四川省泸州市江阳区2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

2024年春期高2022级高二期末联合考试 数学试题 数学试卷分为第1卷（选择题）和第I1卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置。 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效。 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效。 第一卷 选择题（58分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知直线，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（    ） A．3 B．3或7 C．5 D．7 4．已知等差数列中，，则公差（    ） A．4 B．3 C． D． 5．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大数为（    ） A．B．C．D． 7．下列说法正确的有（    ）个 ①已知一组数据的方差为， 则的方差也为. ②对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. ③已知随机变量服从正态分布，若，则 . ④已知随机变量服从二项分布，若，则. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 第二卷 非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12．已知数列满足，，则 ． 13．若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立.在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有500名学生参加考试，全体学生的成绩,则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过 人. 14．若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分） 已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16．（15分） 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． (1)求小张在三类中各选1个项目的概率； (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 17．（15分） 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 18．（17分） 已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上. (1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积； (2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 19．（17分） 已知函数． (1)若，求的最大值； (2)若，其中，求实数的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年春期高2022级高二期末联合考试 数学试题参考答案： 1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.BCD 10.ACD 11.ACD 12.3-3 13.10 14.(2,+0 2 15.解：(1)因为数列{a}是各项均为正数的等比数列，a=2a2+16,a,=2 所以令数列{a.}的公比为S,43=a92=2g2，a2=09=2g,4分 所以2g2=4q+16,解得q=-2(舍去)或4， 7分 所以数列a}是首项为2、公比为4的等比数列，a,=2×41=22-1. 9分 (2)因为bn=log2an,所以b。=2n-1,b.1=2n+1,bn4-bn=2, 11分 所以数列{b,}是首项为1、公差为2的等差数列，S.=一×n=n2 13分 16.解：(I)记事件M为在三类中各选1个项目，则P叫M=CCC-9 C281 4分 所以小张在三类中各选1个项目的概幸为 9 (2)由题知X的所有可能取值为4,5,6,7,8,9， 则x=4)=C1=2,PX=5)==9 C 561 8分 x--CCC nCCcCC C 56 10分 PX=89=CC. C56 PX=9)= C56 n4nn12分 所以X的分布列为 X 6 7 8 3 19 15 9 1 56 56 56 56 56 56 15分 1 17.解：(1)在正三棱柱ABC-A,BC中，取BC中点0，过O作Oy/1BB,连接A0, 由BB,⊥平面ABC,得Oy⊥平面ABC,OA,BCC平面ABC,则Oy⊥BC,O⊥OA,而OA⊥BC,即 OB,Oy,OA两两垂直， 3分 以O为原点，直线OB,Oy,OA分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,V3),B(1,0,0),C(-l,0,0),A1(0,2,V3),B,1,2,0),C1(-1,2,0,D(-1,1,0),5分 有AB=1,2,-V5),BD=(-2,1,0),A,8=1,-2,-V3),于是AB·BD=0，AB·4B=0, 即AB,⊥BD,AB⊥AB,而又BD∩AB=B,BD,ABC平面ABD, 所以AB,⊥平面A,BD 7分 (2)由(1)知，AB⊥平面4BD,则AB,=(自，2，-V3)是平面ABD的法向量，8分 设平面AA,D的法向量i=(xy,),而AA=(0,2,0),AD=(-1,1,-V3), i,A4=2y=0 D=x+y-52=0取：=1，得万=(5.0， 则 10分 则cos(AB,m= AB·n1×(-V5)+(-5)x1_V6 AB n 2V2×2 ，设=面角A-4D-B的平面角为0. 因此m0=-w可--(5. .12分 4 所以二面角4-4D-B的正弦值为0 (3)由(2)知AB=(1,2,-3)是平面4BD的法向量，而向量CB=(2,0,0),13分 所以点C到平面48D的距离为d=A8·CB1.2=V反 |AB12V221 15分 2 18.解：(1)由己知可得，A-1,0,B1,0) 因为点M2),直线BM的斜率为66=-0-5， 2-1 2分 以直线BM的垂线1的方程为y-0=石-2，整理可得，x一3+2二 设点S(x,,T(x,), 联立直线1与双曲线的方程 ，-5y+2可得，2y-45y+3=0,5分 x2-y2=1 乃+h-25 则A=(-4-4×2×3=24,且 3 4=2 所以，5T=+可y+°-4=225-4x=26 6分 原点0到直线I的距离为d=1, 所以，a0s7的面积为×小7*d=)×26x1=V6 7分 M E (2) OB\ ①②为条件，③为结论 令点D(0,ya,M(x,y(x>1,且x后-y=1, 因为么D,M三直共线，所以力 又OD=DE,所以点E的坐标为EO, x。+1 所以直线BM的斜率为kw=光 x0-1 又BM1EQ,所以ke=k 1-1-x .8分 设点Q(o,0, 2y0 因为直线②的斜率0一1上=， 9分 -X0 所以xg= 2必=2%=2，所以00=2： x6-18 ①③为条件，②为结论 令点D(0,ya,M(x,y(x>1,且xi-y8=1, 因为A,D,M三点共线，所以=y x+1 11分 又OD=DE,所以点E的坐标为E0,2出】 x+1/ 又0Q=2,点Q在x轴正半轴上，所以Q2,0), 2yo 所以k0-上生又m“ 4012分 -2% 无。-1’ 所以km0=-人 +=-=二，所以，8M10 ②③为条件，①为结论 令点D(0,yn,M(x,y(x>1,且x-y后=1，不妨设>0 因为AD,M三点共线， 所以。=本>0，且=一公坊-1山 x。+1 (x+2(x+1+1 15分 因为0Q=2,点Q在x轴正半轴上，所以Q(2,0 因为8M1EQ,所以e==上五 kaM Yo w-器 所以.%=26>0，且y-4-45=46- x-1x+1 所以，yg=2yn,即OD=DE 4417分 4 19.解：D当m=1时，f=hx-e+,则-+1-x+e=x+侵 ，2分 令p到=ex>0,则p)=子-e<0. …3分 px在(0，+x上单调递减. 又o8=2-6>0p0=1-e<0, 存在6e使得p()=e=0 :当xe(0,x时，f'(x)>0,f(x单调递增： 当xe(x,+)时，∫"(x<0,f(x单调递减， 小5分 .f(x有最大值fx)=lnx。+x。-xe=lnxe-xe=lnl-1=-1. 另法：当m=1时，f(x=lnx-xe+x=lnxe-xe,令t=xe>0, 则=1-1，其中1>0,0=号 ·当1e(0,)时，')>0，h)单调递增；当e1,+)时，h'()<0,()单调递减，故s=h)=-1, 即f(x的最大值为-1. 小47分 (2)令gx=mlnx+x+m,x∈(0，+m）, 由题意知m的取值应满足函数gx)有两个零点. 易得g'()=m+1=+m 若m≥0，则g'(x)>0,gx在0，+0上单调递增， “gx)至多有一个零点，不符合题意，舍去； 若m<0,则当xe(0,-m)时，g'(x)<0,gx)单调递减： 9分 当x∈(-m,+0)时，g'（x)>0,gx)单调递增. 要使函数g(x有两个零点，则gxn=8-m=m血-m)<0,m<-1 易知目-08e）=mhe“+e+m=-2m4e0+mm<- 令px=e2-2x2+x,x<-1,则p'(x=-2e2-4x+1,x<-1, 令q(x=-2ex-4x+1,x<-1,则q'x=4e2r-4>0,x<-1, .11分 p'（x在-0，-l上单调递增，p'x<p'(-1=-2e2+5<0 13分 “px在(-0，-)上单调递减， px>p(-l)=e2-2-1>0,ge2m）>0, 415分 由上<-m<e2”知gj在(0，-m和-m,+)上各有一个零点， 则实数m的取值范围为-o,-1). n17分 另法：令gx=mlnx+x+m,xe0,+0, 9分 由题意知m的取值应满足函数gx)有两个零点， 若m20,易知g(x单调递增，不符合题意，舍去； 若m<0,由g=mnx+x+m=0,xe0,+o知，_1+nx-1 x m 1411分 令到=+h0+树小，则到-xe0+, …914分 h(x在(0,1)上单调递减，在(1，+∞上单调递增. 15分 又=-1，且x∈L,+o)时，x<0,1>-1,解得m<-1, 故实数m的取值范围为-o,-1). 17分 6