云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

宁蒗二中2023~2024学年下学期高一期中考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第八章。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 已知复数之一，是虚数单位)，则之的虚部 A.1 B.5 C.i D.5i 2.下列命题正确的是 A.三点确定一个平面 B.四条首尾相连的线段确定一个平面 C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D.空间两两相交的三条直线在同一平面内 3.已知球的半径为√2，则球的表面积为 A.4π B.6π C.8π D.12x 4.在△ABC中，BC=4,BA=5,且△ABC的面积为5V3,则角B的大小为 A.30 B.60 C.30°或150 D.60°或120 5.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的 A.√倍 B.3倍 C.3√3倍 D.9倍 6.已知a,b是不共线的向量，且AB=a+b,AC=ma+2b,CD=3a+2b,若B,C,D三点共 线，则m= 1 A.2 c 1 D. 【高一数学第1页（共4页）】 24581A 7.如图，在梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=3,DC=1,以？一 AD所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为 A.16x B.19x C.21π D.24π 8.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，E,F分别为棱A1B,CD,的中点， 则直线AF与BE所成角的余弦值为 A德 c福 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知A∈平面a,B￠平面α，则下列说法错误的是 A.平面a内所有的直线与直线AB异面 B.平面a内存在一条直线与直线AB平行 C.平面α内存在无数条直线与直线AB垂直 D.有且只有一个过直线AB的平面与平面α垂直 10.已知￥为复数，下列说法正确的是 A,若∈R,则：∈R B.若2∈R,则z∈R C.若x-1+3>0,则x>1一3i D.=|x| 11.已知m,n是两条不同的直线，α，3是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若m⊥a,m⊥n,则n∥a B.若m⊥a,n⊥3，a⊥3，则m⊥n C.若a∥B,m∥a,n∥3，则m∥n D.若a∥3，m⊥a,n⊥B,则m∥n 12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=4,C=苓，则下列说法正确的是 A.bcos A+acos B=4 B.若b=7,则符合条件的三角形有两个 C.a2十的最大值为32 D.cos B 8s月的取值范围为(-∞，-2)U(仁2，+∞) 【高一数学第2页（共4页）】 24581A 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图，四边形OAB'C'是梯形OABC的直观图，四边形OA'B'C'是等 腰梯形，且OA'=2B'C'=4,∠CO'A'=45°，则梯形OABC的周 长为 14.若复数=+2为纯嘘数，则实数a= 15.在长方体ABCD-AB,C1D1中，AB=5,AD=3,AA,=6,则长方体ABCD-A1B,C1D1外 接球的体积为 16.在平行四边形ABCD中，过点A作BD的垂线，垂足为E,且AE=2,则AE·(C第+C方)= 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17.(本小题满分10分) 已知复数之在复平面内对应的点位于第四象限，且2=一5一12. (1)求复数： <1,求实数m的取值范围. 18.(本小题满分12分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b'ccos C+c2 beos B=ab十ac2一a3 (1)求A: (2)若b十c=2,求a的最小值. 19.(本小题满分12分) 已知向量a=(-4,2),b=(1,一4). (1)若(a-3b)⊥(Aa+b),求A的值： (2)若c=(3一2，一：)，向量a十b与c的夹角为锐角，求4的取值范围. 【高一数学第3页（共4页）】 24581A 20.(本小题满分12分) 在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,bc,且△ABC的面积为(G+e-). (1)求角A的大小： (2)若b=3,c=6,AD是△ABC的一条中线，求线段AD的长. 21.(本小题满分12分) 如图，在直四棱柱ABCD-A,B,CD1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，E,F分别为棱 CD,BC的中点，G是棱AB上的一点，A,G=3GB,H是棱AB上的一点，AH=AB. (1)求证：平面HGF∥平面AEC1; (2)求证：平面CDDC⊥平面AEC. 22.(本小题满分12分) 在三棱锥P-ABC中，PA=PC=BA=BC,AC=PB. (1)求证：AC⊥PB: (2)若PA=3,PB=2,求点P到平面ABC的距离. 【高一数学第4页（共4页）】 24581A宁蒗二中2023~2024学年下学期高一期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A一-部侣骨=3+的虚都是1，放选N 2.C如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误： 如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误： 两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一 个平面内，故这三条直线在同一平面内，故C正确： 空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选C 3.CS表=4π×(W2)2=8元.故选C 4.D△ABC的面积S=合acinB=之×4X5snB=5v5,解得snB=号.因为BE(0,180),所以角B的 大小为60°或120°.故选D. 5.B设圆柱的高为h,底面半径为r,则体积为π2h,体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为9rh,因为高 不变，故体积9rh=π(3r)2h,即底面半径扩大为原来的3倍，原来侧面积为2h,扩大后的圆柱侧面积为 2π·3rh=6πrh,故侧面积扩大为原来的3倍.故选B. 6.C因为BC-AB-AC-AB=a+2b-(a+b)=(m-1)a十b.且B,C,D三点共线，所以2(m-1)=3解 得m=号.故选C 7.C旋转形成的儿何体为圆台，所以V=号(S,+S,+VS,S)h=号×(x+16x十4r)×3=21x,故选C 8.B连接CA,CF,如图所示，易得BE∥CF,所以直线AF与BE所成的角为∠CFA(或 其补角).不妨设AB=2.在△CFA中，易得AF=3,AC=2√2，CF=√5，由余弦定理得 Q0∠CFA=AFAF CFC-,即直线AF与BE所成角的余弦值为气放选B 2AF·CF 9.ABD当平面a内的直线过点A时，该直线与直线AB相交，故A错误：假设平面a内 存在一条直线与直线AB相互平行，则该直线与直线AB共面，显然不成立，故B错误：当直线AB与平面α 垂直时，有无数个过直线AB的平面与平面a垂直，故D错误.故选ABD. 10AD设：=a十i(a6ER).由上0+0-而。平车示为实数，得=0，所以：=aER放 b A正确：若x=i,则x2=一1∈R,故B错误：复数不能比较大小，故C错误：设x=a十i(a,b∈R),则x= (a十i)(a一i)=a2+,|g2=a2+b,故D正确.故选AD. 11.BD若m⊥a,m⊥n,则n∥a或nCa,故A错误：a∥3，m∥a,n∥3，则m∥n或m,n异面，故C错误.故 选BD. 12,ACD bcos A十acos B=b.+a+a.4+一位-(=4，故A正确： 2bc 2ac 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 24581A 白BC解得smB=如C2>1,故符合条件的三角形不存在，放B错误： 由正弦定理得 由余弦定理得c=a2+-2 abeosC,即16=a2+6-ab≥a+0广，所以a+≤32，当且仅当a=b 时，等号成立，故C正确： cos B -os(A+3) cos A cos A 19A因为A0,防mA加 cos A （-,-5)U(0十)，所以停amA-∈(-©，-2)U(-号+=)，放D正确，放法ACD, 13.2√2+23+6因为四边形OA'B'C'是等腰梯形，且OA'=2B'C'=4,∠CO'A'=45°，所以OC'=2,所 以OA=4,OC=2√2，CB=2,且OC⊥OA,所以AB=2√3，梯形OABC的周长为22+4+2+2√3=2√2+ 25+6. 14.5由=-ai1-i+2=1-a-a+1i+2=5-a),a+1Di,可得a=5. 2 2 2 15.35而x设长方体ABCD-A,B,CD,外接球的半径为R,R=AB+AD+AA=页，所以长方体 2 2 ABCD-A,BGD外接球的体积V-号·(）-5不✉ 3 16.-8在平行四边形ABCD中，连接AC,交BD于点O,则AE,(C+Ci)=AE.CA=-2AE.Aò -2AE.(AE+E0)=-2AE=-8. a2-b=-5, 17.解：(1)设x=a十bi(a∈R,b∈K),z=(a+bi)°=a2-+2abi=-5-12i,则 …2分 2ab=-12, =2, 1a=-2, 解得 或 …3分 b=-3 b=3, a=2, 又复数。在复平面内对应的点位于第四象限，所以 b=-3. 所以g=2-3i: 5分 2+3i 2因为23i,所以。223-21千号.…7分 所以 m+产2-m-1+-√m-1)+< ………………8分 解得35<m<35,即实数m的取值范周是（色5,3）月 3 …10分 18.解：(1)ceos C+c2 bcos B=a(+c2-a2)=a·2 becos A …2分 →beos C-+ccos B=2 acos A,即sin Bcos C+sin Ceos B=2 sin Acos A,…4分 即sinA=2 sin Acos A-今cosA=号今A=60;… (2)由余孩定理有d=+2-c=(6叶c)-36≥(6叶e)2-3…(生）=1，…9分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 24581A 当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为1.… ……12分 19.解：(1)因为a=(-4,2),b=(1,-4),所以a-3b=(-4,2)-3×(1,-4)=(-7,14). a十b=入(-4,2)十(1，一4)=（一41十1,2入一4），…2分 又(a-3b)⊥(a十b),所以(a-3b)·(a十b)=-7(1-4x)十14(2a-4)=0,即56入=63，…5分 .9 解得=8…6分 (2)因为a=(-4,2),b=(1,-4), 所以a+b=(一3，-2). -3(3-2)-2(-4)>0, 又向量a十b与c的夹角为锐角，所以 …9分 -3(-4)+2(34-2)≠0， 解得<号且≠号即的取值范图是(-，号)U(号，号) ……12分 20.解：因为Sr=(W+e-d)=吗cosA,又Sae=号lesin A, 2 所以7 besin A=5 7b05月，… 所以anA=5,又A∈(0，m),所以A-号： ……………………………6分 (2)因为D为BC的中点，所以A=号(A店+AC), 所以A市=(Ai+AC)=(A花+2Ai.AC+A花)=×(9+2X3×6X号+36)-63 …10分 所以AD=3V7 …44…4……44…0…404440…44……44…4…44…44…4…44*404t404…40440 2· 12分 21.证明：(1)分别取AB,AB,的中点M,N,连接ME,MB,NC,NA,如图所示. 因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形B,CEM是平行四边 形，所以BM∥CE.因为G是棱A,B,上的一点，A,G=3GB,H是棱AB 上的一点，AH=子AB,所以B,G=HM,B,G∥HM,所以四边形B,GHM 是平行四边形，所以BM∥GH,所以C,E∥GH,又GH过平面AEC,,CE 1) C平面AEC,所以GH∥平面AEC.……………2分 因为V是A:B:的中点，E是CD的中点，易得四边形NAEC是平行四边 B 形，所以NC∥AE.又G是棱A,B上的一点，A,G=3GB,所以G是B,N的中点，又F是BC的中点，所 以GF∥NC1,所以GF∥AE,又GF过平面AEC,,AEC平面AEC,,所以GF∥平面AEC,·4分 又GF∩GH=G,GF,GHC平面HGF,所以平面HGF∥平面AEC1；…6分 (2)连接AC,因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以△ACD是等边三角形， 又E是CD的中点，所以AE⊥CD,…………………………7分 因为直四棱柱ABCD-A1BCD1,所以CC⊥平面ABCD,又AEC平面ABCD,所以CC⊥AE,·8分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 24581A 又CC1∩CD=C,CC,CDC平面CDDC1,所以AE⊥平面CDD1C,……10分 又AEC平面AEC1,所以平面CDDC⊥平面AEC.……12分 22.(1)证明：取AC的中点D,连接PD,BD,如图所示 在△PAC中，PA=PC,D是AC的中点，所以PD⊥AC,…1分 在△ABC中，BA=BC,D是AC的中点，所以BD⊥AC,…2分 又PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD,…4分 又PBC平面PBD,所以AC⊥PB:………6分 (2)解：在△PAC中，PA=PC=3,AC=2,D是AC的中点，所以PD=22 在△ABC中，BM=BC=3,AC=2.D是AC的中点，所以BD=2E,Sm=号×2X2反=2VE。 在△PBD中，PD=2E,BD=2E,PB=2,所以Smm=号×2XV8=7,…8分 由D知，ACL平面PBD,所以VrV+mAp·Sam士CD·SAC·S一27 3 …………10分 设点P到平面ABC的距离为h,Vx= 写5ar-2号-29 ,解得h= 21 即点P到平面ABC的距离为 ……………12分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 24581A