专题1.4 充分条件与必要条件【讲义：4大题型6个角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版2019·必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 目录 知识点1:命题 1 知识点2:充分、必要与充要条件 2 知识点3:从集合的角度理解充分、必要与充要条件 2 题型1:充分条件、必要条件和充要条件的互判 3 角度1:定义法 3 角度2:集合法 3 角度3:传递法 4 角度4:特殊值法 4 题型2:充要条件的证明 5 题型3:充分条件、必要条件和充要条件的探求 6 题型4:根据充要条件、必要条件和充要条件求求参数或取值范围 7 角度1:求参数问题 7 角度2:求取值范围问题 8 学习目标导航 关键词 1. 理解必要条件、充分条件的意义(重点、难点). 2. 理解充要条件的意义(重点). (1)充分条件 (2)必要条件 (3)充要条件 知识点1:命题 1. 定义:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 2. 分类 3. 形式 “若p,则q”,其中p称为命题的条件,q称为命题的结论. 知识点2:充分、必要与充要条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q,记作:p q 由条件p不能推出结论q,记作:pq 条件关系 p是q的充分条件;q是p的必要条件 p不是q的充分条件;q不是p的必要条件 一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 2.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q,又有q p,记作p q.此时p既是q的充分条件,也是q的必要条件.我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件. 如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p q,那么p与q互为充要条件. :“ ”的传递性 若p是q的充要条件,q是s的充要条件,即p q,q s,则有p s,即p是s的充要条件. 3.充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p q,又有q p,则p是q的充要条件,记为p q. (2)如果p 且q ,则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p q且q ,则称p是q的充分不必要条件. (4)如p 且q p,则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)},与命题q对应的集合为B={x|q(x)}, 若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件; 若A=B,则p是q的充要条件. 知识点3:从集合的角度理解充分、必要与充要条件 如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表 记法 A={x|p(x)},B={x|q(x)} 关系 AB BA A=B AB且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p,q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 题型1:充分条件、必要条件和充要条件的互判 方法总结:充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1. 定义法: 判断的三个步骤如下: (1)分清命题的条件和结论;(2)找推式:判断“p q及“q p”的真假;(3)根据推式及定义得出结论. 2. 集合法:写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系进行判断. 3. 传递法:若问题中出现若干个条件和结论,应根据条件画出相应的推式图,根据图中推式的传递性进行判断. 4. 特殊值法:对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),但是这种方法不适用于证明题. 角度1:定义法 【典例1】(23-24高一上 北京 期中)“” 是的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【变式1-1】(23-24高一上 云南昆明 期末)已知:,:方程有实数根,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式1-2】(23-24高一上 上海浦东新 期中)设、,则“,”是“”的 条件.(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分也非必要”) 【变式1-3】(23-24高一上 广东惠州 阶段练习)下列说法正确的是 .(填序号) ①“x>0”是“x>1”的必要不充分条件 ②“”是“a>b”的充分不必要条件; ③在 ABC中,“a>b”是“A>B”的充分必要条件. 角度2:集合法 【典例2】(23-24高一上 陕西西安 开学考试)已知集合,,则“”是“”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【变式2-1】(23-24高一上 上海 期末)若:,:,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式2-2】(23-24高一上 西藏林芝 期中)设集合,,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式2-3】(多选)(23-24高一上 安徽 期中)下列命题中,正确的是( ) A.“”是“”的充分不必要条件 B.“”是“”的必要不充分条件 C.“”是“”的充要条件 D.“”是“”的必要不充分条件 角度3:传递法 【典例3】(22-23高一上 江苏徐州 期中)已知命题且,命题,则是的( ) A.充要条件 B.充分且不必要条件 C.必要且不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【变式3-1】(多选)(23-24高一上 江苏连云港 阶段练习)已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件.则( ) A.p是q的充分条件 B.p是q的必要条件 C.s是r的充要条件 D.r是q的充要条件 【变式3-2】(多选)(22-23高一上 黑龙江伊春 阶段练习)若p是q的充分不必要条件,q是S的必要条件,t是q的必要条件,t是S的充分条件,则( ) A.t是p的必要不充分条件 B.t是q的充要条件 C.p是S的充要条件 D.q是S的充要条件 【变式3-3】(多选)已知是的充分不必要条件,是的充分条件,是的必要条件,是的必要条件,下列命题正确的是( ) A.是的充要条件 B.是的充分不必要条件 C.是的必要不充分条件 D.是的充分不必要条件 角度4:特殊值法 【典例4】(23-24高一上 新疆阿克苏 阶段练习)“”是的什么条件( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件 【变式4-1】(23-24高一上 山东临沂 阶段练习)已知,则“”是“”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【变式4-2】(22-23高一上 北京 期中)判断下列命题的真假,其中真命题的个数是( ) (1)“”是“”的充分条件; (2)“”是“”的必要条件; (3)“”是“”的充要条件; (4)“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件; (5)“”是“”的充分条件. A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 【变式4-3】(2023高一 全国 单元测试)若,则“”的充分不必要条件是( ) A.且 B.且 C.且 D.且 题型2:充要条件的证明 方法总结 (1)有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件,证明命题的充分性是由“条件” “结论”,证明命题的必要性是由“结论 “条件”. (2)证明要分两个环节:一是证充分性;二是证必要性,要搞清它的叙述格式,是证明“p是q的充要条件"还是证明“p的充要条件是q”,避免在论证时将充分性错当必要性证,而又将必要性错当充分性证. (3)在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性( ),也可以直接证明充要性. 【典例5】(23-24高一上 广西南宁 期中)求证:是是等边三角形的充要条件.(这里,,是的三边边长). 【变式5-1】(23-24高一上 江苏南京 阶段练习)求证:“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”. 【变式5-2】(2023高一 江苏 专题练习)设分别为的三边的长,求证:关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【变式5-3】已知,设二次函数,其中a,c均为实数.证明:对于任意,均有成立的充要条件是. 题型3:充分条件、必要条件和充要条件的探求 方法总结:充分、必要、充要条件的探求方法 1.从定义和命题的角度 方法1:先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来推证结论成立,即保证必要性和充分性都成立. 方法2:变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件. 2.从集合的角度 (1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p,从集合的角度看,是找q的子集. (2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出的结论p,从集合的角度看,是找能包含q的集合. 【典例6】(23-24高一上 上海普陀 期中)设为全集,、为非空集合,下面四个条件,其中是的充要条件个数有( )个 (1);(2);(3);(4). A.1 B.2 C.3 D.4 【变式6-1】(23-24高一上 广东广州 阶段练习)“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是( ) A. B. C. D. 【变式6-2】(23-24高一上 江苏宿迁 阶段练习)关于的方程有实数根的充要条件是( ) A. B. C. D. 【变式6-3】已知、是方程的两个实根,是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型4:根据充要条件、必要条件和充要条件求求参数或取值范围 方法总结:利用充分条件和必要条件求参数的取值和范围 解此类题型时,主要根据集合间的包含关系和充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解。 角度1:求参数问题 【典例7】(22-23高一上 广东东莞 阶段练习)方程与有一个公共实数根的充要条件是( ). A. B. C. D. 【变式7-1】已知数列{an}的通项公式,若“an<an+1(n∈N*)”的充要条件是“a<M”,则M的值等于( ) A. B.1 C. D.2 【变式7-2】(23-24高一上 江苏苏州 阶段练习)已知集合,集合,若命题“”是命题“”的充要条件,则实数a的值是 . 【变式7-3】已知命题,命题.若是的充要条件,则的值是 . 角度2:求取值范围问题 【典例8】(23-24高一上 安徽阜阳 阶段练习) (1)是否存在m的值,使得是的充要条件,若存在求出m的值;若不存在,请说明理由. (2)若是的充分条件,求m的取值范围 (3)若=,求m的取值范围 【变式8-1】(23-24高一上 贵州黔西 期末)关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是( ) A.或 B.或 C. D. 【变式8-2】集合,其中b是实数,若A是B的充要条件,则b= ;若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是 (答案不唯一,写出一个即可) 【变式8-3】设集合,命题,命题 (1)若是的充要条件,求正实数的取值范围; (2)若是的充分不必要条件,求正实数的取值范围. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 1.4 充分条件与必要条件 目录 知识点1：命题 1 知识点2：充分、必要与充要条件 2 知识点3：从集合的角度理解充分、必要与充要条件 2 题型1：充分条件、必要条件和充要条件的互判 3 角度1：定义法 3 角度2：集合法 4 角度3：传递法 6 角度4：特殊值法 7 题型2：充要条件的证明 9 题型3：充分条件、必要条件和充要条件的探求 11 题型4：根据充要条件、必要条件和充要条件求求参数或取值范围 12 角度1：求参数问题 12 角度2：求取值范围问题 14 学习目标导航 关键词 1. 理解必要条件、充分条件的意义（重点、难点）. 2. 理解充要条件的意义（重点）. （1）充分条件 （2）必要条件 （3）充要条件 知识点1：命题 1. 定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 2. 分类 3. 形式 “若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 知识点2：充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 "若p，则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作：pq 条件关系 p是q的充分条件；q是p的必要条件 p不是q的充分条件；q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． ：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分、必要与充要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表 记法 A={x|p(x)}，B={x|q(x)} 关系 AB BA A=B AB且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 题型1：充分条件、必要条件和充要条件的互判 方法总结：充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1. 定义法： 判断的三个步骤如下： (1)分清命题的条件和结论；(2)找推式：判断“p⇒q及“q⇒p”的真假；(3)根据推式及定义得出结论. 2. 集合法：写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断. 3. 传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断. 4. 特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题. 角度1：定义法 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值，利用充分和必要条件的性质判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“” 是的既不充分又不必要条件， 故选：D. 【变式1-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知：，：方程有实数根，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程有实数根，则满足，解得， 所以是方程有实数根的充分不必要条件， 即是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设、，则“，”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分也非必要”） 【答案】充分非必要 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当且时，由不等式的基本性质可得， 则“，”“”； 当时，取，，则“，” “”. 所以，“，”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 【变式1-3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列说法正确的是 ．（填序号） ①“x>0”是“x>1”的必要不充分条件 ②“”是“a>b”的充分不必要条件； ③在△ABC中，“a>b”是“A>B”的充分必要条件. 【答案】①③ 【分析】由充分条件，必要条件的定义结合不等式性质及三角形性质即可逐项判断. 【详解】因为但，所以“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件，故①正确； 因为，所以“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，故②不正确； 因为在△ABC中，大边对大角，大角对大边，所以，所以“a>b”是“A>B”的充分必要条件，故③正确. 故答案为：①③ 角度2：集合法 【典例2】（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】若，即可得到，从而求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2-1】（23-24高一上·上海·期末）若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据子集与真子集的定义及充分必要条件的定义可判断结果. 【详解】对于：因为，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个， 则集合M可能为三种情况，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一上·西藏林芝·期中）设集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，满足； 当时，可得或； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-3】（多选）（23-24高一上·安徽·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【分析】A项：利用不等式知识即可判断； B，C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断； D项：根据交并集知识即可判断. 【详解】对于A项：由“”可以推出，但反之不可以，故A项正确. 对于B项：由“”推不出“”，但反之可以，故B项正确. 对于C项：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C项错误. 对于D项：由题意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D项错误. 故选:AB. 角度3：传递法 【典例3】（22-23高一上·江苏徐州·期中）已知命题且，命题，则是的（    ） A．充要条件 B．充分且不必要条件 C．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当且时，由不等式的基本性质可得，即， 若，取，，命题成立，但命题不成立，即， 因此，是的充分且不必要条件， 故选：B. 【变式3-1】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 【答案】BCD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】因为p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件， 所以，，，， 所以，，则， 所以p是q的必要条件，故A错误，B正确； s是r的充要条件，故C正确； r是q的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 【变式3-2】（多选）（22-23高一上·黑龙江伊春·阶段练习）若p是q的充分不必要条件，q是S的必要条件，t是q的必要条件，t是S的充分条件，则（    ） A．t是p的必要不充分条件 B．t是q的充要条件 C．p是S的充要条件 D．q是S的充要条件 【答案】ABD 【分析】将之间的关系用推出符号表示，根据符合即可作出判断. 【详解】由题意可知：， 则有，且，所以，故正确； 因为，且p是q的充分不必要条件， 所以p是的充分不必要条件，t是p的必要不充分条件，故正确，错误， 故选：. 【变式3-3】（多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】AB 【解析】根据条件弄清楚之间的关系，然后逐一判断即可. 【详解】由已知有 所以且，故A正确，C不正确 ，B正确，且，D不正确 故选：AB 【点睛】本题主要考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 角度4：特殊值法 【典例4】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“”是的什么条件（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据，且得到答案. 【详解】因为成立能推出成立，但成立推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 【变式4-1】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断. 【详解】由得，此不等式与不等式同解，解得或. 所以，当时，一定成立，故充分性成立； 当即或时，不一定成立，故必要性不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-2】（22-23高一上·北京·期中）判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（    ） （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充要条件； （4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件； （5）“”是“”的充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】由充分条件、必要条件、充要条件、真假命题的定义逐一判断各个命题，即可求解. 【详解】对于（1），不妨设，但此时有，所以“”不是“”的充分条件，故命题（1）是假命题； 对于（2），不妨设，但此时有，所以“”不是“”的必要条件，故命题（2）是假命题； 对于（3），不妨设，但此时，所以“”不是“”的充要条件，故命题（3）是假命题； 对于（4），由于是无限不循环小数当且仅当是无限不循环小数，由无理数的定义可知“是无理数”是“是无理数”的充分必要条件，故命题（4）是假命题； 对于（5），当时，有，所以“”是“”的充分条件，故命题（5）是真命题； 综上所述：真命题的个数一共有1个. 故选：B. 【变式4-3】（2023高一·全国·单元测试）若，则“”的充分不必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】对于选项A和B，可通过对取特殊值进行验证判断，从而判断出正误；对于选项C，利用选项C中的条件，得出，从而得出选项C是充要条件，从而判断出不符合结果，进而得出结论. 【详解】对于A，当时，有且，但，故A错误； 对于B，当时，有且，但得不出，故B错误； 对于C，由，得到且或且，又，故且，此时是充要条件，故C错误； 综上，可知符合条件的为选项D. 故选：D. 题型2：充要条件的证明 方法总结 (1)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，证明命题的充分性是由“条件”⇒“结论”，证明命题的必要性是由“结论⇒“条件”. (2)证明要分两个环节:一是证充分性;二是证必要性，要搞清它的叙述格式，是证明“p是q的充要条件"还是证明“p的充要条件是q”，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证. (3)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性. 【典例5】（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【变式5-1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 【变式5-2】（2023高一·江苏·专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】设两个方程公共实数根，代入方程化简得到，求得，代入，得到，证得必要性成立；由，可得，代入两个方程，化简得到两方程有公共实数根，进而得到充分性成立，即可得证. 【详解】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 【变式5-3】已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件定义证明即可. 【详解】因为，所以函数图像的对称轴方程为直线，且，所以. 先证充分性:因为，且，所以. 再证必要性:因为，所以只需即可.即，从而.综上可知， 对于任意，均有成立的充要条件是. 题型3：充分条件、必要条件和充要条件的探求 方法总结：充分、必要、充要条件的探求方法 1.从定义和命题的角度 方法1:先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立. 方法2:变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件. 2.从集合的角度 (1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，从集合的角度看，是找q的子集. (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含q的集合. 【典例6】（23-24高一上·上海普陀·期中）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系. 【详解】U为全集，A、B为非空集合    对于（1）； 对于（2）； 对于（3）； 对于（4）. 故选：D 【变式6-1】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：， 故选：A 【变式6-2】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件. 【详解】由方程有实根，则，可得. 所以是题设方程有实根的充要条件. 故选：C 【变式6-3】已知、是方程的两个实根，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合二次方程相关知识判断可得出结论. 【详解】因为、是方程的两个实根，则. 则，则， 所以，. 所以，是的充要条件. 故选：C. 题型4：根据充要条件、必要条件和充要条件求求参数或取值范围 方法总结：利用充分条件和必要条件求参数的取值和范围 解此类题型时，主要根据集合间的包含关系和充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解。 角度1：求参数问题 【典例7】（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 【变式7-1】已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由数列的通项公式分别验算成立的充分条件和必要条件可得答案. 【详解】解：数列{an}的通项公式， 必要性：若，则恒成立，即对任意恒成立，则； 充分性：当时，对任意恒成立， 即. ∴“”的充要条件是“”， ∴的值等于. 故选：C. 【知识点】本题主要考查充分条件、必要条件和数列的相关知识，考查学生的综合分析能力和数学计算能力，属于中档题. 【变式7-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 【变式7-3】已知命题，命题.若是的充要条件，则的值是 . 【答案】 【解析】解不等式，根据不等式与不等式的解集相同可求得实数的值. 【详解】解不等式，即，解得， 由于是的充要条件，则不等式的解集为， 是关于的方程的一根，则，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用充要条件求参数，考查分式不等式的解法以及利用一元二次不等式的解求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 角度2：求取值范围问题 【典例8】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 【变式8-1】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式8-2】集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b= ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 /0.5 【分析】分别根据充要条件以及必要不充分条件的含义即可求解. 【详解】因为A是B的充要条件，则解集相同.，得，因为，则，解得；因为A是B的充分不必要条件，即 ，又因为，且，则，需要，解得，即 故答案为：； 【变式8-3】设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$