浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．两个圆锥

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且满足m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是（　　）

A．若m∥β，则m∥n B．若m⊥β，则α⊥β 

C．若m∥n，则α∥β D．若m⊥n，则m⊥β

3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为（　　）

A．8 B．2+2 C．4 D．8

4．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 

B．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” 

D．“至少有一个黑球”与“都是红球”

5．在△ABC中，，则△ABC的最大内角等于（　　）

A．105° B．120° C．125° D．150°

6．某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下：

甲/kg	260	250	210	250	280
乙/kg	220	260	230	250	290

则下列说法错误的是（　　）

A．甲种水稻产量的众数为250 

B．乙种水稻产量的极差为70 

C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数 

D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若acosC＝2ccosA，则的最大值为（　　）

A． B． C． D．3

8．已知||＝||＝1，＝+x（x∈R），函数f（x）＝||，当x＝时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知复数z1＝2﹣i，z2＝2+i，则（　　）

A．z1﹣z2为纯虚数 

B．复数z1z2在复平面内对应的点位于第四象限 

C．z1•＝•z2（注意：表示复数z的共轭复数） 

D．满足|z﹣z1|＝|z﹣z2|的复数z在复平面内对应的点的轨迹为直线

10．已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，则下列条件能使△ABC只有一个解的是（　　）

A．a＝1，b＝2，c∈N+ 

B．a＝1，b＝2，acosB+bcosA＝2ccosB 

C． 

D．a＝1，b＝2，A+B＝2C

11．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（　　）

A．AB1⊥A1M 

B．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变 

C．|A1M|+|C1M|的最小值为 

D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知复数z＝1﹣i，i为虚数单位，则||＝　             　．

13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ＝　                　．

14．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为 　                  　．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）已知向量与的夹角θ＝，且||＝3，||＝2．

（1）求，|+|；

（2）求与+的夹角的余弦值．

16．（15分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求出a的值；

（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点