. ∴ m-n=4-(-t2+6t-5)=t2- 6t+9. 令t2-6t+9=3,解得t1=3- 3, t2=3+3(不合题意,舍去). (Ⅱ) 当3 2≤t<3 时,函数在x=t+3 时取得最小值, ∴ n=-t2+4. ∴ m-n=4-(-t2+4)=t2. 令t2=3,解得t3= 3,t4=- 3(不 合题意,舍去). ③ 当t≥3时,y随x的增大而减小. 当x=t时,函数取得最大值,m= -t2+6t-5; 当x=t+3时,函数取得最小值,n= -t2+4. ∴ m-n=-t2+6t-5-(-t2+ 4)=6t-9. 令6t-9=3,解得t=2(不合题意, 舍去). 综上所述,t的值为3-3或3. 1.4　二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决 面积最值问题 1. A 2. 2 3. 75 4. 由题意,得y= 1 2× (8-x)(6- x)×2=x2-14x+48=(x-7)2-1, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=7. ∴ 当0.5≤x≤1时,y随x的增大而 减小. ∴ 当x=0.5时,y 最大,y最大值 = (0.5-7)2-1=41.25. ∴ 改造后剩余油菜花地所占的最大 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 面积为41.25m2. 5. D 解析:由题图②,可知二次函数 图象的最高点为P(2,4),且经过原 点,设 二 次 函 数 的 表 达 式 为 y= m(x-2)2+4,将(0,0)代入,解得 m=-1.∴ y=-(x-2)2+4= -x2+4x.∴ 易得矩形ABCD 的最 大面积是4m2.故 A,B错误.矩形 ABCD 的面积最大时,x=2,故C错 误.当x=2时,矩形ABCD 的面积取 得最大值,最大值为4,∴ AB=4÷ 2=2(m).∴ 矩形窗框ABCD 的周 长=(AB+BC)×3=(2+2)×3= 12(m).∴ a=12.故D正确. 6. 15 解析:过点C 作CE⊥x轴于 点E,则OE=4,CE=3.在Rt△OCE 中,OC= 42+32 =5.∵ 四边形 OABC是菱形,∴ BC=OC=5,BC∥ x轴.∵ D 是抛物线y=-x2+6x上 一点,∴ 可设点 D 的坐标为(m, -m2+6m)(0<m <6).∵ y= -x2+6x=-(x-3)2+9,∴ 易知 当△BCD 的面积取得最大值时,点D 在直线BC 上方.∴ △BCD 的边BC 上的高=yD-CE=-m2+6m-3. ∴ S△BCD= 1 2×5× (-m2+6m- 3)=-52 (m-3)2+15.∵ -52<0 , ∴ 当m=3时,S△BCD 最大,为15. 7. (1) 由题意,得x(28-x)=192,即 x2-28x+192=0,解得x1=12, x2=16. ∴ x的值为12或16. (2) 由题意,得S=x(28-x)= -x2+28x=-(x-14)2+196, ∴ 当x=14时,S 有最大值,最大值 为196. (3) 由题意,得 28-x≥a, x≥6, 解得6≤ x≤28-a. ∵ S=x(28-x)=-x2+28x= -(x-14)2+196,-1<0, ∴ 当x≤14时,S 随x 的增大而 增大. 又∵ 14≤a≤22, ∴ 6≤x≤28-a≤14. ∴ 当x=28-a时,函数有最大值,即 y=-(28-a-14)2+196=-(a- 14)2+196(14≤a≤22). 利用二次函数的性质求实际 问题中最值的方法 在实际问题中,求最值的一般 步骤如下: (1) 列出二次函数的表达式, 并根据自变量的实际意义,确定自 变量的取值范围. (2) 在自变量的取值范围内, 运用公式法或配方法求出二次函 数的最值. 注意:当二次函数图象的顶点 的横坐标不在自变量的取值范围 内时,需结合二次函数的图象,根 据二次函数的增减性,在自变量的 取值范围内求出函数的最值. 8. (1) ① 若所截矩形材料的一条边 是BC,如图①,过点C作CF⊥AE 于 点F, ∴ S=AB·BC=6×5=30. ② 若所截矩形材料的一条边是AE, 如图②,过点E 作EF∥AB 交CD 于 点F,过点F 作FG⊥AB 于点G,过 点C 作CH⊥FG 于点H,则四边形 AEFG 为 矩 形,四 边 形 BCHG 为 矩形, ∴ AE=FG=6,HG=BC=5, ∠BCH=90°. ∵ ∠BCD=135°, ∴ ∠FCH=135°-90°=45°. ∴ △CHF 为等腰直角三角形. ∴ BG=CH=FH=FG-HG=6- 5=1. ∴ AG=AB-BG=6-1=5. ∴ S=AE·AG=6×5=30. (2) 能. 如图③,在CD 上取点F,过点F 作 FM⊥AB 于点M,FN⊥AE 于点N, 过点C作CG⊥FM 于点G, 则四边形 ANFM 为矩形,四边形 BCGM 为矩形, ∴ MG=BC=5,BM=CG. ∵ ∠BCD=135°, ∴ ∠FCG=45°. ∴ △CGF 为 等 腰 直 角 三 角 形, FG=CG. 设AM=x,则BM=6-x, ∴ FM =GM +FG=GM +CG= BC+BM=11-x. ∴ S=AM·FM=x(11-x)= -x2+11x=-(x-5.5)2+30.25. ∴ 当x=5.5时,S取得最大值,最大 值为30.25. ∴ 能截取矩形材料面积的最大值 为30.25. (第8题) 第2课时 利用二次函数解决 距离、利润等问题 1. C 2. 25 3. 0.5 22 解析:设甲、乙两人均出 发了t(0≤t≤1)h,甲、乙两人之间的距 离为ykm,则此时甲到A 地的距离是 (4-4t)km,乙到A 地的距离是4tkm. 由勾股定理,得y= (4-4t)2+(4t)2= 32t-12 2 +8.∴ 当t=12 时, 甲、乙两人之间的距离取最小值,为 22.∴ 甲、乙两人出发0.5h时,距 离最近,最近距离是22km. 4. (1) 设A 种客房每间的定价是 x元,B 种客房每间的定价是y元. 由题意,得 24x+20y=7200, 10x+10y=3200, 解得 x=200, y=120. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 ∴ A,B 两种客房每间的定价分别是 200元,120元. (2) 设A 种客房每间的定价为m 元, A 种客房一天的营业额为W 元,则 W=m 24-m-20010 =-110(m- 220)2+4840. ∵ -110<0 , ∴ 当m=220时,W 取得最大值,最 大值为4840. ∴ 当A 种客房每间的定价为220元 时,A 种客房一天的营业额最大,最 大营业额为4840元. 5. C 解析:设每张床位每天的收费 提高2x元,每天的租金为y元.根据 题意,得 y= (10+2x)(100- 10x)=-20x2+100x+1000.当 x=- 1002×(-20)=2.5 时,y 有最大 值.又∵ x 为整数,∴ 当x=2时, y=1120;当x=3时,y=1120.∵ 为 使租出的床位少且租金高.∴ x=3. ∴ 每张床位每天最合适的收费是 10+3×2=16(元). 6. 1 解析:设AC=x,则BC=2- x.由题意,得x>0,2-x>0,∴ 0< x<2.∵ △ACD 和△BCE 都是等腰 直角三角形,∴ 易得∠DCA=45°, ∠ECB=45°,DC = 22x ,CE = 2 2 (2-x).∴ ∠DCE =180°- ∠DCA-∠ECB=180°-45°-45°= 90°.∴ DE2=DC2+CE2=12x 2+ 1 2 (2-x)2=x2-2x+2=(x- 1)2+1.∴ 当x=1时,DE2取得最小 值,即DE 的长也取得最小值,最小值 为1. 7. (1) 由题图①,可知二次函数的图 象经过原点, ∴ 设 二 次 函 数 的 表 达 式 为s= at2+bt. 将(1,15.5),(2,30)分别代入, 得 a+b=15.5, 4a+2b=30, 解得 a=-0.5 , b=16. ∴ 二 次 函 数 的 表 达 式 为 s= -0.5t2+16t. 设一次函数的表达式为v=kt+c. 将(0,16),(8,8)分 别 代 入,得 c=16, 8k+c=8, 解得 k=-1 , c=16. ∴ 一次函数的表达式为v=-t+16. 令v=9,得t=7. 当t=7时,s=-0.5t2+16t= -0.5×72+16×7=87.5. ∴ 当甲车减速至9m/s时,它行驶的 路程是87.5m. (2) 设甲车开始减速时,两车的距离 为wm, 则w=10t+20-(-0.5t2+16t)= 0.5(t-6)2+2. ∵ 0.5>0, ∴ w 有最小值. 当t=6时,w 的最小值为2. ∴ 6s时两车相距最近,最近距离是 2m. 8. (1) ∵ 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 1 2 ,7 4 , ∴ 可设y2 关于x 的函数表达式为 y2=ax- 1 2 2 +74. 又∵ 抛物线过点(2,4), ∴ a×94+ 7 4=4 ,解得a=1. ∴ y2= x- 1 2 2 +74 (0.4≤x≤ 3.5). (2) 当x=12 时,y2 取得最小值,最 小值为7 4. ∵ 当销售量在0.4吨至3.5吨之间 时,销售额y1(万元)与销售量x(吨) 之间的函数表达式为y1=5x, ∴ 当x=12 时,y1=5× 1 2=2.5. ∴ 当成本最低时,该公司销售产品所 获利润是2.5-74=0.75 (万元). (3) 设利润为w 万元,则w=y1- y2 = 5x - x-12 2 +74 = -x2+6x-2=-(x-3)2+7. ∵ -1<0,0.4≤x≤3.5, ∴ 当x=3时,w 取得最大值,最大值 为7. ∴ 当销售量是3吨时,该公司可获得 最大利润,最大利润是7万元. 第3课时 二次函数的图象 与一元二次方程的解 1. C 2. A 3. 1125 30 4. > < 5. (1) 将P(2,4)代入y=x2+mx+ m2-3,得4=4+2m+m2-3,解得 m1=1,m2=-3. ∵ m>0, ∴ m=1. (2) 二次函数y=x2+mx+m2-3 的图象与x轴交点的个数为2. 理由:∵ m=1, ∴ y=x2+x-2. ∵ 在方程x2+x-2=0中,b2- 4ac=12+8=9>0, ∴ 二次函数y=x2+mx+m2-3的 图象与x轴交点的个数为2. 6. B 解析:∵ x1,x2 是一元二次方 程ax2+bx+c=0的两个根,∴ x1, x2是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 交点的横坐标.∵ 抛物线的对称轴为 直线x=2,∴ x1+x2 2 =2 ,即x1+ x2=4>0.故A错误.∵ -1<x1< 0,∴ -1<4-x2<0,解得4<x2< 5.故B正确.∵ 抛物线与x轴有两个 交点,∴ b2-4ac>0.故 C错误. ∵ 抛物线开口向下,∴ a<0.∵ 抛物 线的对称轴为直线x=2,∴ -b2a= 2.∴ b=-4a>0.∴ ab<0.故 D 错误. 7. x1=2,x2=4 解析:∵ 抛物线 y=a(x-1)(x-5)+c=a(x- 3)2-4a+c,∴ 抛物线的对称轴为直 线x=3.∵ 抛物线与x 轴的一个交 点为(2,0),∴ 抛物线与x 轴的另一 个交点为(4,0).∴ 一元二次方程 a(x-1)(x-5)+c=0的解为x1= 2,x2=4.∵ 方程x2+5=6x-ca 可 化为a(x-1)(x-5)+c=0,∴ 方程 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 的解为x1=2,x2=4. 8. -1≤t<8 解析:对称轴为直线 x=- b2×1=1 ,解得b=-2,∴ 二次 函数的表达式为y=x2-2x.当 x=-1时,y=1+2=3;当x=1时, y=1-2=-1;当x=4时,y=16- 2×4=8.∴ 当-1<x<4时,-1≤ y<8.∵ 方程x2+bx-t=0的解相 当于抛物线y=x2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标,∴ -1≤t<8. 9. (3,0)或(4,0) 解析:当k=0时, 函数表达式为y=-x-3,它的“Y 函 数”表达式为y=x-3,它们的图象与 x轴都只有一个交点,∴ 它的“Y 函 数”图象与x轴的交点坐标为(3,0). 当k≠0时,此函数为二次函数,∵ 二 次函数y= k 4x 2+(k-1)x+k-3 的图象与x轴只有一个交点,∴ 二次 函 数 图 象 的 顶 点 在 x 轴 上,即 4×k4 (k-3)-(k-1)2 4×k4 =0,解 得 k=-1.∴ 二次函数的表达式为 y=- 1 4x 2-2x-4=-14 (x+4)2. ∴ 它 的“Y 函 数”表 达 式 为 y= -14 (x-4)2.令y=0,则- 1 4 (x- 4)2=0,∴ x1=x2=4.∴ 二次函数 的“Y 函数”图象与x轴的交点坐标为 (4,0).综上所述,它的“Y 函数”图象 与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0). 10. (1) ∵ 二次函数y=ax2+bx+c 的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4, 5)三点, ∴ 4a+2b+c=0, c=-1, 16a+4b+c=5, 解得 a=12 , b=-12 , c=-1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ y= 1 2x 2-12x-1. (2) 当y=0时,即 1 2x 2-12x- 1=0, 解得x1=2,x2=-1, ∴ D(-1,0). (3) 如图, 易知C,D 是两个函数图象的交点, ∴ 当-1<x<4时,一次函数的值大 于二次函数的值. (第10题) 11. (1) 把x=-0.5代入y=|x2- 2x|, 得y=|(-0.5)2-2×(-0.5)|= 1.25,即m=1.25. (2) 如图所示. (3) 答案不唯一.如当x>2时,y随x 的增大而增大. (4) ① 4. 解析:由函数图象,可知函 数图象与直线y= 1 2 有4个交点, ∴ 方程|x2-2x|= 12 有4个实 数根. ② 如图所示.0.4. (第11题) 专题特训二　二次函数的 综合 1. (1) ∵ 点B 的坐标为(1,0),OC= 3OB, ∴ OB=1,OC=3. ∴ 点C的坐标为(0,-3). (2) 将B(1,0),C(0,-3)代入y= ax2+3ax+c,得 a+3a+c=0, c=-3, 解 得 a=34 , c=-3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= 3 4x 2+94x-3. (3) 如图,过点D 作直线DE∥y 轴, 交AC于点E,交x轴于点F,过点C 作CG⊥DE 于点G, 当y=0时,有 3 4x 2+94x-3=0 , 解得x1=-4,x2=1. ∴ 点A 的坐标为(-4,0). ∴ AB=5. 设直线AC对应的函数表达式为y= kx+b(k≠0), 将A(-4,0),C(0,-3)代入y=kx+b, 得 -4k+b=0, b=-3, 解得 k=- 3 4 , b=-3. ∴ 直线AC对应的函数表达式为y= -34x-3. 设点D 的坐标为t,34t 2+94t-3 , 则点E 的坐标为t,-34t-3 ,-4< t<0, ∴ ED=-34t-3- 34t2+94t- 3 =-34t2-3t. ∴ S四边形ABCD =S△ABC +S△AED + S△CED= 1 2AB ·OC+12ED ·AF+ 1 2ED ·CG=12AB ·OC+12ED · AO=12×5×3+ 1 2×4 -34t2- 3t =-32t2-6t+152=-32(t+ 2)2+272. ∵ -32<0 , ∴ 当t=-2时,四边形ABCD 的面 积取得最大值,最大值为27 2. ∴ 四边形ABCD 面积的最大值为272. (第1题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 14 1.4　二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决面积最值问题 ▶ “答案与解析”见P6 1. 用48米长的木料制作如图所示的矩形窗框 (横档EF,GH 也用木料),其中AB∥EF∥ GH∥CD.若要使窗框ABCD 的面积最大, 则AB 的长为 ( ) (第1题) A. 6米 B. 8米 C. 12米 D. 43米 2. 在某市治理违建的过程中,某小区拆除了自建 房,改建绿地.如图,自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD,改建的绿地是矩形AEFG, 其中点E在AB上,点G在AD 的延长线上, 且DG=2BE.当BE= m时,绿地 AEFG 的面积最大. (第2题) 3. 某农场拟建两间矩形饲养室,其中一面靠现有 的墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图 所示的三处各留一个1m宽的门.已知计划中 的材料可建(不包括门)总长为27m的墙体,则 能建成的饲养室的面积最大为 m2. (第3题) 4. 如图,景区内有一块矩形油菜花地,要在其中 修建一条观花道(阴影部分),供游人赏花.设 改造后剩余油菜花地所占的面积为ym2.若 要求0.5≤x≤1,求改造后剩余油菜花地所 占的最大面积. (第4题) 5. 如图①所示的矩形窗框ABCD 的周 长及其两条隔断EF,GH 的总长为 am,且隔断EF,GH 分别与矩形的 两条邻边平行.设BC的长为xm,矩形ABCD 的面积为ym2,y 关于x 的二次函数图象如 图②所示,则下列说法中,正确的是 ( ) (第5题) A. 矩形ABCD 的最大面积为8m2 B. y与x之间的函数表达式为y=-x2+2x C. 当x=4时,矩形ABCD 的面积最大 D. a的值为12 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 15 6. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶 点A 在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(4, 3),D 是抛物线y=-x2+6x 上一点,且在 x轴上方,则△BCD 的面积最大为 . (第6题) 7. ★在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如 图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长 的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围 AB,BC 两边).设AB=xm,花园的面积为 Sm2. (1) 若花园的面积为192m2,求x的值. (2) 写出S与x 之间的函数表达式.当x 为 何值时,S有最大值? 最大值为多少? (3) 若点P 处有一棵树与墙CD,AD 的距离 分别是am(14≤a≤22)和6m,要将这棵树 围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),设S 的最大值为y,求出y 与a 之间的函数表 达式. (第7题) 8. 如图,有一块五边形余料ABCDE, AB=AE=6,BC=5,∠A=∠B= 90°,∠C=135°,∠E>90°.要在这 块余料中截取一块矩形材料,其中一条边在 AE 上,并使所截矩形材料的面积S 尽可 能大. (1) 若所截矩形材料的一条边是BC 或AE, 求矩形材料的面积. (2) 能否截出比(1)中更大面积的矩形材料? 如果能,求出能截取矩形材料面积的最大值; 如果不能,请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数 16 第2课时 利用二次函数解决距离、利润等问题 ▶ “答案与解析”见P7 1. 新趋势·与物理融合 竖直上抛物体离地面的 高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以 近似地用公式h=-5t2+v0t+h0 表示,其 中h0(m)是物体抛出时离地面的高度, v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个 小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速 度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大 高度为 ( ) A. 23.5m B. 22.5m C. 21.5m D. 20.5m 2. 某种商品的进价为每件20元,调查表明,在 某段时间内,以每件x 元(20≤x≤30,且x 为整数)出售,可卖出(30-x)件.若要使利 润最大,则销售价格应为每件 元. 3. 如图所示为两条互相垂直的街道,且A 地到 B,C两地的距离都是4km.现甲从B 地走 向A 地,乙从A 地走向C 地,甲、乙两人同时 出发且速度都是4km/h,则甲、乙两人出发 h时,甲、乙两人之间的距离最近, 最近距离是 km. (第3题) 4. (2024·遂宁)某酒店有A,B 两种客房,其中 A 种客房24间,B 种客房20间.若全部入 住,一天的营业额为7200元;若A,B 两种客 房均有10间入住,一天的营业额为3200元. (1) 求A,B 两种客房每间的定价分别是多 少元. (2) 酒店对A 种客房调研发现:如果客房不 调价,那么客房可全部住满;如果每间客房的 定价每增加10元,那么就会有一间客房空 闲.当A 种客房每间的定价为多少元时, A 种客房一天的营业额最大? 最大营业额为 多少元? 5. 某民俗旅游村为接待游客,开设了有100张 床位的旅馆.若每张床位每天收费10元,则 床位可全部租出;若每张床位每天的收费每 提高2元,则会相应地减少10张床位的租 出.如果每张床位每天以2元为单位提高收 费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床 位每天最合适的收费是 ( ) A. 14元 B. 15元 C. 16元 D. 18元 6. 如图,线段AB 的长为2,C 为AB 上一个动点,分别以AC,BC 为斜 边,在AB 的同侧作等腰直角三角 形ACD 和等腰直角三角形BCE,则DE 长 的最小值是 . (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 17 7. 公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿 同一方向行驶的乙车后开始减速(甲车始终 不与乙车相遇),减速后甲车行驶的路程 s(m)、速度v(m/s)与时间t(s)的关系分别 可以用二次函数和一次函数表示,其图象如 图①②所示. (1) 当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程 是多少米? (2) 若乙车以10m/s的速度匀速行驶,两车 何时相距最近? 最近距离是多少米? (第7题) 8. 新情境·日常生活 (2024·新疆)某公 司销售一批产品,经市场调研发现, 当销售量在0.4吨至3.5吨之间 时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)之间的 函数表达式为y1=5x;成本y2(万元)与销售 量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的 一部分,其顶点的坐标为 1 2 ,7 4 . (1) 求y2关于x的函数表达式(写出自变量 x的取值范围). (2) 当成本最低时,该公司销售产品所获利 润是多少万元? (3) 当销售量是多少吨时,该公司可获得最 大利润? 最大利润是多少万元? (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数 18 第3课时 二次函数的图象与一元二次方程的解 ▶ “答案与解析”见P8 1. 如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上, 则关于x 的方程ax2+bx+c=0的一个近 似值可能是 ( ) A. 1.5 B. 2.18 C. 2.45 D. 2.68 (第1题) (第4题) 2. 一元二次方程2x2-x-2=0的近似根可以 看做是两个函数图象交点的横坐标,则两个 函数的表达式可以为 ( ) A. y=2x2和y=x+2 B. y=2x2和y=-x-2 C. y=-2x2和y=x+2 D. y=-2x2和y=-x+2 3. 炮弹从炮口射出后飞行的高度h(m)与飞行 的时间t(s)之间的函数表达式为h=12v0t- 5t2,其中v0(m/s)是发射时的初速度.当 v0=300 时,炮 弹 飞 行 的 最 大 高 度 为 m,该炮弹在空中飞行了 s 后落到地面上. 4. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 为直线x=1,与x轴分别交于点(m,0),(n,0), m<n.若方程ax2+bx+c-1=0的两个实数 根分别为x1,x2,且x1<x2,则x1 (填“>”或“<”,下同)m,x2 n. 5. 已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m 为常 数,且m>0)的图象过点P(2,4). (1) 求m 的值. (2) 试判断二次函数y=x2+mx+m2-3的 图象与x轴交点的个数,并说明理由. 6. 数形结合思想 如图,抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)的对称轴为直线x= 2.若x1,x2 是一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的两个根,且x1<x2,-1< x1<0,则下列说法中,正确的是 ( ) A. x1+x2<0 B. 4<x2<5 C. b2-4ac<0 D. ab>0 (第6题) (第8题) 7. 已知抛物线y=a(x-1)(x-5)+c(a≠0) 与x轴的一个交点为(2,0),则方程x2+5= 6x-ca 的解为 . 8. 二次函数y=x2+bx的图象如图所示,对称 轴为直线x=1.若关于x 的一元二次方程 x2+bx-t=0(b,t为实数)在-1<x<4的 范围内有解,则t的取值范围是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 19 9. 规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那 么称这两个函数互为“Y 函数”.例如:函数 y=x+3与y=-x+3互为“Y 函数”.若函 数y= k 4x 2+(k-1)x+k-3的图象与x轴 只有一个交点,则它的“Y 函数”图象与x 轴 的交点坐标为 . 10. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过 A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点. (1) 求二次函数的表达式. (2) 设二次函数的图象与x 轴的另一个交 点为D,求点D 的坐标. (3) 在同一平面直角坐标系中画出直线y= x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函 数的值大于二次函数的值. (第10题) 11. 某班数学兴趣小组对函数y=|x2- 2x|的图象和性质进行了探究,探 究过程如下: (1) 自变量x的取值范围是全体实数,x 与 y的几组对应值列表如下: x … -1-0.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y … 3 m 00.7510.7501.253 … 求上表中m 的值. (2) 根据(1)中的数据,在如图所示的平面 直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一 部分,请画出该函数图象的另一部分. (3) 观察函数图象,写出该函数的一条 性质. (4) 通过进一步探究函数图象,解决下列 问题: ① 方程|x2-2x|=12 有 个实 数根. ② 在(2)的平面直角坐标系中画出直线y= -x+1,根据图象及(1)中的数据可知,方 程|x2-2x|=-x+1的一个正实数根约 为 (结果精确到0.1). (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　二次函数