精品解析：2024年广东省深圳实验学校光明部中考三模数学试题

2024年广东省深圳实验学校光明部中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “生活在这个世界上，我们必须全力以赴”这是2024年2月10日大年初一全国上映的电影《热辣滚烫》中的一句话，这部电影首日票房约402000000元，数字402000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国职业教育为高质量发展提供人力资源支撑，某职业学校为了解毕业学生的打字水平，从全校应届毕业生中随机抽取了40名学生进行了打字速度测试，测试成绩如下表： 测试成绩/个 50 51 59 62 64 66 69 人数 1 2 5 8 11 8 5 这组成绩的中位数为（ ） A. 62个 B. 63个 C. 64个 D. 65个 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，用测角仪测得建筑物屋顶的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底处，这时测到建筑物屋顶的仰角为，在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：，，） A. 38.5米 B. 39.0米 C. 40.0米 D. 41.5米 10. 如图1，在中，．点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式3x3-12x=________ 12. 随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为________． 13. 引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知，则_____． 14. 如图，反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则______． 15. 如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则______． 三、解答题（本题共7小题，共55分）． 16. 计算：． 17. 先化简再求值： 其中 x 满足 18. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有_______名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，用列表法或树状图求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 19. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/枚） 45 60 售价（元/枚） 66 90 （1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？ （2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 20. 如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：； （3）在（1）的条件下，，，求⊙O的半径． 21. 【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 22. 问题探究：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边、上，． （1）①判断与的数量关系：_____； ②推断：_____（填数值）； （2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值． （4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省深圳实验学校光明部中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. “生活在这个世界上，我们必须全力以赴”这是2024年2月10日大年初一全国上映的电影《热辣滚烫》中的一句话，这部电影首日票房约402000000元，数字402000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，将402000000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，平方差公式，完全平方公式和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 我国职业教育为高质量发展提供人力资源支撑，某职业学校为了解毕业学生的打字水平，从全校应届毕业生中随机抽取了40名学生进行了打字速度测试，测试成绩如下表： 测试成绩/个 50 51 59 62 64 66 69 人数 1 2 5 8 11 8 5 这组成绩的中位数为（ ） A. 62个 B. 63个 C. 64个 D. 65个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的知识，理解并掌握中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义，结合表中数据，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，由表中的数据共计40个，按从小到大的顺序排列， 其中第20个和第21个数字均为64， 所以，中位数为． 故选：C． 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 在选项中，只有0符合题意， 故选：A． 6. 已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，由角平分线的定义可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 7. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵过点的两条切线相交于点， ∴, ∴, ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 9. 我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，用测角仪测得建筑物屋顶的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底处，这时测到建筑物屋顶的仰角为，在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：，，） A. 38.5米 B. 39.0米 C. 40.0米 D. 41.5米 【答案】D 【解析】 【分析】设米，延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可． 【详解】解：设米，延长交于，作于，于， ， 在中，米，， 米，米， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 在中，， 米， 米，米， 在中，， ， ， 米， 米， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题． 10. 如图1，在中，．点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，当点D在上，利用，求出，再求出，从而求出a，当点在上，利用，求出，从而求出b，再计算即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴， 如图，当时，点D在上， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 如图，当时，点D在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 12. 随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出表格，可得共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有4种，由概率计算公式可求解． 【详解】根据题意，列表如下. 小明 小王 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由表，可知共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种， ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，准确掌握概率的计算方法是解题的关键． 13. 引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据平方差公式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为2． 【点睛】本题考查了新定义运算及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键. 14. 如图，反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，作出辅助线，根据题意可得OC⊥AB，从而表达出tan∠CAO的值，再证明Rt△OCM∽Rt△AON，得到两个三角形的面积之比，根据k的几何意义得出k的值即可． 【详解】解：连接OC，作CM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，如图， 由题意可知，点A、点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∵AC=BC ∴OC⊥AB，∠CBA＝∠CAO， ∴， ∵∠COM+∠AON=90°，∠AON+∠OAN=90°， ∴∠COM=∠OAN， ∴Rt△OCM∽Rt△AON， ∴ 而， ∴ ∵， 而， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质． 15. 如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共55分）． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．先计算零次幂、乘、，再化简绝对值、开方，最后算加减． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简再求值： 其中 x 满足 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键． 首先应用平方差公式和完全平方公式进行因式分解化简，然后凑项即可解答． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴ ∴原式． 18. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有_______名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，用列表法或树状图求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图所示： （2）全校选择游泳的学生约有500人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，，用样本估计总体，求概率，从统计图中有效的获取信息，掌握概率公式，是解题的关键． （1）用足球的人数除以其所占百分比，即可求出调查的学生总人数，求出乒乓球的人数，即可补全条形统计图； （2）用全校人数乘以选择游泳人数所占百分比，即可解答； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：40， （名） 【小问2详解】 解：（人）， 答：全校选择游泳的学生约有500人． 【小问3详解】 解：画出树状图如图所示： 一共有12种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有8种情况， ∴恰好抽到一名男生一名女生的概率． 19. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/枚） 45 60 售价（元/枚） 66 90 （1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？ （2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】（1）2880元 （2）按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据题意分别计算两种纪念币的利润，即可求解； （2）设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元，根据题意分别列出关于y与x的一次函数，关于x的一元一次不等式，从而求得，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（元）， 答：全部售完后获利2880元； 【小问2详解】 解：设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元． 由题意得：， ∵A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍， ， ∴， ∵，， ∴y随x的增大而减小， 当时，（元）， ∴B种纪念币的数量为（枚）， 答：按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元． 20. 如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：； （3）在（1）的条件下，，，求⊙O的半径． 【答案】（1） 解：方法不唯一，如图所示． . （2） ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ∴． ∴． （3）⊙O的半径为． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． （3）由（2）得：，，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得：， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【答案】（1）3；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出； （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②把代入得：， 或（舍去）， ∴米； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 22. 问题探究：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边、上，． （1）①判断与的数量关系：_____； ②推断：_____（填数值）； （2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值． （4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1）①；②1 （2） 解：；理由如下： 如图2中，过点作于． 根据折叠的性质可得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质得，，接着证明，于是，可得；②证明四边形是平行四边形即可解决问题； （2）过点作于．证明即可解决问题； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，连接，证明，得出，证明，可得出，由勾股定理求出，则可得出答案； （4）过点作交的延长线于．设，那么，然后利用勾股定理求得，接着证明相似三角形的性质求出即可解决问题． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴（不合题意，舍去），， ∴， ∴， ∵， ∴同（2）可得，， ∴； 【小问4详解】 如图4，过点作交的延长线于． ∵， ∴设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $