陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高二下学期第三次检测考试数学试题

神木四中2023~2024学年度第二学期高二第三次检测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~ 第七章。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.抛物线y2=x的焦点坐标是 A.(1,0) B( C.(0,-1) D.(o, 2.下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数： ②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置？： ③某派出所一天内接到的报警电话次数X; ④某同学上学路上离开家的距离Y 其中是离散型随机变量的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.若随机变量的分布列如表，则P(X一2=1)的值为 十 1 2 3 4 P 子 A品 B司 c品 2 D.3 4.已知等差数列{a.}的前5项之和为25，ae=一1，则公差为 A.6 B.3 C.4 5.函数f(x)=alnx+1 2的单调递减区间为(1，十∞)，则a= A. B.1 C.e D.e2 e 【高二数学第1页（共4页）】 24583B 6.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率 分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为 A.0.62 B.0.64 C.0.58 D.0.68 7.已知双曲线C若一芳=1(a>0,6>0),以双曲线C的右顶点A为圆心b为半径作圆A,圆 A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，若∠MAN=60°，则双曲线的离心率为 A.2 B号 c D.2 8.已知(x2-2)(x-1)7=a。十a1(x-1)十a2(x-1)2十…十a(x-1)°，则(a1十aa十a5十a2+ ag十2)(d2+a:十a6+as)= A.8 B.5 C.2 D.4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.若圆M:(.x一k)2十(y一1)2=8与圆N:(.x一1)2十(y一k)2=2相交，则k的取值可能为 A. B.1 C.3.8 D.4.2 10.对于(-) 的展开式，下列说法正确的是 A.展开式共有8项 B.展开式中的常数项是70 C.展开式中各项系数之和为0 D.展开式中的二项式系数之和为64 11.如图所示，四边形ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面ABF,E为AB的中点，AF⊥BF,且 AB=√2AF=2,则下列结论正确的是 A.|C+CB|=25 B.直线BC到平面ADF的距离为v③ C.异面直线AB与FC所成角的余弦值为E D.直线AC与平面CEF所成角的正弦值为0 10 12.袋中装有6个相同的小球，分别编号为1,2,3,4,5,6.从中不放回的随机抽取两个球，A表 示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之 和为偶数”，则下列说法正确的是 A.事件A与事件B不相互独立 B.事件A与事件B互斥 C.在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为 D,在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为司 【高二数学第2页（共4页）】 24583B 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.过点(2，一1)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 14.设随机变量X~B(3,号)，则P(X≥D= 15.已知P是椭圆后十六=1上的一点，A,B分别为圆C:(x一4)+y=4和圆C:(x十4) +y=1上的点，则|PA十PB的最大值为 16.某批零件的尺寸X服从正态分布N(8,),且满足P(X>10)=合，零件的尺寸与8的误差 不超过2即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低 于0.8，则n的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知函数f)=号r+ar+b,且x=1,x=3为极值点. (1)求实数a,b的值： (2)判断x=1,x=3是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 18.(本小题满分12分) 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，，已知甲、乙两名射手在每 次射击中射中的环数分别为7,8,9,10，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为2a,0.2,a,0.2, 乙射中10,9,8,7环的概率分别为0.3,0.3，b,b. (1)求，n的分布列： (2)请根据射击环数的期望及方差来分析甲、乙的射击技术， 19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB,AD∥BC,PA⊥AB,E为侧棱PA上一点· 平面BCE与侧棱PD交于点F,且AB=BC=AE=2AD=2,DP与底面ABCD所成的角 为45°. (1)求证：F为线段PD的中点； (2)求平面PDC与平面PBC的夹角的正弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 24583B 20.(本小题满分12分) 已知数列(a,,且loga1+loga2十…+loga.=十 2 (1)求数列{a.}的通项公式： (2)求数列{n·am}的前n项和T. 21.(本小题满分12分) 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从 本市n(n∈N)个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个 集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为： 5 (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X,求X的分布列和数学期望， 22.(本小题满分12分) 某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度 (单位：分米)，按数据分成[1.2,1.3]，(1.3,1.4]，(1.4,1.5]，(1.5,1.6]，(1.6,1.7]， (1.7,1.8]这6组，得到如下的频数分布表： 分组 [1.2,1.3] (1.3,1.4] (1.4,1.5] (1.5,1.6] (1.6,1.7] (1.7,1.8] 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率， (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在(1.4,1.6]中的个数，求X 的分布列和数学期望； (2)若变量S满足|P(-a<S≤十σ)-0.6827≤0.05，且|P(以-2a<S≤4+2)一 0.9545≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布N(4,a2)的概率分布，如果这批零件 的长度Y(单位：分米)满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布，则认为这批零件 是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【高二数学第4页（共4页）】 24583B神木四中2023~2024学年度第二学期高二第三次检测考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由了=x得2p=1心p=2,故焦点为(，0）故选B 2.B对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量： 对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量： 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量： 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变 量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③，故选B. 3A根据题意可得a=1-}-}-号=吉，P(X-21=1)=P(X=1)+P(X=3)=言+=是放 选A. 4.A在等差数列{a.}中，S,=5Ca,4》=5a4=25,所以a,=5,所以公差4=4，一a4=6.故选A 2 5.B由题意知f(r)=a-（anr+=4-1二an,所以了(1)=a二=0，解得a=1,故选B. x x 6.C设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地， 由题意知P(B)=0.5,P(C)=0.3,P(AB)=0.8,P(AC)=0.6. 由全概率公式得P(A)=P(B)P(AB)十P(C)P(AC)=0.5X0.8+0.3×0.6 =0.4+0.18=0.58.故选C. .C由于∠MAN=60,因此点A到渐近线距离为气b，一条渐近线方程为：一4y=0,有一6、，可 √a+ 得=-2故选C 8.D令x=2,则an十a1十ag十…十a4=2,令x=1,则4a=0,令x=0,则4a-a1十ag一…一ag=2, 所以ao十ag十a,十ag十a=2,1十a十a5十a:十ag=0, 所以a2十a:十a6十ag=2-0=2,(a2十a:十a6十a8)(a1十ag十a5十ay十a,+2)=4.故选D. 9.AC两圆的圆心M(k,1),N(1.k).圆心距MN=√2(k-1)下=√2|k-1,半径分别为2√2w2,因为圆 M与圆N相交，所以22-√2<√2|k一1|<2√2十√2，解得-2<k<0或2<k<4.故选AC 10,B(x-）的展开式共有9项，故A错误： 展开式中的常数项为C×x×(一)广=70，故B正确： 令x=1,则展开式中各项系数之和为(1一1)=0，故C正确： 展开式中的二项式系数之和为23=256，故D错误. 1L.ACD由AB=2,AF=√2，AF⊥BF,有BF=√2，由于E为AB中点，所以AB⊥EF,且平面ABCD⊥平 面ABF, 因此取CD中点G,分别以EF,EB,EG所在直线为x,y,~轴，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，如图 所示， 则E(0,0,0),B(0,1,0),C(0,1,2),D(0,-1,2),F(1,0,0),A(0,-1,0), 所以CA+CB1=2C龙1=2√0+1+2=25，故A正确： 易知BC∥AD,BC丈平面ADF,ADC平面ADF,所以BC∥平面ADF, 由AF⊥BF,AD⊥BF,可知BF⊥平面ADF,所以直线BC到平面ADF的距离为 BF=√2，即B错误； 易知A店=(0.2,0)，F元=(-1,1,2，所以c0sA成，下花=A:F交 2 ABIFCI 2X6 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 24583B ,所以异面直线AB与FC所成角的余弦值为停，即C正确， 设平面CEF的一个法向量为n=(x,y,),F元=(-1,1,2)，E京=(1,0,0)，则 |n·FC=-x+y+2x=0, 令y=2,可得x=0,x=-1,即n=(0,2,-1),AC=(0,2,2),设直线AC与平面 n·EF=x=0, CEF所成的角为0， sin 0=I cos(n.Ac)=nAcL |n×A衣5X22=0,即D正确.故选ACD 2=10 12.ACD对选项A:事件A的概率P(A)=1一P(不)=1-是-专，事件B的概率P(B)志C=号，事 C 件AB的概率P(AB)怎-号，因为P(AB)≠PCA)·P(B).所以事件A与事件B不相互独立，选项 A正确： 对选项B:“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项 B错误； 对选项C:在事件A发生的前提下，摩件B发生的既率为P(B1A)=需-三=子·造项C正确： 5 对选项D:在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为P(AB)=PAB) 5 1 P(B) 2 =2,选项D正 5 确.故选ACD. 13.x十y一1=0或x+2y=0由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，即直线过原点，又过(2，一1)，则直线方程 为y=一7：若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a,则直线方程为后十名=1，又直线过点(2，-1)， 则2+1-1，解得a=1,所以此时直线方程为x十y=1. a 14.号：随机变量服从X~B3,名P(X≥D=1-PX=0)=1-G×(日)广×(1-）广=品 15,15由题意可知，C,G是椭圆需+芳-1的两个焦点，所以PC+PC=12,所以PA+PB≤ |PC|+2+|PC2|+1=15,即|PA|+|PB|的最大值为15 16.4因X服从正态分布N(8,d),且P(X>10)=言，则P(6<X≤10)=2P(6≤X≤8)=2× (号一合)=号，即每个零件合格的概率为号，合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1， 合格零件件数为0或1的概率为C(号)广+C·号·（兮），依题意，心（仔）广+C·号·（兮）< 0.2,即(2m+1)…(号）广<0.2，令fm)=(2m+1)·(号）广(u∈N),则有f=1,即jm单 f() 6n+3 调递减，而f(3)= 品>0.2f4)=号<0.2.因此不等式(2m+1)·(号) <0.2的解集为 {nn≥4，n∈N,所以n的最小值为4. 17.解：(1)由于fx)=气无+a.x士bx,因此f(x)=x2+2a.x+b,…………………2分 又=1=3为板值点，于是8计粉80则 …5分 (2)由(1)可知(x)=(x-1)(x-3),…6分 当x<1或x>3时，(x)>0,当1<x<3时，(x)<0,…8分 于是x=1为极大值点=3为极小值点，极大值1)=专，极小值3)=0。……10分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 24583B 18.解：(1)由题意得0.2+2a十a+0.2=1,解得a=0.2. 0.3十0.3十2b=1,解得b=0.2,………………………………2分 所以：的分布列为 10 9 8 7 2 0.4 0.2 0.2 0.2 0”4小444 0。…4…4…44t4……40…4……………4+…0…4…0*…,3分 ?的分布列为 10 9 8 P 0.3 0.3 0.2 0.2 …4分 (2)由(1)得E()=10×0.4十9X0.2十8X0.2十7×0.2=8.8：……5分 E(7）=10X0.3十9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7，……6分 D(e)=(10-8.8)2×0.4+(9-8.8)2×0.2+(8-8.8)2×0.2+(7-8.8)2×0.2=1.36: …8分 D(7)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)×0.2=1.21.…10分 由于E()>E(7),D()>D(),说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定.…12分 19.(1)证明：因为AD⊥平面PAB,PA,ABC平面PAB,所以AD⊥AB,AD⊥PA, 又因为PA⊥AB,且AD∩AB=A,所以PA⊥平面ABCD,∠PDA为DP与平面ABCD所成的角，· …2分 由∠PDA=45,有PA=AD=4,所以E为PA中点，………4分 因为AD∥BC,BC丈平面ADP,ADC平面ADP,所以BC∥平面ADP, 又因为BCC平面BCE,平面BCE∩平面ADP=EF,所以BC∥EF,所以EF∥AD, 所以F为线段PD的中点；……6分 (2)解：由(1)可知AD,AB,AP两两垂直，如图所示，以AD,AB,AP分别为x,y, 轴建立空间直角坐标系. 则P(0,0,4),D(4,0,0),C(2,2,0),B(0,2,0),…7分 所以PD=(4,0,-4),CD=(2,-2,0),设平面PDC的法向量为n:=(x,y,z), m·Pj=(xy,z)·(4.0,-4)=4x-4=0, 则 m1·Ci=(xyx)·(2,-2,0)=2x-2y=0, 取x=1,得到n1=(1,1,1),… 9分 设平面PBC的法向量为n=(a,b.c),由BC=(2,0,0),B驴=(0，-2,4)， 1n2·BC=2a=0, 有 取a=0,b=2,c=1,可得n:=(0,2,1),… 11分 m2·BP--2b+4c=0. 所以|cos(n:,n2〉|= 3 -v15 5×5 5· 所以平面PDC与平面PBC的夹角的正弦值为0.， 12分 20.解：1)ioga1十-log.uz十…+iog:a,=心十n. 2 log:a,+log影a:+…+loga,1=n-1)产+（m-D …2分 2 .0g0=+n-n-1)2+(n-1_,n22.…… 2 2 …4分 a。=2"(a≥2)，当n=1时.l0gea1=1,an=2,所以an=2",……5分 综上所述，以n=20:………6分 (2)由（们）得刃·公w=刀…2，……………………7分 T=1X2十2X22十3X23十…十n…2,…8分 2T.=1X22十2X22十3X2十…十n…2+1,……10分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 24583B 所以T.-2T.=2+2+2+…+2-121=21-9）-n…21=1-）·21-2.…11分 1一2 所以T=(n-1)。2叶川十2.。…………12分 21.解：(1)由题意知共有n十3个集团，取出2个集团的方法总数是C,其中全是大集团的情况有C,故全是 大集因的率是是品 5 整理得到3n2一13n一10=0，解得n=5.… ……3分 若2个全是大集团，共有C=10(种)情况： 若2个全是小集团，共有C好=3（种）情况， 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为0十3一3： 3 3 ………6分 (2)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3， PX-0)-e-6P(X-)--器 C56' …8分 P(X=2)= C号C8_30-15 CC810_5 Cg56- P(X=-3) C 5628… 10分 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 15 56 56 28 28 数学期望为E()=0X品+1×需+2×是 1+3×28=15 81 12分 22.解：(1)从这批零件中随机选取1件，长度在(1.4,1.6]的概率P=40+10- 120 3 ……1分 随机变量X的可能取值为0,1.2,3， 则P(X=0=C×(1-号)广-7，P(X=1)=C×(1-号)'×号=号， P(x=2)=C×(1-号)×（号）=号，P(X=3)=CG×(号）=， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 公 号 4 27 27 ………………5分 所以E(X)=0X7+1×号+2×号+3×号-=2： …6分 (2)由题意知-1.50=0,1.P1.3<Y≤1.0=P1.6<Y≤1.7)-品-0.12， …7分 (u-<Y≤十）=p1.4Y<1.6)=0=号0.67，…8分 P(4-2g<Y≤4+2a)=P(1.3<Y≤1.7)=0.125十0.67+0.125=0.92，…9分 因为0.67-0.6827|=0.0127≤0.05,0.92-0.9545=0.0345≤0.05，…11分 所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布. 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收，…………12分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 24583B