精品解析：河南省灵宝市铭德高级中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷

铭德高级中学 2022-2023学年度下学期第一次月考考试卷 高一数学 一、单选题(共40分) 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 3. 若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量， 若， 则实数的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 5. 已知：，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为 A. B. C. D. 8. 在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(共20分) 9. 化简以下各式，结果为的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影数量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 12. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 在中，若，则 D. 若，则是等腰三角形 三、填空题(共20分) 13. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则__________． 14. 已知，，若与平行，则_________． 15. 在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______. 16. 在中，角所对的边分别为， ①若，则； ②若，则一定为等腰三角形； ③若，则为直角三角形； ④若为锐角三角形，则. 以上结论中正确的有___________.（填正确结论的序号） 四、解答题(共70分) 17. 已知，与的夹角为60°，求： （1）； （2）； （3）. 18. 设向量，，. （1）求； （2）若，，求的值； （3）若，，，求证：A，，三点共线. 19. 已知. （1）若，求证：； （2）设，若，求的值. 20. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求. 21. 已知长方形AOCD中，，，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，. 22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铭德高级中学 2022-2023学年度下学期第一次月考考试卷 高一数学 一、单选题(共40分) 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标. 【详解】由题设，. 故选：C. 2. 在中，，，，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，进而得为钝角，即可求解. 【详解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形 故选：C 3. 若向量，，，且∥，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由∥得的坐标，再根据投影向量的概念即可得出结果. 【详解】∵∥，∴，即， 在上的投影向量为：， 故选:A 4. 已知平面向量， 若， 则实数的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出，利用坐标运算即可求出t. 【详解】若，则若， 平面向量，所以， 所以，解得：. 故选:A. 5. 已知：，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：D. 6. 如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】求出中的边的长，求得,利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由题意得，在中,，，, 由正弦定理有 代入数据得, 解得（海里）， 故选：A． 7. 已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵，设，则， 又，，根据向量的坐标运算知， 所以. 本题选择C选项. 点睛：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 8. 在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求，，进而可求． 【详解】解：如图，连接 则， ∴，，则. 故选：A. 二、多选题(共20分) 9. 化简以下各式，结果为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据向量的加减运算法则求解即可. 【详解】对于A，，符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意． 故选：ABCD． 10. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算逐个选项判断即可. 【详解】对于A，方向相反，正确的关系为，所以A错误； 对于B，； 对于C，因为，C错误； 对于D，因为ABCDEF是正六边形，可设，，故D正确； 故选：BD 11. 已知向量，，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影数量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据向量的几何意义即可判断B；根据向量夹角公式的坐标表示可判断C；根据向量共线的坐标表示可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：，，可得，， 所以向量与不垂直，故选项A不正确 对于选项B：向量在向量上的投影数量为 ，故选项B正确； 对于选项C：，所以与的夹角余弦值为， 故选项C正确； 对于选项D：，，因为，所以与不平行，故选项D不正确， 故选：BC. 12. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 在中，若，则 D. 若，则是等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；对于BD：举反例说明即可；对于C：由三角形性质可得，利用正弦定理即可得结果. 【详解】对于选项A：若， 由正弦定理可得 且， 即，可得， 且，则，可得， 即，所以是直角三角形，故A正确； 对于选项B：例如，此时，符合题意， 但，即，可知是直角三角形，故B错误； 对于选项C：若，可知，由正弦定理，故C正确； 对于选项D：例如， 此时，即，符合题意， 但是直角三角形，非等腰三角形，故D错误； 故选：AC. 三、填空题(共20分) 13. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据，，且与的夹角为，利用数量积的定义和运算律求解. 【详解】因为向量，满足，，且与的夹角为， 所以， ． 故答案为：4 14. 已知，，若与平行，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，的坐标，再由与平行，求出，从而的坐标，由模长公式即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∵与平行， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为： 15. 在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，根据题意求得各点坐标，利用向量的坐标运算求得数量积，再结合二次函数求最值即可得解. 【详解】 在中，由余弦定理得，所以是直角三角形， 以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 设点P坐标为，，， ，， 直线对应一次函数为， 所以，， ， ，对称轴，当时， 取得最小值. 故答案为： 16. 在中，角所对的边分别为， ①若，则； ②若，则一定为等腰三角形； ③若，则为直角三角形； ④若为锐角三角形，则. 以上结论中正确的有___________.（填正确结论的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用三角形的内角和为结合三角函数的图像、性质以及正弦定理求解即可. 【详解】①因为，由正弦定理得，所以，正确； ②因为，且在中，，所以或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，错误； ③由二倍角公式得，化简得，由正弦定理得，所以为直角三角形，正确； ④若为锐角三角形，则，，当时得，由正弦函数的单调性得，则，与为锐角三角形矛盾，错误. 故答案为：①③. 四、解答题(共70分) 17. 已知，与的夹角为60°，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】利用数量积的定义及运算律即可得到答案 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 18. 设向量，，. （1）求； （2）若，，求的值； （3）若，，，求证：A，，三点共线. 【答案】（1）1 （2）2 （3）因为，所以，所以A，，三点共线. 【解析】 【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ，所以，解得：，所以； 【小问3详解】 略 19. 已知. （1）若，求证：； （2）设，若，求的值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，利用模长公式列出方程，求出，证明出； （2）根据得到，平方相加后得到的值. 【小问1详解】 ， 故， 即， 化简得：， 故； 【小问2详解】 ， 所以， 两式平方相加得：， 故. 20. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理直接计算即可； （2）根据正弦定理直接计算即可. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得：， 所以，结合， 故. 【小问2详解】 由（1）得：，于是， 由正弦定理得：， 于是， 故. 21. 已知长方形AOCD中，，，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，. 【答案】点P在靠近点A的AO的三等分点处 【解析】 【分析】把角看成向量与的夹角，以、为基底，用基底表示与，再代入两向量的夹角公式即可解出． 【详解】设、，则、为表示平面的一组基底， 且，，，为向量与的夹角， 又，可设，， 而． ， ，， ， 解得或（舍 点在的一个3等分点时，． 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标系的建立. 22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的商数关系，结合三角形内角的特点及特殊值对应的特殊角即可求解； （2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，再利用两角和的正弦公式及正弦定理，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，得， 因为所以，，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，因为，所以， 因为，所以， 所以. 由正弦定理，得. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $