精品解析：2024年上海市彭浦第三中学中考三模数学试题A卷

2024学年上海市彭浦第三中学九下三模测试卷A （满分：150分 考试时间：100分钟） 一.选择题（共24分） 1. 2的相反数是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. D. 2. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　） A. B. C. D. 3. 某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（　　） A. a＜b B. a＝b C. a＞b D. 无法判断 4. 如果用A表示事件“若，则”，用表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是　　 A. B. C. D. 5. 如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰中，，F 是边上的中点，点 D，E 分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论： ①是等腰直角三角形； ②四边形不可能为正方形， ③长度的最小值为； ④四边形的面积保持不变； ⑤面积的最大值为 4． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③④ D. ③④⑤ 二.填空题（48分） 7. 的平方根是________． 8. 函数的定义域为_______． 9. 方程的解是__________． 10. 反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 11. 如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米． 12. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直，AC=4，BD=6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________ 13. 如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于_____度． 14. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为，第二个三角数记为，…，第n个三角数记为，则_____（）． 15. 在矩形中 ，，点 O在对角线上，的半径为4，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段 长的取值范围是____________． 16. 如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________． 17. 如图，平面直角坐标系中，，反比例函数在第一象限内的图象分别与线段交于点，连接，如果点关于的对称点恰好落在边上，那么的值为______． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为__________________． 三.解答题（共78分） 19. 用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求：的值． 20. 解不等式组：． 21. 如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． （1）求的正切值； （2）已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 22. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=AB，点F为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC=∠EGC． （1）求证：CG=DG； （2）求证：． 23. 某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系． （1）请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ （2）已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ （3）已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 24. 如图，内接于，，为直径，与相交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：与相切： （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若的半径为4，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． （1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②求证：． （2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年上海市彭浦第三中学九下三模测试卷A （满分：150分 考试时间：100分钟） 一.选择题（共24分） 1. 2的相反数是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【详解】2与-2只有符号不同， 所以2的相反数是﹣2， 故选B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出、的长，再根据相似三角形的性质，求出的长，的长即可解决问题； 【详解】解：作轴于，轴于，交于． 在与中， ， ， ， 设， 则， 于是在中，； 解得． ； 轴，轴， ， ， ， ， ； 又， ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 3. 某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（　　） A. a＜b B. a＝b C. a＞b D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案． 【详解】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54， 所以中位数a＝54， 新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化， 所以平均数b＞54， 则b＞a， 故选：A． 【点睛】此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 4. 如果用A表示事件“若，则”，用表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件的概率等于1,随机事件A的发生的概率是:,不可能发生事件的概率等于0. 【详解】因为A表示事件“若,则”是必然事件, 所以事件A发生的概率等于1. 故选A. 【点睛】本题主要考查必然事件的概率,解决本题的关键是要熟练掌握必然事件发生的概率. 5. 如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解． 【详解】解：作于，设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∵ ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 如图，在等腰中，，F 是边上的中点，点 D，E 分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论： ①是等腰直角三角形； ②四边形不可能为正方形， ③长度的最小值为； ④四边形的面积保持不变； ⑤面积的最大值为 4． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③④ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①连接，证明，得到是等腰直角三角形； ②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形是菱形，利用正方形的判定定理进行判断； ③当最小时，也最小，利用垂线段的性质求出的最小值，进行计算即可； ④根据，得到； ⑤由③的结论进行计算即可． 【详解】①连接， ∵是等腰直角三角形，且F是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，①正确； ②当D、E分别为、中点，即、分别为和斜边上的中线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，又， ∴四边形是正方形，②错误； ③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小， 当时，最小，此时． ∴，③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵F 是边上的中点， ∴ ∴四边形的面积保持不变，④正确； ⑤由③可知当最小时，也最小，的最小值是3，则的最小值为， 当面积最大时，此时的面积最小． 此时，⑤错误； 综上，正确的是：①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键． 二.填空题（48分） 7. 的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 8. 函数的定义域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题．由根式的被开方数大于等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 9. 方程的解是__________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：原方程两边平方，得：－1＝4，所以，．故答案为． 考点：根式方程． 10. 反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的性质．由，根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小， 在第三象限，y随x增大而减小， 故答案为：减小． 11. 如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米． 【答案】5.4 【解析】 【分析】依据题意可得∠AOC＝∠BOD，通过说明△ACO～△BDO，得出比例式可求得结论． 【详解】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD． ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°． ∴△ACO～△BDO． ∴． 即． ∴BD＝5.4（米）． 故答案为：5.4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出三角形相似是解题关键． 12. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直，AC=4，BD=6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据E、F、G、H分别为各边的中点，得到EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF=AC=2，EH=BD=3，证得四边形EFGH是平行四边形，根据AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，求出∠EMO=∠ENO=90°，证得四边形EMON是矩形，得到∠MEN=90°，由此证得四边形EFGH是矩形，再利用面积公式计算即可. 【详解】如图： ∵E、F、G、H分别为各边的中点， ∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF=AC=2，EH=BD=3， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴∠EMO=∠ENO=90°， ∴四边形EMON是矩形， ∴∠MEN=90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴四边形EFGH的面积=， 故答案为：6. 【点睛】此题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，矩形的判定定理. 13. 如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于_____度． 【答案】22.5 【解析】 【分析】按照题干给的定义设出一个最小角和另一个内角列方程求解即可． 【详解】设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y， 由题意得，， 解得：， 答：该三角形的最小内角等于22.5°， 故答案为：22.5． 【点睛】此题表面是考查对新定义的理解，其实是考查一元二次方程组的应用． 14. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为，第二个三角数记为，…，第n个三角数记为，则_____（）． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算，，，的值，找到规律，即可得出答案． 【详解】由题意可知， ， ， ， … ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型：数字变化类，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，找到规律后即可解决问题． 15. 在矩形中 ，，点 O在对角线上，的半径为4，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段 长的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键．根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于点，连接，如图2，设与边相切于，连接，根据三角形相似的性质，分别求出两种情况下的的长，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，， ，，， 如图1，设与边相切于点，连接， ∴，， ， ， ，即， ； 如图2，设与边相切于，连接， 同理可证明， ，即， ， ； 综上所述，如果与矩形的边没有一个公共点，那么． 故答案为：． 16. 如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题应根据题意先找到圆心位置，再根据圆心位置求出不在圆上的顶点到该圆圆心的距离即可． 【详解】 根据题意作图可分两种情况：1如图：作， BC=，BO=5， ∵A，B，C在圆O上， ∴BP=（垂径定理）， 又， ∴OP== =； 因为ABCD是菱形， ∴ACBD，即∠BQC=90°， 在△BOP与△BQC中， ， ∴△BOP△BQC， ∴， 即， ∴BQ=2， ∵BQ>BO， ∴此情况不符合题意，舍去； 2，如图，同理可得OP=， 在△BOP与△BQC中， ， ∴△BOP△BQC， ∴ ， 即， ∴BQ=2， ∴OQ=BO-BQ=3， ∴OD== =1， 综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1． 故答案是：1． 【点睛】此题是新型概念的题型，实际是求点到圆心的距离的知识点，难度偏难． 17. 如图，平面直角坐标系中，，反比例函数在第一象限内的图象分别与线段交于点，连接，如果点关于的对称点恰好落在边上，那么的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据A（8，0），B（8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点F的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点F的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AD的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值． 【详解】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于EF的对称点为D，连接DF、ED、BD，如图所示： 则△BEF≌△DEF， ∴BD=DF，BE=DE，∠FDE=∠FBE=90°， ∴∠EDG+∠ADF=∠ADF+∠AFD， ∴∠EDG=∠AFD， ∵∠EGD=∠DAF， ∴△ADF∽△GED， ∴， ∴AD：EG=BD：BE， ∵A（8，0），B（8，4），C（0，4）， ∴AB=OC=EG=4，OA=BC=8， ∵E、F在反比例函数的图象上， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴  在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2=DF2   即：，  解得：k=12， 故答案为12． 【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为__________________． 【答案】2或8﹣4 【解析】 【分析】分两种情形：如图1中，当BN=DM时，联结CC′交BM于J．如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可． 【详解】解：如图1中，当BN＝DM时，联结CC′交BM于J． ∵BN＝DM，BN∥DM， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∴BM∥DN， ∵CJ＝JC′， ∴CM＝DM＝CD＝2． 如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T． ∵CB＝CD，BN＝DM， ∴CN＝CM＝MC′， 在△BCM和△DCN中， ， ∴△BCM≌△DCN（SAS）， ∴∠CDN＝∠CBM， ∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°， ∴∠CBM＝∠C′CD， ∴∠C′CD＝∠DCN， ∴C′D＝C′C， ∵C′T⊥CD， ∴DT＝TC＝2， ∵C′T∥CN， ∴DC′＝C′N， ∴C′T＝CN， 设C′T＝x，则CN＝CM=MC′＝2x，TM＝x， ∴2x+x＝2， ∴x＝4﹣2， ∴CM＝8﹣4， 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 三.解答题（共78分） 19. 用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求：的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的知识点是解直角三角形，解答本题的关键是根据阅读材料构造含的直角三角形，再作辅助线得角的直角三角形．构造，其中，延长到，使，连接，根据构造的直角三角形，设，用表示出，即可求出的值． 【详解】解：构造，其中，，延长到，使，连接， 则， ， 设则，， ， ， ． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”即可求得不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 21. 如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． （1）求的正切值； （2）已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数与四边形的综合题目，难度中等，与全等综合转化相关的线段与角度是解题关键． （1）根据一次函数解析式算出点的坐标即可求算； （2）作轴，根据矩形的性质得出，从而表示出的坐标，再根据条件表示的坐标，再根据均在反比例图象上从而算出． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点A，与轴交于点C， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 又∵轴，在上， ∴， ∵,均在反比例上： ∴， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴舍去， ∴， ∴． 22. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=AB，点F为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC=∠EGC． （1）求证：CG=DG； （2）求证：． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，CE=AB， ∴AB=CD=EC． 又∵∠DFC=∠EGC，∠FCD=∠GCE， ∴△ECG≌△DCF， ∴CG=CF． ∵点F为CE的中点， ∴CF=CE， ∴CG=CD， 即：CG=DG． （2）延长AG、BC交于点H． ∵△ECG≌△DCF， ∴∠CEG=∠CDF，DG=CG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH． ∴△ADG≌△HCG， ∴AG=HG． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴AG=HG=EG． ∴∠CEG=∠H， ∴∠CDF=∠DAH． 又∵∠AGD=∠DGM， ∴△ADG∽△DMG． ∴， ∴ 又∵CG=DG， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先证明△ECG≌△DCF，则有CG=CF，因为CF=CE，则有CG=CD，则结论可证； （2）延长AG、BC交于点H，首先证明△ADG≌△HCG，则有AG=HG，然后根据直角三角形斜边中线有AG=HG=EG，进而得出∠CDF=∠DAH，进一步可证△ADG∽△DMG，则有，即，又因为CG=DG即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 23. 某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系． （1）请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ （2）已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ （3）已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 【答案】（1） 100，40， 补全表格如下： 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数中为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可； （2）求出，结合（1）可得的值； （3）用表示出，再代入得关于的不等式组，即可解得答案． 【小问1详解】 ，， 阻值与压力的函数关系式为； 故答案为：100，40； 【小问2详解】 电流表的示数为时，， 解得， 把代入得： ， 解得， 该台秤最大可称的物体； 【小问3详解】 ，， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解，，，的关系． 24. 如图，内接于，，为直径，与相交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：与相切： （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若的半径为4，，求的长． 【答案】 （1）证明：如图，连接， ∵， ， 、， ， 是的直径， ∴∠DBC=90°， ， ， ， 与相切； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°，由∠BAC与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBC，结合∠DBC+∠OBC=90°即可得证； （2）求需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OM⊥AC、连接OA，证△BEF∽△OAM得，由AM=AC、OA=OC知，结合即可得； （3）Rt△DBC中求得BC=4、∠DCB=30°，在Rt△EFC中设EF=x，知EC=2x、FC=x、BF=4﹣x，继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，连接， ∵OC=OA，， ∴， ， ， ∴∠EBF=∠AOM， 又， ， ， ，， ， 又， ； （3）解：，， ， 在中，， 又， 是等边三角形， ， ，， ， ∴EC=2EF，由勾股定理FC= 设，则、， ， ，且， ， 在中，， ， 整理得 △=242-16×23=208＞0 解得：， ，舍去， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键. 25. 在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． （1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②求证：． （2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示） 【答案】（1） ①如图所示，点Q即为所求； ②如图所示，过点作轴于T， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于点的对称点为Q， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意作图即可； ②如图所示，过点作轴于T，证明，得到，进而求出，进一步求出，利用勾股定理求出的长即可得到结论； （2）如图1所示，取，连接， 证明，推出，得到在以为圆心，半径为的圆上运动，进一步证明点Q在以为圆心，半径为的圆上运动；如图2所示，连接交于，延长交于，利用勾股定理得到，则，，由此即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1所示，取，连接， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵点与点Q关于点对称，点关于点的对称点为， ∴点Q在以为圆心，半径为的圆上运动， 如图2所示，连接交于，延长交于， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定等等，确定点的轨迹进而确定点Q的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $