2021年清华大学自主招生数学试卷（语言类保送暨高水平艺术团）

2021年清华大学自主招生数学试卷（语言类保送暨高水平艺术团） 一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 1、已知复数，设是的共轭复数，则等于（   ）． A. B. C. D. 2、已知集合， ，且，则实数等于（   ）． A. B. C. D. 3、已知正整数数列满足，则等于（   ）． A. 或 B. C. 或 D. 4、已知椭圆 的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，的平分线与轴交于 点 ，作交于点，则等于（   ）． A. B. C. D. 5、已知非负实数，满足，则的最大值为（   ）． A. B. C. D. 6、已知函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点，则正实数的取值范围是（   ）． A. B. C. D. 7、在四面体中，，为的中点，，且，则四面体外接球的半径为（   ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 8、展开式中的常数项为            ． 9、已知是定义在上的偶函数，且，当时，有，则 的解集为            ． 10、在平面直角坐标系中，设，，向量，其中，动点满足，则的最小值为            ． 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 11、已知是公差不等于的等差数列，且是，的等比中项，记数列的前项和为，． (1) 求数列的通项公式． (2) 设数列满足，，且，求数列的前项和． 12、在三棱台中，，， ，，且平面，设，，分别为棱，，的中点． (1) 证明：平面平面． (2) 求二面角的正弦值． 13、已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且． (1) 求抛物线的方程． (2) 设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点与点之间，连接，过点作直线的平行线，证明：为抛物线的切线． 14、已知函数在点处的切线与直线：垂直． (1) 设函数，求函数的单调区间． (2) 证明：． 1 、【答案】 A; 【解析】 ∵， ∴， ∴ ， 则． 故选． 2 、【答案】 C; 【解析】 ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴必有解， ∴， 则， ∴． 故选． 3 、【答案】 B; 【解析】 依题意，有， 则， 假设， 则， 故， ， 则，矛盾， 当时， 则，矛盾， 从而， 故选． 4 、【答案】 A; 【解析】 设，，则 ， 故是直角三角形，且， 从而， 故选． 5 、【答案】 C; 【解析】 由不等式，得， 又，是非负实数，则， 设， 则， 上式当，时取等号． 故选． 6 、【答案】 D; 【解析】 由，得， 依题意，有， 解得． 故选． 7 、【答案】 D; 【解析】 依题意，有，则， 又，，则平面， 如图，设四面体的外接球球心为点， 球心在平面与平面上的射影分别为，两点， 注意到，均为正三角形，则，， 即四面体的外接球半径． 故选． 8 、【答案】 ; 【解析】 仅需考虑展开式中项的系数与常数项． 一方面，的常数项为． 另一方面，的项的系数为． 从而原式展开式中常数项为． 9 、【答案】 ; 【解析】 设． 当时，有． 即函数在上单调递增． 当时，有 ， 又注意到是偶函数． 则原不等式的解集为． 10 、【答案】 ; 【解析】 依题意，得， 则点在直线上运动， 设线段的中点为，则点在以为圆心，为半径的圆周上运动， 又点到直线的距离， 则． 故答案为：． 11 、【答案】 (1) ． ; (2) ，． ; 【解析】 (1) 设数列的公差为（）， 则，，， 又是，的等比中项，且，则 ． 从而． (2) 当时，有 ， 则当时，有 ， 又注意到，上式也成立， 从而，． 12 、【答案】 (1) 证明见解析． ; (2) ． ; 【解析】 (1) 如图，连接， 则四边形是矩形． 又，则， 从而， 由平面，且平面，得， 由，且为的中位线，得， 又，则平面， 注意到平面，则， 又，则平面， 从而平面平面． (2) 以为原点， 为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 设是平面的法向量， 则， 取，，， 即， 设是平面的法向量， 则， 取，，， 即， 设二面角的平面角为， 则， 故， 从而二面角的正弦值为． 13 、【答案】 (1) ． ; (2) 证明见解析． ; 【解析】 (1) 设直线的方程为， 联立直线与抛物线的方程， 得， 设，， 则， 故， 注意到，， 则 ， 即抛物线的方程为． (2) 如图： 不妨设点在第一象限，点在第四象限， 当时，有， 则， 即抛物线在点处的切线斜率为 ， 注意到轴，则， 设，由，，三点共线，得 ， 则， 设，由，得， 故直线的斜率， 从而为抛物线的切线． 14 、【答案】 (1) 在区间，上单调递增． ; (2) 证明见解析． ; 【解析】 (1) ． 依题意，有，， 解得，， 则，， 设，则， 当时，有，单调递增， 当，时，有，单调递减， 故函数在处取到唯一的极小值， 则， 故在区间，上单调递增． (2) ①首先证明：， 设， 则， 注意到，这是熟知的， 当时，有，单调递减， 当时，有，单调递增， 故函数在处取到唯一的极小值， 则， ②然后证明：． 设， 则． 当时，有，单调递增， 当时，有，单调递减， 故函数在处取到唯一的极小值， 则 ， 结合①与②这两个不等式，得 ． 从而原不等式成立． 第页， 共页 学科网（北京）股份有限公司 $$