6.3 三角形的中位线课件2023-2024学年北师大版数学八年级下册

第六章 平行四边形 3 三角形的中位线 1.掌握中位线的定义以及中位线定理； 2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题. 学习目标 平行四边形的判定 边 角 对角线 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 新课导入 知识点1 三角形中位线的性质 请同学们按要求画图： 画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE． 定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 新课讲授 例 如图(2)，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE, ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. 证明： 已知：如图(1)，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC，DE＝ BC. 典例分析 ∴CF∥AB. ∵BD＝AD， ∴CF＝BD. ∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). ∴ DF∥BC(平行四边形的定义)， DF＝BC(平行四边形的对边相等). ∴DE∥BC，DE＝BC. 例 如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF. 分析： 点O是平行四边形两条对角线的 交点，所以点O是线段AC的中点， 要证明AB＝2OF，我们只需证明 点F是线段BC的中点，即证明OF 是△ABC的中位线． 证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点， 且CE＝DC， ∴AB∥CE，AB＝CE. ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴点F是BC的中点． 又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线． ∴AB＝2OF. 已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm和12 cm， 求以各边中点为顶点的三角形的周长. 解： 以各边中点为顶点的三角形的周长为 (8＋10＋12)＝15(cm)． 知识点2 三角形中位线在四边形中的应用 如图，任意画一个四边形，以 四边的中点为顶点组成一个新 四边形，这个新四边形的形状 有什么特征？请证明你的结论， 并与同伴交流. 中点四边形的定义： 依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形 称为中点四边形． 拓展： 不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终 是平行四边形． 例 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形． 如图，连接BD. ∵点E，H分别是边AB， DA的中点， ∴EH为△ABD的中位线． ∴EH∥BD，EH＝ BD. 同理可得：FG∥BD，FG＝BD. ∴EH∥FG，EH＝FG. ∴四边形EFGH是平行四边形． 证明： 如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为(　　) A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm D 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 几何语言(如图)： ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC．DE= BC． A B C D E 课堂小结 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为______cm. 10 当堂检测 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM， MN的中点，则EF长度 的最大值为________． 3 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB的周长是18 cm，则EF＝________cm. 3 拓展延伸 ∵AC＋BD＝24 cm， ∴OA＋OB＝12 cm， 又∵△OAB的周长是18 cm， ∴OA＋OB＋AB＝18 cm，∴AB＝6 cm. 又∵点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF＝ AB＝3 cm. 此题易错之处在于忽视运用整体思想求OA，OB的长度和，从而导致求不出中位线长． $$