精品解析：重庆市大足区2023-2024学年九年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度下期期末质量监测九年级数学试题卷 注意事项： 1．测试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上． 5．测试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 6．参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 已知反比例函数的图象上有点，，，则关于，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，由白色棋子和黑色棋子组成的一组图中，第①个图由1个白色棋子组成，第②个图由1个白色棋子和2个黑色棋子组成，第③个图由4个白色棋子和2个黑色棋子组成，第④个图由4个白色棋子和6个黑色棋子组成，…，按照这样的规律排列下去，则第⑧个图有（ ）个白色棋子． A. 20 B. 16 C. 24 D. 36 8. 如图，是的切线，点C是切点，连接交于点B，延长交于点A，连接，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为的正方形中，点、点分别是上的点，连接，满足．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 对于从左到右依次排列的三个实数、、，在与之间、与之间只添加一个四则运算符号“”、“”、“”、“”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数、、进行“四则操作”，例如：对实数、、的“四则操作”可以是：，也可以是；对实数，，的一种“四则操作”可以是．给出下列说法： ①对实数、、进行“四则操作”后的结果可能是； ②对于实数、、进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是； ③对实数、、进行“四则操作”后的结果为，则的值共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 计算________． 12. 如图，在正五边形中，过点C作于点F，那么的度数为________． 13. 袋中装有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从袋子中随机摸出一个球，放回后再摸出一个球，两次摸出的颜色都是白色的概率是________． 14. 某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________． 15. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点分别在半径、和弧上，则图中阴影部分的面积为________． 16. 若关于的一元一次不等式组无解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 17. 如图，在等腰中，，，为的中线，垂直平分交于点，则______． 18. 一个四位正整数的各数位上的数字都不相同且都不为零，并满足千位上的数字与百位上的数字之和为，且十位上的数字与个位上的数字之和为，则称为“七夕数”，将“七夕数”的千位上的数字与十位上的数字交换、百位上的数字与个位上的数字交换得到一个新的四位正整数，则称这个数为M的“七夕佳数”，规定，例如：四位正整数，∵，，∴是“七夕数”，此时．若，则______；若“七夕数”满足能被整除，则满足条件的四位正整数的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知，如图，，，． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点，连接．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）求证：（请完善下面的证明过程） 证明：∵平分 ∴____① ∵ ∴____② ∴ ∴____③ ∵ ∴ ∴____④ 在和中 ∴ ∴ 21. 年大足石刻国际旅游文化节在年月日至月日举行，本届文化节的主题就是“精美的石刻会说话”，将推出项具有国际范、中国味、大足风的精彩活动；广大游客将欣赏到鲤鱼灯舞、中敖火龙等非遗和展演，在月日举行了高品质的视听盛宴“很想遇见你”群星演唱会．为了宣传大足，宣传家乡，某校对八、九年级学生进行了大足石刻国际旅游文化节知识竞赛活动，并从八、九年级各随机抽取了名同学的知识竞赛成绩数据，并将数据进行整理分析．（竞赛成绩用表示，共分为四个等级：．；．；．；．） 除以上信息外，下面给出了个信息： 信息：八年级等级中全部学生的成绩为：，，，，，，，，， 信息：九年级等级中全部学生的成绩为：，，，，，，，，， 信息3：八年级和九年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 满分率 八年级 91 b 100 九年级 91 87 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级的知识竞赛，哪个年级的成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级的名学生和九年级的名学生参加了此次知识竞赛，若成绩在分（包含分）以上为优秀，请你估计两个年级此次参加知识竞赛优秀的总人数． 22. 为了尽快修建一条全长米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，修建道路完工后乙队所修的道路比甲队所修的道路的两倍多米． （1）甲乙两队各修道路多少米？ （2）实际修建过程中，乙队每天比甲队多米，修建完工后乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的倍，乙队每天修建道路多少米？ 23. 如图，中，，，，动点、分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度同时从出发，点沿折线→→方向运动，点沿折线→→方向运动，点到达点后，点的运动速度变为每秒个单位长度运动，同时点的运动速度变为每秒个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出、两点相距个单位长度时的值． 24. 一艘渔船在海中自西向东航行，返回渔港，当渔船航行到点时发现剩余油量不足．可知附近有两岛可以加油，经观测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向海里处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到海里）； （2）该渔船准备加油后返回渔港，决定选择一条较短线路，请计算说明该渔船应选择路线，还是路线？ 25. 如图，抛物线交x轴于、两点，交轴于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图，将抛物线的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在平移后的抛物线上有一点，连接，射线绕点顺时针旋转交直线于点，若时，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个值的求解过程． 26. 等边中，点在线段上，连接． （1）如图，过点作于点，若，，求的长； （2）如图，点在线段的延长线上，点在线段上，连接，若，，求证：； （3）如图，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折得到，在点运动过程中，最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度下期期末质量监测九年级数学试题卷 注意事项： 1．测试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上． 5．测试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 6．参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：2的相反数是， 故选：B． 【点睛】此题考查了相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，正确理解定义是解题的关键． 2. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 3. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，根据，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，根据位似图形的性质即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，其中， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是， 故选：． 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，利用二次根式的运算法则先化简，再利用夹逼法解答即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 已知反比例函数的图象上有点，，，则关于，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画出函数图象，即可求解． 【详解】解：函数图象如下： ∵，，，， ∴ ∴， 故选：D． 7. 如图，由白色棋子和黑色棋子组成的一组图中，第①个图由1个白色棋子组成，第②个图由1个白色棋子和2个黑色棋子组成，第③个图由4个白色棋子和2个黑色棋子组成，第④个图由4个白色棋子和6个黑色棋子组成，…，按照这样的规律排列下去，则第⑧个图有（ ）个白色棋子． A. 20 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了图形的规律探索，解题的关键是根据已知的图案特点发现规律进行求解．观察图象得到第1、2图案中白子有1个，第3、4图案中白子有个，第5、6图案中白子有，…，据此规律可得． 【详解】解：第、图案中白子有个， 第、图案中白子有个， 第、图案中白子有个， 第、图案中白子有个， 故选：B． 8. 如图，是的切线，点C是切点，连接交于点B，延长交于点A，连接，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由直径所对的圆周角等于可得出，,由圆的切线的性质可得出结合已知条件可得出,进一步证明是等边三角形，最后利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴，， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由直径所对的圆周角等于，切线的性质定理，等边三角形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键． 9. 如图，在边长为的正方形中，点、点分别是上的点，连接，满足．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长，使，可证，得到，，即可得到，再证明，得到，，则，，在中，由勾股定理可得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，使，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 10. 对于从左到右依次排列的三个实数、、，在与之间、与之间只添加一个四则运算符号“”、“”、“”、“”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数、、进行“四则操作”，例如：对实数、、的“四则操作”可以是：，也可以是；对实数，，的一种“四则操作”可以是．给出下列说法： ①对实数、、进行“四则操作”后的结果可能是； ②对于实数、、进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是； ③对实数、、进行“四则操作”后的结果为，则的值共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的四则运算,解一元二次方程，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键．根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：对于实数、、进行“四则操作”可以是：， 结果可能为，故①正确； 对于实数、、进行．“四则操作”，可以是或或或或或或或或或或或或或或或， 最大结果是， 故②正确； ③对实数、、进行．“四则操作”后的结果为，可以是或或或或或或或或或或或或或或或，得或无解或或得或无解或或或或或或无解或或或或无解， ∴的值共个，故③正确； ∴正确的个数是， 故选：． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 计算________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和零指数幂的意义，根据非零数的零指数幂等于1及绝对值计算即可． 【详解】解： 故答案为：3 12. 如图，在正五边形中，过点C作于点F，那么的度数为________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】根据多边形的外角和及正多边形的性质求得的度数，再利用三角形的内角和即可求得答案．本题考查多边形的外角和，正多边形的性质及三角形的内角和，结合已知条件求得的度数是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， ， 故答案为：． 13. 袋中装有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从袋子中随机摸出一个球，放回后再摸出一个球，两次摸出的颜色都是白色的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两次摸出的颜色都是白色的结果有种， ∴两次摸出的颜色都是白色的概率是， 故答案为：． 14. 某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点分别在半径、和弧上，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质， 根据正方形的性质可得出，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 四边形是正方形， 是等腰直角三角形, ∴ ， ∴, 故答案为：． 16. 若关于的一元一次不等式组无解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，分式方程的整数解，先由一元一次不等式组无解求出得取值范围，再求出分式方程的解，根据分式方程的解为整数求出满足条件的整数值，即可求解，由一元一次不等式组无解求出得取值范围以及根据分式方程的解的情况求出的值是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵一元一次不等式组无解， ∴， ∴， 由方程得，， ∵分式方程的解为整数，且为整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 17. 如图，在等腰中，，，为的中线，垂直平分交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形的性质可得，，由勾股定理得，由线段垂直平分线的性质得，，即可由得到，即得，，得到，再由得到， 据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 18. 一个四位正整数的各数位上的数字都不相同且都不为零，并满足千位上的数字与百位上的数字之和为，且十位上的数字与个位上的数字之和为，则称为“七夕数”，将“七夕数”的千位上的数字与十位上的数字交换、百位上的数字与个位上的数字交换得到一个新的四位正整数，则称这个数为M的“七夕佳数”，规定，例如：四位正整数，∵，，∴是“七夕数”，此时．若，则______；若“七夕数”满足能被整除，则满足条件的四位正整数的最大值为______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 设“七夕数”的千位上的数字为，十位上的数字为，则百位上的数字为，个位上的数字为， ∴， ， ∴， ∵，， ∴取最大值时，， 又∵能被整除，的各数位上的数字都不相同， ∴， ∴的最大值为为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式、单项式乘多项式法则进行展开，然后再合并同类项即可； （2）括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式及分式的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 20. 已知，如图，，，． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点，连接．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）求证：（请完善下面的证明过程） 证明：∵平分 ∴____① ∵ ∴____② ∴ ∴____③ ∵ ∴ ∴____④ 在和中 ∴ ∴ 【答案】（1） 作图如下， （2）①，②，③，④． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，以一定长度为半径画弧交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接即可； （2）依据题目已给出的思路进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质等知识．掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21. 年大足石刻国际旅游文化节在年月日至月日举行，本届文化节的主题就是“精美的石刻会说话”，将推出项具有国际范、中国味、大足风的精彩活动；广大游客将欣赏到鲤鱼灯舞、中敖火龙等非遗和展演，在月日举行了高品质的视听盛宴“很想遇见你”群星演唱会．为了宣传大足，宣传家乡，某校对八、九年级学生进行了大足石刻国际旅游文化节知识竞赛活动，并从八、九年级各随机抽取了名同学的知识竞赛成绩数据，并将数据进行整理分析．（竞赛成绩用表示，共分为四个等级：．；．；．；．） 除以上信息外，下面给出了个信息： 信息：八年级等级中全部学生的成绩为：，，，，，，，，， 信息：九年级等级中全部学生的成绩为：，，，，，，，，， 信息3：八年级和九年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 满分率 八年级 91 b 100 九年级 91 87 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级的知识竞赛，哪个年级的成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级的名学生和九年级的名学生参加了此次知识竞赛，若成绩在分（包含分）以上为优秀，请你估计两个年级此次参加知识竞赛优秀的总人数． 【答案】（1），，； （2）八年级的成绩更好， ∵两个年级的平均数相同，而八年级的中位数满分率都过于九年级， ∴八年级的成绩更好； （3）两个年级此次知识竞赛中优秀的人数约为人． 【解析】 【分析】（1）用八年级等人数除以即可得出等所占比例，再用单位“”分别减去、、所占比例即可得出的值；根据中位数的定义（将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）可得的值；用满分人数除以即可得出的值； （2）根据中位数，满分率解答即可； （3）总人数乘以分（包含分）以上人数所占比例即可 【小问1详解】 解：∵八年级等有人， ∴等所占比例为， ∴， ∴， 八年级等有：（人），等有：（人）， 把八年级所抽取了名同学的知识竞赛成绩从低到高排列，排在最中间的是第名和第名的成绩，分别是，， ∴中位数， 九年级满分率为：， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级此次知识竞赛中优秀的人数约为人． 【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、平均数、利用数据进行决策，用样本估计总体等知识点，熟悉掌握相关知识点是正确解答的关键． 22. 为了尽快修建一条全长米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，修建道路完工后乙队所修的道路比甲队所修的道路的两倍多米． （1）甲乙两队各修道路多少米？ （2）实际修建过程中，乙队每天比甲队多米，修建完工后乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的倍，乙队每天修建道路多少米？ 【答案】（1）甲队修道路米，则乙队修道路米； （2）乙队每天修建道路米． 【解析】 【分析】（）设甲队修道路米，则乙队修道路米，列出一元一次方程即可求解； （）设乙队每天修建道路米，则甲队每天修建道路米，列出分式方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意，正确列出一元一次方程和分式方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲队修道路米，则乙队修道路米， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：甲队修道路米，则乙队修道路米； 【小问2详解】 解：设乙队每天修建道路米，则甲队每天修建道路米， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙队每天修建道路米． 23. 如图，中，，，，动点、分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度同时从出发，点沿折线→→方向运动，点沿折线→→方向运动，点到达点后，点的运动速度变为每秒个单位长度运动，同时点的运动速度变为每秒个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出、两点相距个单位长度时的值． 【答案】（1）; （2） 函数图象如下： 当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（）分及两种情况考虑，对前一情况，利用勾股定理即可，对后一情况，利用两点运动路程和与的和为即可解决； （）由（）中求得的函数关系式画出函数图象，根据图象即可写出一条性质即可； （）根据所求得的函数关系式，求出当时的自变量值即可． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴由勾股定理得：； 当、分别运动到点、时，运动时间为（秒）； 当、在上相遇时，，解得； ①当时，、分别在边上，此时， 由勾股定理得； ②当时，，两点在边上，此时， ∵， ∴； 综上，所得函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，，得； 当时，，得； 故当，两点相距个单位长度时，的值为或． 【点睛】本题是动点问题，考查了勾股定理，求函数解析式，画一次函数图象，已知函数值求自变量值等知识，注意分类讨论是解题的关键． 24. 一艘渔船在海中自西向东航行，返回渔港，当渔船航行到点时发现剩余油量不足．可知附近有两岛可以加油，经观测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向海里处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到海里）； （2）该渔船准备加油后返回渔港，决定选择一条较短线路，请计算说明该渔船应选择路线，还是路线？ 【答案】（1）海里； （2）该渔船应选择路线． 【解析】 【分析】（）由题意得，，，，，海里，过点作于，解得海里，再解即可求解； （）解直角三角形求出的长，进而求出两条线路的长度即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，，，，海里， 过点作于，则， 在中，海里， 在中，海里， ∴的长度为海里； 【小问2详解】 解：在中，海里， 在中，海里， ∴海里， 在中，海里， 海里， ∴路线的距离为海里， 路线为距离为海里， ∵， ∴该渔船应选择路线． 25. 如图，抛物线交x轴于、两点，交轴于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图，将抛物线的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在平移后的抛物线上有一点，连接，射线绕点顺时针旋转交直线于点，若时，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个值的求解过程． 【答案】（1）； （2）点的坐标为，的最大值为； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，得出，，进而设，则，求得的关系式，根据二次函数的性质求得的最值，即可求出的最大值； （3）求出平移后的抛物线解析式为，画图象如下，过点作轴于，过点作轴于点，可证，得到，，分在第二象限和第一第二象限解答即可求解； 本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，解直角三角形，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：、把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为，、 如图所示，过点作轴，交于点， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴平移后的抛物线解析式为， 画图象如下，过点作轴于，过点作轴于点，则， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设， 当在第二象限时，点在第一象限，，， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）； 当点在第一象限时，点在第四象限，，， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）； ∴点的横坐标为或． 26. 等边中，点在线段上，连接． （1）如图，过点作于点，若，，求的长； （2）如图，点在线段的延长线上，点在线段上，连接，若，，求证：； （3）如图，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折得到，在点运动过程中，最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）由可设，则，由勾股定理可得，求出，进而利用三角函数即可求解； （）延长，使，连接，过点作，可得为等边三角形，进而得到，，再证明，得到，证明，得到，即得，即可得到，即得，再根据即可求证； （）由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点三点共线时，最小，过点作于，过点作于，过点作于，则，解直角三角形求出，，得到， 由勾股定理得，再求出，得到，证明，得到，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长，使，连接，过点作， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点三点共线时，最小，过点作于，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，旋转的性质，折叠的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $