精品解析：河南省南阳市卧龙区南阳市第九完全学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

八年级数学第二次月考 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列约分正确的是（　　） A. B. C. D. ＝﹣1 2. 某种细菌的半径是米，此数用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数为（　　） A. 100° B. 80° C. 60° D. 20° 4. 如图，在□ABCD中，下列说法一定正确的是（ ） A AC=BD B. AC⊥BD C. BD平分∠ADC D. ∠ADC=∠ABC 5. 如图，，D是的中点．若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（） A. B. C. D. 7. 函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ） A. B. C. D. 8. 已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1，则矩形的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 已知点，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15 分) 11. 计算：____________． 12. 写出一个图象只经过第二、四象限函数表达式______． 13. 如图，四边形ABCD对角线交于点O，，，请你添加一个条件：______，使得四边形ABCD为矩形． 14. 如图，平行四边形中，对角线于点E，且，则边与边之间的距离为________． 15. 如图，在四边形中，平分．下列结论：①；②四边形是矩形；③点E是的中点；④若，则．其中一定正确的有________ 三、解答题(共75分) 16. 先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF． 求证：AE∥CF． 18. 已知，如图，在中，，是边的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线交于点E，连接交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 19. 如图，在平行四边形中，分别平分和，交边于点，线段相交于点． （1）求证：； （2）若，求长． 20. 华东师大版八年级数学(下)第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识(定义)→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”． （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是________； （2）根据(1)中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在____________中，、是两条对角线，且___________． 求证：_______________________． 证明： 21. ( 10分)为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在2022年版课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材．已知乙种体育器材的单价是甲种体育器材单价的；用600元购买乙种体育器材的件数比用600元购买甲种体育器材的件数多2件． （1）求甲、乙两种体育器材的单价分别为多少元？ （2）若计划购买甲、乙两种体育器材共80件，且甲种体育器材的件数不少于乙种体育器材件数的，如何购买花费最少？最少花费为多少元？ 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法在中作讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小敏：如图①，在线段上任取一点E，以点 D 为圆心、长为半径画弧，交于点F，连接，则四边形即为所求的平行四边形； 小诗：如图②，在上任取一点E，连接相交于点O，连接并延长，交于点 F，连接，则四边形即为所求的平行四边形． （1）小敏得出四边形是平行四边形的依据是________ （2）小诗作图得到的四边形是平行四边形吗?请判断并说明理由． 23. 如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）不等式k1x+b≥的解集是 　 　； （3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学第二次月考 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列约分正确的是（　　） A. B. C. D. ＝﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】约去公因式a3可对A进行判断；利用最简分式的定义可对B、C进行判断；约去公因式（x+y）可对D进行判断． 【详解】解：A、原式＝a3，所以A选项不符合题意； B、为最简分式，所以B选项不符合题意； C、为最简分式，所以C选项不符合题意； D、原式＝＝﹣1，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 2. 某种细菌的半径是米，此数用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，已知在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数为（　　） A. 100° B. 80° C. 60° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，ADBC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝160°， ∴∠A＝∠C＝80°， ∴∠B的度数是：100°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键． 4. 如图，在□ABCD中，下列说法一定正确的是（ ） A. AC=BD B. AC⊥BD C. BD平分∠ADC D. ∠ADC=∠ABC 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分，可判断A、B选项；根据平行四边形对角线并不平分一组对角，可判断C选项；利用平行四边形的对角相等，可判断D选项． 【详解】在□ABCD中， A. ACBD，故A选项错误； B. AC不垂直于BD，故B选项错误； C. BD不平分∠ADC，故C选项错误； D. ∠ADC=∠ABC，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记知识点是解题的关键． 5. 如图，，D是的中点．若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形的面积等知识，根据中点定义和得到，与之间的距离处处相等，即可得到. 【详解】解；∵D是的中点． ∴， ∵， ∴与之间的距离处处相等， ∵， ∴， 故选：B 6. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵时，， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴时， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 7. 函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像与性质，一次函数图像与性质．分别根据反比例函数及一次函数图像的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在二、四象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、二、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项正确，故本选项符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； 故选：． 8. 已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1，则矩形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质可得AO＝DO，AD//BC，然后再计算出∠ACB的度数，再根据直角三角形的性质可得AC的长，再利用勾股定理计算出BC长，然后再根据矩形的面积公式可得矩形ABCD的面积． 【详解】解： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝DO，AD//BC， ∵∠AOD＝120°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠ACB＝30°， ∵AB＝1， ∴AC＝2AB＝2， ∴BC＝=， ∴矩形ABCD的面积＝BC•AB＝×1＝； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键． 9. 已知点，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得：反比例函数图象位于第二、四象限内，再根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：反比例函数图象位于第二、四象限内， ∴在每一象限内，随的增大而增大，且点，位于第四象限内，位于第二象限内， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 10. 如图，在中，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析线段AG，DE互相平分，得四边形ADGE是平行四边形，结合选项，利用平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】若线段AG，DE互相平分，则四边形ADGE是平行四边形， 添加， 又∵， ∴四边形ADGE是平行四边形， ∴线段AG，DE互相平分， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共15 分) 11. 计算：____________． 【答案】-1 【解析】 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可求出值． 【详解】解： =1-（-2）-4 =1+2-4 =-1． 故答案为：-1． 【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 写出一个图象只经过第二、四象限函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，要知道，对于反比例函数，①，反比例函数图象在一、三象限；②，反比例函数图象在第二、四象限内． 位于二、四象限反比例函数比例系数，据此写出一个函数解析式即可． 【详解】解：∵反比例函数位于二、四象限， ， 解析式为：． 故答案为：． 13. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，，，请你添加一个条件：______，使得四边形ABCD为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有一个角为90°平行四边形是矩形，进行作答即可． 【详解】解：添加的条件为． 理由如下：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：∠DAB=90°． 【点睛】本题考查了矩形的判定．解题的关键在于熟练掌握矩形判定的条件． 14. 如图，平行四边形中，对角线于点E，且，则边与边之间距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点F，则边与边之间的距离为长，利用三角形的面积计算解题即可． 【详解】解：过点B作于点F，则边与边之间的距离为长， ∵是平行四边形， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，利用三角形的面积计算是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，平分．下列结论：①；②四边形是矩形；③点E是的中点；④若，则．其中一定正确的有________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四边形是矩形，故②正确； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴点不一定是的中点，故③错误； ∵， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题(共75分) 16. 先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣． 【答案】，－6 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（）÷ ＝ ＝ ＝， 当x＝﹣时， 原式＝＝﹣6． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的减法和除法的运算法则． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF． 求证：AE∥CF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，再证AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵BE=DF， ∴AD-DF=BC-BE， 即AF=CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=CE是解题的关键． 18. 已知，如图，在中，，是边的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两线交于点E，连接交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且利用等腰三角形三线合一性质得到即可； （2）利用矩形的性质以及中线的性质得到四边形是平行四边形，再根据已知条件求解即可． 【小问1详解】 解：， 四边形是平行四边形， ，是边的中线 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵在矩形ADBE中，， 是的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴四边形的周长 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 19. 如图，在平行四边形中，分别平分和，交边于点，线段相交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）10． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质有，再根据分别平分和，可得，问题得证； （2）根据平行四边形的性质有，即，又根据平分，可得，即，进而可得，同理可得，，问题随之得解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 分别平分和， ， ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 20. 华东师大版八年级数学(下)第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识(定义)→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”． （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是________； （2）根据(1)中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在____________中，、是两条对角线，且___________． 求证：_______________________． 证明： 【答案】（1）乙 （2）平行四边形；；四边形是矩形；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定定理，即可求解； （2）由矩形的判定定理，根据题意，写出已知、求证、证明过程即可求解． 【小问1详解】 甲、乙两位同学中猜想正确的是乙 故答案为：乙． 【小问2详解】 已知：如图，在平行四边形中，、是两条对角线，且． 求证：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形或：平行四边形是矩形． 且． 又，， ． ． ． ． 四边形是矩形或：平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 21. ( 10分)为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在2022年版课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材．已知乙种体育器材的单价是甲种体育器材单价的；用600元购买乙种体育器材的件数比用600元购买甲种体育器材的件数多2件． （1）求甲、乙两种体育器材的单价分别为多少元？ （2）若计划购买甲、乙两种体育器材共80件，且甲种体育器材的件数不少于乙种体育器材件数的，如何购买花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种体育器材的单价分别为100元和75元 （2）当购买甲种体育器材20件，购买乙种体育器材60件时花费最少，最少花费为6500元 【解析】 【分析】（1）设甲种体育器材的单价为元，则乙种体育器材的单价为 元，根据用600元购买乙种体育器材的件数比用600元购买甲种体育器材的件数多2件，列出方程，解方程即可； （2）设总费用为w元，购买甲种体育器材件，则购买乙种体育器材，根据题意得出，根据题意得出，根据一次函数的增减性得出当时，取得最小值，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设甲种体育器材的单价为元，则乙种体育器材的单价为 元， 由题意得：， 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意， （元）， 答：甲、乙两种体育器材的单价分别为100元和75元． 【小问2详解】 解：设总费用为w元，购买甲种体育器材件，则购买乙种体育器材件， ， 由题意得， 解得：， ∴， ∵， ∴w随a的增大而增大． ∴当时，取得最小值， 此时，； （件）， 答：当购买甲种体育器材20件，购买乙种体育器材60件时花费最少，最少花费6500元． 【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，解方程，熟记一次函数的增减性． 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法在中作的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小敏：如图①，在线段上任取一点E，以点 D 为圆心、长为半径画弧，交于点F，连接，则四边形即为所求的平行四边形； 小诗：如图②，在上任取一点E，连接相交于点O，连接并延长，交于点 F，连接，则四边形即为所求的平行四边形． （1）小敏得出四边形是平行四边形的依据是________ （2）小诗作图得到的四边形是平行四边形吗?请判断并说明理由． 【答案】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）小诗作图得到的四边形是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据作图步骤得到的条件和平行四边形的判定进行解答即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：小敏得出四边形是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图可得，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 小诗作图得到的四边形是平行四边形 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 23. 如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）不等式k1x+b≥的解集是 　 　； （3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝；y＝﹣x+7；（2）x＜0或1≤x≤6；（3）存在，点P的坐标为：（8，6），（﹣6，6），（6，﹣6） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式； （2）利用函数图象结合其交点得出不等式k1x+b≥的解集； （3）利用平行四边形的性质结合当APOC且AP＝OC时，当AOC且A＝OC时，当AOC，且AO＝C时，分别得出答案． 【详解】解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数y＝的图象上， ∴6＝， 解得：k2＝6， ∴反比例函数的表达式是：y＝； ∵B（6，m）在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝＝1， ∴B（6，1）， 将点A（1，6），B（6，1）代入y＝k1x+b，可得： ， 解得：， ∴一次函数表达式是：y＝﹣x+7； （2）∵点A（1，6），B（6，1）， ∴不等式k1x+b≥的解集是：x＜0或1≤x≤6； 故答案为：x＜0或1≤x≤6； （3）如图所示：当APOC且AP＝OC时， 则AP＝OC＝7， ∵A（1，6）， ∴P点坐标为：（8，6）； 当AOC且A＝OC时， 则A＝OC＝7， ∵A（1，6）， ∴点坐标为：（﹣6，6）； 当AOC，且AO＝C时， 则点A与到x轴距离相等，且点横坐标为7﹣1＝6， ∴点坐标为：（6，﹣6）； 综上所述：点P的坐标为：（8，6），（﹣6，6），（6，﹣6）． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$