精品解析：广东省清远市四校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题

2023-2024学年第二学期四校联盟期中检测高二数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题只有一项是符合要求，共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ） A 1140 B. 1200 C. 1280 D. 1400 3. 设函数y＝xsin x＋cos x的图象上点P(t，f(t))处的切线斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 要从某小组6名男生和3名女生中随机选出3人去参加社会实践活动，则抽取的3人中，男生至少为1人的选法种数为（ ） A. 55 B. 63 C. 65 D. 83 5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 21 7. 展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题有多项是符合要求的，全部选对6分，有选错0分，部分选对得部分分，共3小题，每小题6分，共18分） 9. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同安排方法共有20种 10. 下列不等式中，对任意的恒成立的是（ ） A. B. C D. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 函数图像上点到直线的最短距离为 C. 函数有且只有1个零点 D. 不存在正实数k，使成立 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若质点按照规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点在时的瞬时速度为______． 13. 已知，则______． 14. 已知，是的导函数，即，，，，，若当时，，则的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）， 15. 在①只有第5项的二项式系数最大；②第3项与第7项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为． 从以上三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面问题． 已知，，若的展开式中，______． （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值． 16 设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 17. 2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛，为确保马拉松赛事顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务． （1）求甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站的概率； （2）为了解志愿者服务队的工作效果，将四名工作人员随机分派到A，B，C三个站点进行抽查，每人被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率． 18. 2024年是龙年，为了弘扬中华传统文化，和增添节日氛围，某校在春季学期开学典礼时举行了舞龙活动．现2班的同学接受了设计舞龙服装的任务，如图，有一块半椭圆形布料，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划先将此块布料切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． （1）求面积以为自变量的函数关系式，并写出其定义域； （2）求梯形布料面积的最大值． 19. 已知定义在正实数集上的函数，． （1）设两曲线，有公共点为，且在点处的切线相同，若，求点的横坐标； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）若，，函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期四校联盟期中检测高二数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题只有一项是符合要求，共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导代入直接计算即可. 【详解】求导得：， 所以， 即，解得：. 故选：C 2. 已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ） A. 1140 B. 1200 C. 1280 D. 1400 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】依题意，分5步依次对涂色， 所以不同的涂色方法有（种）. 故选：C 3. 设函数y＝xsin x＋cos x的图象上点P(t，f(t))处的切线斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可． 【详解】可得：． 可得：， 由于，函数是奇函数，排除选项，； 当时，，排除选项D． 故选：B 4. 要从某小组6名男生和3名女生中随机选出3人去参加社会实践活动，则抽取的3人中，男生至少为1人的选法种数为（ ） A. 55 B. 63 C. 65 D. 83 【答案】D 【解析】 【分析】利用间接法，男生至少为人的反面是人全是女生，即可解出答案. 【详解】男生至少为人的反面是人全是女生，总数为，人全是女生为，所以共有种. 故选：D. 5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合图形即可得出答案． 【详解】由图形可知，在点处的切线斜率大于割线的斜率，割线的斜率大于在点处的斜率，且都大于零， 即， 则． 故选：A． 6. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的性质即可求得答案． 【详解】由二项式定理，得的展开式中， 项的系数为：． 故选：C． 7. 展开式中，系数为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理，先求得，即可根据分配律求得的系数即可． 【详解】， ，所以的系数为． 故选：C． 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题构建函数，判断函数的单调性和奇偶性，再利用抽象函数单调性比较函数值大小即得. 【详解】设，当时，，故函数在上为减函数. 又因是R上的奇函数，由可知是R上的偶函数， 故在上是增函数. 因，，， ，，，则， 故得，即，故. 故选：D. 二、多选题（本大题有多项是符合要求的，全部选对6分，有选错0分，部分选对得部分分，共3小题，每小题6分，共18分） 9. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得社区A必须有同学选择的方法数判断选项A；求得同学甲必须选择社区A的方法数判断选项B；求得三名同学选择的社区各不相同的安排方法数判断选项C；求得甲、乙两名同学必须在同一个社区的安排方法数判断选项D. 【详解】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 选项A：如果社区A必须有同学选择， 则不同的安排方法有（种）.判断正确； 选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确； 选项C：如果三名同学选择的社区各不相同， 则不同的安排方法共有（种）.判断正确； 选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况， 则不同的安排方法共有（种）.判断错误. 故选：ABC 10. 下列不等式中，对任意恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令，，利用导数即可判断；对于B，令，，利用导数即可判断；对于C，令，，利用导数即可判断；对于D，令，，利用导数即可判断． 【详解】对于A，令，， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即恒成立， 所以对任意的恒成立，A正确； 对于B，令，，则， 所以在上单调递减，所以， 所以对任意的恒成立，故B错误； 对于C，令，，则， 令， 易知，使，即，， 当时，，单调递减； 当,时，，单调递增； 所以， 所以，即对任意的恒成立，C正确； 对于D，令，，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又因为，所以，即， 所以， 即， 所以，D错误． 故选：AC． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 函数图像上的点到直线的最短距离为 C. 函数有且只有1个零点 D. 不存在正实数k，使成立 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：求导，利用导数求极值点；对B：结合导数的几何意义分析运算；对C：求导，利用导数分析零点问题；对D：结合选项C中的结论分析判断. 【详解】对A：函数的定义域为，， 当时，；当时，； 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，故A正确； 对B：设直线与函数的图像相切，切点坐标为， 由，可得，解得， 所以，即切点为， 则切点到直线的距离为， 即函数图像上的点到直线的最短距离为，故B正确； 对C：因为，所以， 当时，；当时，； 故函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以函数不存在零点，故C不正确， 对D：由选项C可知：，即恒成立， 所以存在正实数k，使恒成立，故D错误． 故选：AB． 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的几何意义、零点问题和不等式问题等，基础性与综合性并举，对考生的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等思维能力要求比较高．注意极值点和零点都是数，不是点，不要混淆．对于选项B，注意数形结合，将直线平移，使之与曲线相切，求出切点，再利用点到直线的距离公式求解． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若质点按照规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点在时的瞬时速度为______． 【答案】28 【解析】 【分析】对求导，再将代入导函数，即可求解． 【详解】， 则， ． 故答案为：28． 13. 已知，则______． 【答案】10 【解析】 分析】将二项展开式两边求导，再代入，计算即得. 【详解】由两边求导得， ， 取，可得：. 故答案为：10. 14. 已知，是的导函数，即，，，，，若当时，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，依次求出、、、、，发现规律：，由此算出的值，代入不等式中，参变量分离，利用求最值法即可求解的取值范围． 【详解】根据题意，可得， ，， ，，， 依此规律，可得：． 所以， 由，可得． 所以当时，，即为当时，， 即时，恒成立， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）， 15. 在①只有第5项的二项式系数最大；②第3项与第7项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为． 从以上三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面问题． 已知，，若的展开式中，______． （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选择① ，由题得到二项展开式项数即得；选择② ，列出组合数方程，利用其性质即得；选择③ ，利用二项展开式的二项式系数和等于，计算即得； （2）由（1）结论写出二项展开式的通项，依题求出值，代入通项计算即得； （3）先判断的符号，在二项展开式中利用赋值，即可求得. 【小问1详解】 选择① 时，只有第5项的二项式系数最大，则二项展开式共有9项，故； 选择② 时，有，由组合数的性质可得，； 选择③ 时，因所有二项式系数的和为，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，其通项公式为：， 由可得，故的系数即为； 【小问3详解】 由通项知为负数，为正数. 在中，取，可得，， 取，可得，①， 取，可得，②， 由 ：，将代入整理得，； 由:，整理得，， 而 . 16. 设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图与轴没有公共点， 所以的图象在轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得， 故即. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 17. 2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛，为确保马拉松赛事顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务． （1）求甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站的概率； （2）为了解志愿者服务队的工作效果，将四名工作人员随机分派到A，B，C三个站点进行抽查，每人被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解； （2）利用古典概型的概率公式，结合排列组合以及分组分配的求解即可得解． 【小问1详解】 由题意可知，甲队和乙队共有种不同的安排方法， 甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站，共有种， 所以所求概率为； 【小问2详解】 将四名工作人员随机分派到，，三个站点进行抽查，共有种不同的安排方法， 三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员，共有种不同的安排方法， 所以所求概率为． 18. 2024年是龙年，为了弘扬中华传统文化，和增添节日氛围，某校在春季学期开学典礼时举行了舞龙活动．现2班的同学接受了设计舞龙服装的任务，如图，有一块半椭圆形布料，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划先将此块布料切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． （1）求面积以为自变量的函数关系式，并写出其定义域； （2）求梯形布料面积的最大值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，得椭圆标准方程，即满足的方程：，从而可点坐标，即可得梯形面积与之间的函数关系及定义域； （2）由题意可得，构造函数，利用导数求解单调性，即可求解最值． 【小问1详解】 依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图）， 易知椭圆的方程为：， 因为是半椭圆短轴，的端点在椭圆上，且， 所以，,， 所以； 【小问2详解】 因为， 令， 则 ， 又因为， 令，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 所以． 即梯形面积的最大值为． 19. 已知定义在正实数集上的函数，． （1）设两曲线，有公共点为，且在点处的切线相同，若，求点的横坐标； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）若，，函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，由求解. （2）构造函数，利用导数求出函数最小值，结合（1）的信息推理即得. （3）求出函数，利用函数零点的意义分离参数，转化为求直线与函数图象有两个交点的的范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，设曲线的公共点， 求导得，依题意，， 即，由，得，， 所以点横坐标为. 【小问2详解】 由（1）知，设，， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上递减，在上递增， 因此， 即当时，，所以. 【小问3详解】 依题意，，定义域为， 由，得，令， 由函数在定义域内有两个不同的零点，得直线与函数的图象有两个交点， 而，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，而，且当时，恒有， 则当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个不同零点， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义解题，关键是设出切点坐标，再求导建立关系求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$