云南省昭通市威信县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

威信县第二中学高二年级2024年春季学期期中考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},则图中阴影部分所表示的集合是 A.{4} B.{2,4》 C.{4,5} D.{1,3,4 2.函数y=√x一1的定义域是 A.(-o∞，-1)U(1,+o∞) B.(-o∞，-1]U[1,+∞) C.(-1,1) D.[1,+∞) 3.若a满足加a一2cosg=一2，则tana等于 sin a+3cos a A专 B-青 c± D.-3 4.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题，今有北乡八千七百五十人，西 乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣人 A.一百零五人 B.一百二十五人 C.一百三十五人 D.一百四十五人 5.若复数x满足(3一1)z=1一2i,其中i是虚数单位，则复数之在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知扇形的圆心角为号，面积为6元，则此扇形的半径为 A.3 B.4 C.5 D.6 【高二数学第1页（共4页）】 24631B 7.已知向量a=(2,1),b=(3,x),且a⊥b,则x的值为 A.-6 B.6 c 8双曲线号一苦=1的离心率为 A. 号 C.2+g 2 n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列各式不正确的是 A() =nmi B.-3)=-3 C.VrFy=(x+y)i D.√=3 10.已知向量a=(2,一1)，b=(-3,2),c=(1,1),则 A.a∥b B.(a+b)⊥c C.a+b=c D.c=5a+3b 1.已知双商线的方程为活一后=1，则 A.渐近线方程为y=土} B.焦距为8√5 C离心率为写 D.焦点到渐近线的距离为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线2.x十(1一a)y+2=0与直线a.x-3y-2=0平行，则a= 18若>0，则x十片的最小值为 14.某学校为了了解学生的学习情况，从每班随机抽取了5名学生进行调查.若(1)班有50名学 生，对所有学生按01到50进行编号，请从下面的随机数表的第2行第6列的数开始，依次 向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则轴取的样本的编号是 0447839436496763218461119 3763666761683123660501405 9726648152453332030525787 7447221470232727767141993 1762655270397751535589511 【高二数学第2页（共4页）】 24631B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) (1)圆C过(0,3)、(4,5)两点，且圆心C在直线x一y十8=0上，求圆C的方程； (2)经过圆C:x2十y2=25上一点A(4,一3)且与圆相切的直线的一般式方程. 16.(本小题满分15分) ()已知x+x=3,求x+的值： (2)化简：16十2,3-lg4-21g5: (3)2×(×)+(V22)-4X(9)+-2×8+(-10240. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AD⊥DC,BC=CD=专AD=2,E为棱AD的中 点，PA⊥平面ABCD (1)证明：AB∥平面PCE; (2)求证：平面PAB⊥平面PBD: (3)若二面角P一CD一A的大小为45°，求直线AD与平面PBD所成角的正切值. 乃 【高二数学第3页（共4页）】 24631B 18.(本小题满分17分) 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是√3，且经过点A(5,3): (2)斜率为4，在y轴上的截距为一2： (3)经过A(-1,5),B(2,一1)两点： (4)在x轴、y轴上的截距分别为一3，一1. 19.(本小题满分17分) ()化简：1an(2r-a）,sin(-2r-a）·cos(6x-a2: cos(a-π)·sin(5ra) (2)②已知角a的终边经过点P(-子，-22)，求sin,tama的值： 3 (3)已知角。终边上一点p(sin号，c0s爱)，化简并求值： os(+a小sin(-x-a) s-o)sin(+a】 sin(π-a） sin(2π+a)+cos(-a) 【高二数学第4页（共4页）】 24631B威信县第二中学高二年级2024年春季学期期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A 【分析】阴影部分所表示的集合为:C(AOB) 【详解】由已知可得,阴影部分所表示的集合为:C(AOB)一4).故选A 【点晴】本题主要考查集合的运算,属基础题. 2.B 【分析】偶次并根,根号内为非负,据此列出不等式即可求得上的范围 【详解】r*-10→x1或x-1,故选B 3.B “sina十3cosa cosa 4.D 【分析】先求出西乡所占三乡的比例,然后再乘发役人数即可 7250 145 【点晴】本题主要考查分层抽样,属于基础题. 5.D 3-1(3-i)(3+i) 10 对应的点为(,-),位于第四象限,故选D. 6.D 7.A 【分析】根据a |b,利用数量积的坐标运算由2×3十x三0求解。 【详解】已知向量a=(2,1),b-(3,x),因为a b.所以2×3十x-0,解得x=-6,故选A 【点晴】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,属于基础题 8.D 【分析】由双曲线的方程得到a一4,一3,然后求出c即可 【点晴】本题考查的是由双曲线的标准方程得其离心率,根据双曲线的方程确定基本量是解题的关键 9.ABC 【分析】根据指数寡的运算性质逐项分析可得答案 【详解】对于A.()-m,故A错误; 第1页(共4页)】 【高二数学参考答案 24631B 对于B(-3)-V③-3,故B错误 对于C.当x=1,y=2时,v1+2==9,(x+y)=3 ,+y(+y) ,故C错误; 对于D,=(9)=[(3)]=3^{+-3,故D正确.故选ABC. 10.BD 【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可 【详解】因为2×2-(-1)×(一3)=1去0,所以a,b不平行,则A错; 由(a+b)·c=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,所以(a+b)1c.则B正确 由a+b-(-1,1).c-(1,1),故C错; 由5a+3b=(10-9,-5+6)=(1,1)=c,故D正确.故选BD 11.BC 【分析】根据方程求a,b.c,进而结合双曲线的性质逐项分析判断. 焦距-2c-85,B选项正确; 离心率-_4 8 ,C选项正确; 2 4v5 焦点为(0,士4/5),则焦点到渐近线的距离为 --4.D选项错误.故选BC 241 12.3 【分析】根据两直线平行与斜率的关系求解 【详解】a=0时不满足条件,a-1时也不满足条件,·直线2x+(1-a)y+2-0与直线ax-3y-2-0平行, 合,不满足题意,a一3时满足题意,故答案为3 13.7 【分析】配凑法,由均值不等式求和的最小值, 【详解】r16 -1-7,当且仅当x+1-16 2十1 取等号,所以x16 14.16.12.36,50.14 【分析】利用随机数表法求解。 【详解】由编号为01到50,从随机数表的第2行第6列的数开始,依次向右,到行末后转至下一行的行首,逐 个取样,分别取得16,12,36,50,14,故答案为16,12,36,50,14. 15.(1)r+(-8)-25(2)4x-3y-25-0 【分析】(1)先求得两点(0,3),(4,5)的中垂线方程,再与x一y十8一0联立,求得圆心即可 (2)根据题意,求得kc:二- 【详解...解,两点.0.).4..5)..垂线方.为..y..0........................ 3分 联立.-.y十8-0,解得心C(0,8n),则r-5,故C的方程为:r”.+(y-8).-25;........6分 (2)由题意,圆C:r*十y一25,可得圆心坐标为C(0,0), 4-0 9分 【高二数学参考答案 第2页(共4页)】 24631B 即点..4.3.)且与圆相切的直线的.般式方程为.4..y.25-o0.......................... 13分 16.(1)7;(2)5 (3)210 【分析】(1)对已知条件平方可得答案;(2)利用对数的运算公式可求答案.(3)利用根式与分数指数寡的互化 和指数辱的运算性质即得. s.................. (2)原式...4...11..x.是..4....................................7.分 -2(2^3)+十(2)10-4×[(4)]+-2+2+1 -2(2t×3)“+(2)4-4×7-2x2+1 -2×2×3+2-7-2+1-210. 17.(1)证明见解析 (2)证明见解析 (③) 【分析】(1)因为BC//AE且BC一AE,所以BCEA为平行四边形,则AB//EC,利用线面平行的判定定理即 可得证: (2)由已知可得PA BD,BD AB,由线面垂直的判定定理可得BDI面PAB,进而即可证得结论; (3)由CD 平面PAD可得 PDA-45{},作AM1PB于M,可知AM|面PDB,所以 ADM为直线AD 与平面PBD所成角,在直角八AMD中求解即可. 【详解】(1)·BC/AE且BC三AE,..四边形BCEA为平行四边形: ..AB/EC,又ABC平面PCE,ECC平面PCE,所以AB/平面PCE. (2).PA平面ABCD.BDC平面ABCD...PA]BD. 连接BE,.*BC/DE且BC三DE,'.四边形BCDE为平行四边形 .DE1CD,BC=CD=2..'平行四边形BCDE为正方形,..BDIEC,又AB//EC...BD|AB, .....5分 又PAOA..A.AB.平. .aAB.'.BB.. .yaAB.............................分. .BD一平面PBD..平面PAB.平面PBD..........................................8分 (3):PA 平面ABCD.CD二平面ABCD...PA1CD. 又CD|AD.PAOAD-A:PA,ADC平面PAD...CD |平面PAD 因为PDC平面PAD,..CDPD. '.PDA为二面角P-CD-A的平面角,从而 PDA-45{*},所以PA-AD-4... 作AM|PB于M,连接MD. ·平面PAB 平面PBD,AMC平面PAB,平面PABO平面PBD=PB, '.AM平面PBD,所以ADM为直线AD与平面PBD所成角; ............................ .... 在直角△PAB中,AB-CE-2/2,PA-4.PB-26,:.AM-PA·AB4X224v3 PB .........12分 2) 因为AM|平面PBD,DMC平面PBD,所以AM1DM, ................................... ...分 在直角△AMD中,AD-4,AM-43 .DM-AD-AM4、6 ............................... 【高二数学参考答案 第3页(共4页)】 24631B 2 .......................................... 15分 18.(1)v3x-y+3-53-0 (2)4x-y-2-0(3)2x+y-3-0(4)x+3y+3- 【分析】(1)由点斜式方程进行求解即可;(2)由斜截式方程求解即可; (3)由两点式方程求解即可:(4)由截距式方程求解即可。 【详解】(1)由点斜式,得直线方程为v-3-③(x-5),即/3x-v+3-53-0 ...........................分 (2)由斜.式..得直方.程为..4.2.即...2.............................8分 ..................... -1-52-(-1) 22 (2)sin-_ 19.(1)-tana (③)1/2 ,. 【分析】(1)根据三角函数的诱导公式化简即可;(2)根据三角函数的定义即可求解.(3)先化简得原式一tan。 ......4分 cos(a-)·sin(5r-) (-cos)·sina 22 ,3 ),所以tana-- 2 cos(吾+)sin(一:-) sin(n一) -sina.sina_ sin_ co(1)sin(0a) sin(2十a)十cos(-a) -sina.cosa sina+cosa =tan-tan 17分 【高二数学参考答案 第4页(共4页)】 24631B