青海省西宁市湟源县高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

湟源县高级中学2023~2024学年第二学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第八章8.3。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO,B0,Cò是 A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量 2.若复数之=4十5i,则2-3= A.-10-15i B.-10+15i C.14+15i D.14-15i 3.已知向量a,b满足a=2,且a·b=一3，则(2a十b)·a的值为 A.1 B.3 C.5 D.7 4.在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则CE-BD= D A.AB-2AD BA店-2Ad C号A店-号Aò D.号A店-2A市 E 5.已知平面向量a,b满足a=|b=1,且a十2b=√3，则a,b的夹角为 A.晋 B.号 c D. 3 6.如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且 0A'=号，0B'=4.则△AOB的周长为 45 A.9 B.10 C.11 D.12 【高一数学第1页（共4页）】 24614A 7.平面内顺次连接A(1,1),B(2,0),C(0,一2)，D(一2,0)所组成的图形是 A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对 8.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB,小胡同学先在塔 的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进 140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是 A.70米 B.80米 C.90米 D.100米 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分， 9.已知i为虚数单位，复数x1=1十2i,之2=2一i,3=,则 A.1与22互为共轭复数 B.11|=|22 C.名1十x2十a为纯虚数 D.(1十a)·2=3十i 10.如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是 A.三棱台 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱 11.若e1,e2是平面a内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是 A.Ae,十ue:(a,u∈R)可以表示平面a内的所有向量 B.对于平面a中的任一向量a,使a=入e1十uez的实数A,u有无数多对 C.入：均为实数，且向量入e十e2与：e十e共线，则有且只有一个实数入，使 入，e1十e2=入（入2e1十2e2) D.若存在实数入，4，使e1十e2=0,则入=4=0 12.在△ABC中，os号-2，BC-1,AC=5,则下列说法正确的是 A.sin C B.△ABC的面积为2 C.△ABC的外接圆直径是5y5 4 D.△ABC的内切圆半径是35 2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知复数x=(m2一3m十2)十(m2十3m一10)i是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值 为 14.圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为 15.已知向量a=(3,6),则与向量a平行的单位向量为 16.已知△ABC中，角A,B.C的对边分别为a,bc,且△ABC的面积为25，c=2,B=弩，则 【高一数学第2页（共4页）】 24614A 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分10分) (1)已知单位向量e1与e2的夹角为60°，且a=e1十e2,b=e1一2e2,求a·b: (2)已知|a=√2，b=3,a-b=√7，求a·b. 18.(本小题满分12分) 已知向量a=(2,4),b=(m,1),c=(1,2),且(a-2b)⊥c. (1)求m的值： (2)求向量a一b与2b一3c的夹角的余弦值. 19.(本小题满分12分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(√3a,b),n=(3cosA,sinB)且 m∥n. (1)求角A: (2)若a=√7，c=2,求△ABC内切圆的半径 【高一数学第3页（共4页）】 24614A 20.(本小题满分12分) 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm,盆底直径为10cm,盆壁长（指圆台的母线长）13cm (1)求这个圆台型花盆的体积： 20cm (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平 方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费13cm 多少元？（第(2）间中π取3.14) m 21.(本小题满分12分》 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=√，∠BAC=30°，F是线段AC上的动点（异于端 点)，BC=3BE. (1)若F是AC边的中点，求AE·BF的值； (2)当AE.B亦=-7+3时，请确定点F的位置. 4 22.(本小题满分12分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且一a=sin C-sin A c sin B+sin A' (1)求角B: (2)若△ABC为锐角三角形，AC=2,D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围. 【高一数学第4页（共4页）】 24614A湟源县高级中学2023~2024学年第二学期期中考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.B:O是正△ABC的中心，向量OA,O店，O心分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， ∴O到三个顶点的距离相等A可1=BO=Cò1，但向量AO.BO,Cδ不是相同向量，也不是共线向量，也不 是起点相同的向量.故选B. 2.B 3.C由题意知(2a+b)·a=2a2+b·a=2×2-3=5.故选C. 4.D因为在矩形ABCD中，E为AB的中点， 所以CE-BD-B求-BC-(Ai-A)=-号A店-A市-AD+AB=号A苏-2AD,故选D, 5.Da+2b=a+2b2=3d+40…b十46=3，设a,b夹角为0.1+4cos0叶4=30s0=-又 :0e[0,]0-子，放选D. 6.D在△OAB中，OA=3,OB=4,由OA⊥OB,可得AB=5,△OAB的周长为12. 7.B因为AB=(1,-1),DC=(2,-2),BC=(-2,-2),DA=(3,1),则DC=2AB,AB⊥BC,CD⊥BC, BC≠AD,所以四边形ABCD为直角梯形.故选B. 8.A设塔AB的高度为h,在Rt△ABC中，因为∠ACB=45°，所以BC=h:在Rt△ABD中，因为∠ADB= 30°，所以BD=√3h:在△BCD中，∠BCD=60°，BC=h,BD=√3h,根据余弦定理可得BD=BC十CD- 2BC·CD0s60,即(V3h)=+140-2h×140×7,解得M=70或A=-140(舍去).故选A 9.BD因为e=a+bi的共轭复数为=a一i,所以A不正确： 因为=√+2=√5，a=√2+（一1）F=5,所以B正确： 因为1+2十=1+2i+2-i十(-i)=3,所以C不正确： 因为1十x=1+i,所以(x+)·=(1+i)(2-i)=3十i,所以D正确。 10.ABC因为四棱柱有六个面，所以D项不正确，三棱台，四棱锥和三棱柱都有5个面. 11.BC由题意可知：e1,e可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A,D正确，B不正确： 对于C.当1=2=h==0时，则a1e1+41e=入：e十e:=0, 此时任意实数入均有：e十内e2=入(aze十e),故C不正确.故选BC. 12.ABD cos C=.2os号-1=号Ce0,xsnC=号A选项正：确S=BC·AC.sin C=号×1 X5X号=2，B也正确：AB=VBC+AC2BC·ACeos C=25,2R-B255,内切圆半径 4 5 25=2X2=3,5,所以C错误，D正确 r=C长6+25 (7m2一3m十2=0，m=1或m=2, 13.1 则m=1. m2+3m-10≠0m≠2且m≠-5， 14.130π因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为10π，所以该圆柱的表面积为50π+ 80r=130π. 16.(5,25)或(-9-5} 因为a=(3,6),所以|a|=√3+6=3W5,所以与向量a平行的单位向量 【高一数学参考答案第1页（共3页）】 24614A 为品=（停2）（停-2） 16号S=B-×aX2x-2v5,解得a=4 ÷B=a2+2-2acc0sB=16+4-2×4×2X号=12. 6=2w3,b-3 a2 17.解：(1)，单位向量e1与e的夹角为60°， e·6a=e·eos60=1X1X号=号………3分 a…6=e+e)(a-2a,)=6-0e-2e=1-号-2=- 2· …5分 (2)a-b1=√7，.a2-2a·b+b2=7,即2-2a·b+9=7,∴.a·b=2.…10分 18.解：(1)因为a一2b=(2,4)一2(m,1)=(2一2m,2),…3分 且(a一2b)⊥c,所以(a一2b)·c=2一2n十2X2=0,……6分 解得=3；………8分 (2)因为a-b=(2,4)-(3,1)=(-1,3),2b-3c=2(3,1)-3(1,2)=(3,4). 所以|a-b|=√10，|2b-3c=5,(a-b)·(2b-3c)=3×(-1)+3×(-4)=-15,…9分 所以wa-6he-9.8斜-及。-3 10 ………12分 19.解：(1)因为向量m=(√3a,b)与n=(3cos4,sinB)平行，所以W3 asin B-3 beos A=0,…1分 由正弦定理得3 sin Asin B-3 sin Bcos A=0,……………………2分 又sinB≠0，所以W3sinA一3cosA=0,所以tanA=√3，…………4分 又A∈(0元)，所以A=子，…5分 (2)由余弦定理得a=+e2-2 bcos A,所以7=十22一2b,解得b=3或b=一1（舍），…7分 所以△ABC的面积S=合sinA= 2· 111..0.. ……9分 设△ABC内切圆的半径为r, 所以S=专(a+6+e)r=名×(2+3+7).解得5B。回 ………12分 6 20.解：(1)h=13-(10-5)7=12,………1分 S上=πR2=100π，S下=T2=25π，…2分 10 V=名(S:+Sr+v51·S)=3×12(100m+25m+V100x×25a） =4(125π十50π）=700π，……………4分 13 则这个圆台型花盆的体积为700元cm3;…5分 (2)Sm=号×20m×26-号×10m×13=260x-65x=195x,…8分 20r 195x≈195×3.14=612.3cm=0.06123m2, 0.06123×10X10000=6123元，……………………11分 10π 则给1万个同样的花盆全部涂上油漆，预计花费6123元.…12分0 13 cm 【高一数学参考答案第2页（共3页）】 24614A 21.解：()由题意知A花-号AB+A心，由于下是AC边的中点，因此B亦-B+A心，…2分 因此a花.成-（号A+号C)·(-A+心）=-导A+名心=-是 …5分 (2)不妨设A=入AC,∈(0,1)，因此B亦=-AB+入A心，… ……7分 A花.萨-（号A+号）(-A+xAC)=-号御：+合心+2a.A花=-2++(2以- 1D.9=W+1a-2-5=-7+3 10分 解出入=子，故F是线段AC靠近A处的四等分点。 12分 2.解，1咽为5气2-部0会由正弦定理得5-行名所以+-8=，…2分 由余弦定理得cosB=Q十c一： 2ac 2ac2· …4分 又B∈(0，x),所以B=π 3子5小+……………4…小…4………5分 (2)因为a2+c2-b=ac,所以a2+c2=ac+4 因为D是线段AC的中点，所以Bi=号(Bi+BC) 所以市=[3(+BC)]-}(a++ac)=1+ac,… 7分 由正弦定理得a sin A sin B sin C 2三.所以a-4snAc-nC sin号 3 所以a=45nA·45nC=9nAsn(+号)=号sn(2A-吾)+告， …9分 0<A<, 又△ABC为锐角三角形，所以 0<-A< 解得吾<A<受，所以晋<2A-晋<，…10分 所以ac∈(g,4],所以B亦∈(33] 所以BD∈（牙w],即BD的长的取值范围是（牙w] …12分 【高一数学参考答案第3页（共3页）】 24614A