1.4充分条件与必要条件【七大考点+八大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

1.4：充分条件与必要条件 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【例题详解】 题型一、充分、必要条件的判断 【例1】．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东梅州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：充要条件的判断 【例2】．（25-26高一上·全国）下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 【跟踪训练1】．（2025高一上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各题中，是的什么条件？是的什么条件？ (1)，：抛物线过原点； (2)且，且； (3)，. 题型三：根据充分不必要条件求参数 【例3】．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：根据必要不充分条件求参数 【例题4】．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：根据充要条件求参数 【例题5】．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【跟踪训练2】．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 题型六、充要条件的证明 【例题6】．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 题型七：充分条件与必要条件综合 【例题7】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【跟踪训练1】．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【跟踪训练2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【跟踪训练3】．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 1．（22-23高一上·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025高一上·全国·专题练习）王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（24-25高一上·北京西城·期末）已知集合，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 8．（2025高一上·湖南岳阳·专题练习）下列命题是真命题的是（　　） A．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 B．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 C．是的充要条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 9．（25-26高一上·全国·课后作业）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 12．（24-25高二下·安徽·阶段练习）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 三、填空题 13．（25-26高一上·全国·单元测试）对于实数，“”是“且”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知为非零实数，则“”是“点在直线上”的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”中选填） 15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 16．（24-25高一上·陕西西安·期中）设p：；q：.若p是q的充分不必要条件，a取值范围是 四、解答题 17．（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)，：方程有实数根． 18．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若“ “是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 21．（24-25高一上·全国·课后作业）设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4：充分条件与必要条件 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【例题详解】 题型一、充分、必要条件的判断 【例1】．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且时，成立，但当时，且不一定成立，如且， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东梅州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式可得，且， 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型二：充要条件的判断 【例2】．（25-26高一上·全国）下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件. （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件. （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， ∴是的必要非充分条件. 【跟踪训练1】．（2025高一上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐一判定即可. 【详解】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，满足“”，但方程没有实数根，即选项B不正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足；若，则，但不满足，即选项D正确. 故选：D. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各题中，是的什么条件？是的什么条件？ (1)，：抛物线过原点； (2)且，且； (3)，. 【答案】(1)是的充要条件，是的充要条件. (2)是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. (3)是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解； （2）根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解； （3）根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：当时，抛物线过原点，所以充分性成立； 反之：若抛物线过原点，可得，所以必要性成立， 所以是的充要条件，是的充要条件. （2）解：且，可得且，所以充分性成立； 反之：若 且，则且不一定成立，所以必要性不成立； 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. （3）解：若，可得，所以充分性成立； 反之：若，可得，则 不一定成立，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 题型三：根据充分不必要条件求参数 【例3】．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】，若，则，BA， 若，则，BA，若，则，BA，∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【跟踪训练1】．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为集合，， 若是成立的充分条件，则， 所以，，解得. 故选：C. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 题型四：根据必要不充分条件求参数 【例题4】．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】是的必要条件，，. 故选：B. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为 ，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以 ， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 题型五：根据充要条件求参数 【例题5】．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 【跟踪训练2】．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【详解】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 题型六、充要条件的证明 【例题6】．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 题型七：充分条件与必要条件综合 【例题7】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为 【跟踪训练1】．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 【跟踪训练2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算即可求； （2）由题意可得是的真子集，分和两种情况讨论即可求. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 【跟踪训练3】．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）由是成立的充分不必要条件所以是的真子集，进而求出结果； （2）由可得且，解不等式即可求出结果． 【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 又因为所以或， 所以的取值范围为或； （2），且 ∴且，即 故的取值范围是． 【高分演练】 一、单选题 1．（22-23高一上·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式可化简命题，然后可得答案. 【详解】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 故选：B 2．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合必要不充分条件的定义求出，即得的取值可能是1. 【详解】由是的必要不充分条件，得， 则由命题“是的必要不充分条件”是假命题，得， 所以的取值可能是1． 故选：A. 3．（2025高一上·全国·专题练习）王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定即可. 【详解】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题， 根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题． 所以“好货”⇒“不便宜”， 所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件． 故选：A. 4．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得 ，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 7．（24-25高一上·北京西城·期末）已知集合，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件及必要条件的判定方法进行判断. 【详解】先看充分性：因为，当时，为偶数； 当时，；当时，； 当时，；则可表示所有奇数； 综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数. 因为，则，所以“”是“”的充分条件； 再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件， 即“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、多选题 8．（2025高一上·湖南岳阳·专题练习）下列命题是真命题的是（　　） A．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 B．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 C．是的充要条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 【答案】CD 【分析】对于选项A,B：结合三角形的性质即可判断；对于选项C：利用集合间的关系与运算即可判断；对于选项D:根据有理数的运算性质即可判断. 【详解】对于选项A：在中，是锐角，则可能为锐角，直角或钝角，故无法得出一定为锐角三角形； 若为锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知的三个内角均为锐角的三角形， 所以是锐角是为锐角三角形的必要不充分条件，故选项A错误； 对于选项B：当是钝角时，则为钝角三角形； 当为钝角三角形不一定能推出是钝角， 所以是钝角是为钝角三角形的充分不必要条件，故选项B错误； 对于选项C：根据交集的性质易知是的充要条件，故选项C正确； 对于选项D:当时，此时； 当，此时满足的解可以为， 所以或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件，故选项D正确. 故选：CD. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】探求使不等式成立的充分不必要条件，即寻找在解集范围内且小于该范围的选项． 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有两个负根时，则有，解得， 当方程有一个负根一个正根时，则有即， 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 选项中，在的范围内，且比小的范围有A、B、C． 故选：ABC. 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【分析】由题可得是的真子集，进而即得. 【详解】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集， 所以， 故选：BCD 11．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高二下·安徽·阶段练习）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 三、填空题 13．（25-26高一上·全国·单元测试）对于实数，“”是“且”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】由，可得且，可知充分性成立，赋值法可判断必要性不成立. 【详解】由，可得且，所以且， 所以“”是“且”的充分条件； 满足且，但， 所以“”不是“且”的必要条件． 所以“”是“且”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知为非零实数，则“”是“点在直线上”的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”中选填） 【答案】必要不充分 【分析】分析题设，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得. 【详解】由，则或， 由点在直线上，则，即， 所以“”是“点在直线上”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】；， 因为是的充分条件， 所以有， 故答案为： 16．（24-25高一上·陕西西安·期中）设p：；q：.若p是q的充分不必要条件，a取值范围是 【答案】 【分析】由充分不必要条件列出关于的不等式组即可得解. 【详解】，若p是q的充分不必要条件， 则当且仅当，解得. 故答案为：. 四、解答题 17．（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要不充分条件 (2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可． （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可． （3）利用矩形的性质判断即可． （4）利用一元二次方程的判别式判断即可． 【详解】（1）∵，但，∴是的必要不充分条件 （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既不充分又不必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要不充分条件． （4），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分不必要条件． 18．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 19．（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若“ “是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 20．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得再由子集的概念逐个列举即可； （2）由，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由题意， 所以的子集有：. （2）由题意可得：, 故， 解得：. 21．（24-25高一上·全国·课后作业）设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得非空集合是集合的真子集，列不等式组，解得即可. 【详解】（1）， 或 当时，， 或. （2）“”是“”的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则有，且等号不能同时取到，解得. 故的取值范围为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$