云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

宁蒗二中2023~2024学年下学期高二期中考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同 套餐的种数为 A.14 B.64 C.72 D.80 2.下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数： ②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置： ③某派出所一天内接到的报警电话次数X: ④某同学上学路上离开家的距离Y, 其中是离散型随机变量的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.若随机变量的分布列如表，则P(X一2=1)的值为 X 1 2 P 1 4 3 B司 c品 n号 4.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.6,则其成功概率为 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 5.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中，已知 该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且y=0.8.x十a,现有一对测量数据为(30， m),若该数据的残差为0.6，则m 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A.23.4 B.23.6 C.23.8 D.24.0 【高二数学 第1页（共4页）】 24581B 6.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率 分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为 A.0.62 B.0.64 C.0.58 D.0.68 7.对任意实数x,有x=a十a1(x十2)十a2(x十2)2十a3(x十2)3十a1(x十2)'，则an十a1的 值为 A.-20 B.-16 C.22 D.30 8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜 负)，且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数，若X的数学期望为号，则p= A B司 c D号或号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列各组的两个变量中呈正相关关系的是 A.学生的身高与学生的化学成绩 B.汽车行驶的里程与它的耗油量 C.人的年龄与年收入 D.水果的重量与它的总价 10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E,F六个社区进行暑期社会实践活动，每位同 学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有 A.如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有88种 B.如果同学乙必须选择社区C,则不同的安排方法有36种 C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种 D.如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种 11,一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球” 为A1,“第一次取得白球”为A2,“第二次取得黑球”为B1,“第二次取得白球”为B2,则 APA,BA)-号 B.P(B1)+P(B,)=1 C.P(BA1)+P(B2A1)=1 D.P(B2|A1)+P(B1A2)=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设随机变量X~B(3,3),则P(X>≥1)= 13.由0、1、2、3、4、5、6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高 数位到低数位)，这样的七位数有 个 14.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2,3台加工的次品率均为 5%,加工出来的零件混放在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的20%， 30%,50%,现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加 工的概率为 【高二数学第2页（共4页）】 24581B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知二项式(+)》 的展开式中，所有项的二项式系数之和为a,各项的系数之和为b,a十b =275. (1)求n的值： (2)求展开式中x2的系数. 16.(本小题满分15分) 某收费APP(手机应用程序)自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的 实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x(单位： 元)及该月对应的用户数量y(单位：万人)，得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x(元) 4 5 6 7 8 用户数量y(万人) 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关， (1)求y关于x的经验回归方程（∑x=190,∑xy:=79.4): (2)据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x,y,)(i=1,2,…,n),其经验回归直线y=b.x十☑ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= 2x00y-到 a=y-br Exi-nr 17.(本小题满分15分) 每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构 调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常 参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单 位：小时)，并绘制出如下频率分布直方图 频举 料 组州： 0.0720丽 0.0625 0.0675 00425 0.035 00178 0013 00025 0.010 3236404448立566而匪长时何： 学参汇休言锻均：人风 03236和44482560i@rf问： 本常参江休育设除人刀 (1)求a的值 (2)根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间π（同一组的数据 用该组区间的中点值代替)： 【高二数学第3页（共4页）】 24581B (3)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列 为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认 为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关. 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 不常参加体育锻炼人员 总计 n (ad-bc)? 附：X=a+b)c+(a十c)b+D,其中n=a+b+c+d. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18.(本小题满分17分) 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从 本市n(n∈N·)个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个 集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为 (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率： (2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X,求X的分布列和数学期望. 19.(本小题满分17分) 某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度 (单位：分米)，按数据分成[1.2,1.3]，(1.3,1.4]，(1.4,1.5]，(1.5,1.6]，(1.6.1.7]， (1.7,1.8]这6组，得到如下的频数分布表： 分组 [1.2.1.3] (1.3,1.4] (1.4,1.5] (1.5,1.6] (1.6,1.7] (1.7,1.8] 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率， (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在(1.4,1.6]中的个数，求X 的分布列和数学期望： (2)若变量S满足|P(u-o<S≤十σ)-0.6827|≤0.05，且|P(4-2a<S≤u十2a)一 0.9545≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布N(4,a2)的概率分布，如果这批零件 的长度Y(单位：分米)满足近似于正态分布V(1.5,0.01)的概率分布，则认为这批零件 是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【高二数学第4页（共4页）】 24581B宁蒗二中2023~2024学年下学期高二期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤， 所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套管，则可以配制出不同的套餐有4×8×2=64种，故选B. 2.B对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量： 对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量： 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量： 对于①，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，①不是离散型随机变 量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选B. 3.A根据题意可得a=1-子-号-号-石P(X-2=1)=P(X=1)+P(X=3)=行+=是放 选A. 4.D随机变量X服从两点分布，设成功的概率为， .E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.6.故选D. 5.A由题意可知x=21+23+25+2=24,3=15+18+19+20=18, 4 将(24,18)代入y=0.8.r+a,即18=0.8×24+a,解得a=-1.2, 所以y=0.8x-1.2, 当x=30时，y=0.8×30-1.2=22.8, 则m=22.8十0.6=23.4.故选A. 6.C设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地， 由题意知P(B)=0.5,P(C)=0.3,P(AB)=0.8,P(AC)=0.6. 由全概率公式得P(A)=P(B)P(AB)+P(C)P(AC)=0.5×0.8+0.3×0.6 =0.4+0.18=0.58.故选C. 7.B因为x=[(.x+2)-2]',所以a。十a1=(-2)'+C×(-2)3=16-32=-16,故选B. 8.D随机变量X可能的取值为2,3. P(X=2)=Cp+C(1-p)2=2p-2p+1. P(X=3)=Cp(1-p)p+Cp(1-p)(1-p)=2p-2p2, 故X的分布列为： X 2 3 P 2p-2p+1 2p-2p 放E(X)=2X(22-2p+1)+3X(2p-2p)=-2p+2p+2,由-2p+2p+2-号，解得D=专或号 故选D. 9.BD由题意，A,C中为非确定性关系；B、D中均为相关关系，且为正相关关系.故选BD, 10.BD安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E,F六个社区进行暑期社会实践活动， 选项A:如果社区B必须有同学选择， 则不同的安排方法有68一53=91（种）.判断错误： 选项B:如果同学乙必须选择社区C,则不同的安排方法有6=36（种）.判断正确： 选项C:如果三名同学选择的社区各不相同， 则不同的安排方法共有6×5×4=120（种）.判断错误； 【高二数学参考答案第1页（共1页）】 24581B 选项D:如果甲，丙两名同学必须在同一个社区， 则不同的安排方法共有C×6=36(种).判断正确.故选BD. 1,BC第一次取得黑球的概率P(A)=号：第一次取得白球的概率P(A)=号 第一次取黑球，第三次取黑球的概率PA,品)=号×号= 第一次取黑球，第二次取白球的既率PA,B)=号×专-号，故A错误： 第一次取白球，第二次取黑球的概本PA,A)=号×号-号： 第一次取白球，第二次取白球的概率P(A,B)一号×音-号： 第二次取得黑球的概率P(B)=PA,B)十PA:B)-号十号-号 第二次取得白球的概率PB)=PA,B)十P(A,A)=号+号=亭： P(B,)十P(B:)=1.故B正确： PAA)-P-号-=日P1A)P=言号 P(A)63 P(B,|A)+P(B2|A)=1,故C正确： PA)8-号-？：PAA)+PBA)-号1，放D错误放选C 12.号：随机变量服从X~B,宁P(X≥1)=1-PX=0)=1-C×(号）°×(1-吉)广-号 13.90①0排在第6位时，共有CA=60个数： ②0排在第5位时，共有CA=24个数： ③0排在第4位时，共有CA=6个数： 故这样的七位数共有60十24+6=90个. 14.是记A为事件零件为第=1.2,3)台车床加工，B为事件“任取-个零件为次品”，则P(A)=0.2. P(Az)=0.3,P(A)=0.4,所以P(B)=P(A1)P(B|A:)+P(A2)P(B|A2)+P(A)P(B|A)= 0.2X0.04+0.3×0.05+0.5×0.05=0.048,所以P(A21B)=P(A:)PCBA)_0.3X0.05-=5 P(B) 0.048 -16 15.解：(1)因为a=2",b=3,…… …分 所以2"十3=275，解得n=5: …7分 (2)由通项公式T+1=C·x3-◆· =C·2x3- 10分 令5-岁-2.可得k=2,… 12分 所以展开式中x2的系数为C等×22=40.……………13分 )h7X(8十4十5十6十7)=6，………………… =5×(2+2.1十25+2.9+3.2)=2.54，… ………4分 有6=79.45X6X2.54=0.32,。 …6分 190-5×6 a=2.54-0.32X6=0.62,…………………………8分 故y关于的经验回归方程为y=0,32x十0.62：…………………10分 (2)由(1)知经验回归方程为y=0.32x+0.62,当x=14时，y=0.32×14+0.62=5.10,…14分 【高二数学参考答案第2页（共1页）】 24581B 所以预测该月的用户数量为5.10万人。……………………………15分 17.解：(1)由频率分布直方图可知，4×(0.0025+0.0175+2×0.0425+2×0.0625+0.08)=1，可得a=0.02: …小…………3分 (2)由频率分布直方图可得： T=34×0.0025×4+38×0.0175×4+42×0.0425×4+46×0.0425×4+50×0.0625×4+54×0.0625×4 +58×0.02×4=48.6, 所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间工=48.6：…………………7分 (3)常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：(0.0425×4+0.0625×4十0.0625×4+0.02×4)×200=150， 则“睡眠不足”的人数为50；………9分 不常参加体有锻炼人员“睡眠足"的人数为：(0.0725×4+0.035×4十0.015×4十0.015×4)×200=110， 则“睡眠不足”的人数为90，……………1门分 列联表如下： 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 150 50 200 不常参加体育锻炼人员 110 90 200 总计 260 140 400 因为K 400X(150X90-10X50)2=1600≈17.58>10.828，…14分 260×200×140×200 91 所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关。…15分 18.解：(1)由题意知共有n+3个集团，取出2个集团的方法总数是C:,其中全是大集团的情况有C%,故全是 大集团的概率是C=,”一1D C+(n+2)(n+3)=i4· …………小……3分 整理得到3n2一13n一10=0，解得n=5.… …5分 若2个全是大集团，共有C=10(种)情况： 若2个全是小集团，共有C号=3（种）情况， 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为03是： 3 …8分 (2)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，………………………9分 PX=0)-e=高P(X=1)g-器 C56' ……11分 P(X=2)= 器-器-器PX-8) CC8_105 C C 13分 562发，“ 故X的分布列为 X 0 1 2 3 15 15 5 56 56 28 15分 数学期塑为E(X)=0X品+1×亮+2×亮+3x嘉- 28 2881 …………17分 19,解：1)从这批零件中随机选取1件，长度在(1.4,1.6]的概率P=40十10=名 …2分 120 3， 随机变量X的可能取值为0,1,2,3，……………………3分 则P(X=0)=c×-号)广=7P(X-1D=Cx(1-号)》×号-号， 【高二数学参考答案第3页（共1页）】 24581B P(X=2)=CG×(1-号)×（号）广=号，P(X=3)=C×(号)广= …7分 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 2 2 …9分 所以E(X)=0X7+1X号十2X号+3×82： ……11分 《2)由题意知2=1,5，g=0.1,P(1.3<y<1.4)=P(1,6<y<1.7)=5=0.125,…13 13分 企么<Y≤+a）=p1.4Y≤.6)=0=号0.67，…14 P(μ-2g<Y≤+2g)=P(1.3<Y≤1.7)=0.125+0.67+0.125=0.92，…15分 因为|0.67-0.6827|=0.0127≤0.05，|0.92-0.9545=0.0345≤0.05，…16分 所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1,5,0.01)的概率分布. 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收，…… …17分 【高二数学参考答案第4页（共1页）】 24581B