精品解析：河南省郑州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023~2024 学年下学期学情调研 七年级 数学 (时间： 100分钟 满分： 120分) 注意：本试卷分试卷和答题卡两部分。考生应首先阅读试卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效。交卷时只交答题卡。 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 河南肩负着中原出彩的历史使命，牢记嘱托，奋勇争先，各项事业蓬勃发展，以下是河南部分平台的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：由轴对称图形概念知，A、B、D三个选项中的图形不存在一条直线，沿着这条直线对折，直线两旁的部分不能重合，故都不是轴对称图形，只有选项C中的图形，是轴对称图形 故选：C． 2. 星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：20纳秒秒， 故选：A 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列长度的木棒，可以拼成三角形的是（ ） A. ， ， B. ，， C. ， ， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以．三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，能组成三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：B 4. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则进行即可；掌握多项式除以单项式法则是关键． 【详解】解： ； 故选：D． 5. 数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（ ） 亮亮 天天 花花 丽丽 A. 亮亮 B. 天天 C. 花花 D. 丽丽 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由同位角相等，两直线平行判定，故不符合题意； B、由同旁内角互补，两直线平行判定，故不符合题意； C、由内错角相等，两直线平行判定，不能判定，故符合题意； D、由内错角相等，两直线平行判定，故不符合题意． 故选：C． 6. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，在儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”分析判断即可． 【详解】解：根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”，可知儿童离家距离先从大变小直到0，再慢慢变大直到一固定值，由此可知选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图像的知识，结合题意分析函数图像是解题关键． 7. 下列说法正确的个数是（ ） ①对顶角相等； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内， 如果， 则； ⑤两直线被第三条直线所截，内错角相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①对顶角相等；正确；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；正确；③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误； ④在同一平面内， 如果 则；错误 ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．错误；解答即可． 本题考查了对等角相等，平行线的判定，垂线的作图，平行线的作图，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】①对顶角相等；正确； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；正确； ③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；原说法错误； ④在同一平面内， 如果 则；原说法错误 ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误； 故选B． 8. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求几何概率，根据七巧板的特点求出阴影部分占整个图形面积的比值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的变成为，则，点到的距离为， ∴， ∴那么小球最终停留在阴影区域上的概率是， 故选：D． 9. 对任意整数，都（　　） A. 能被2整除，不能被4整除 B. 能被3整除 C. 既能被2整除，又能被4整除 D. 能被5整除 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式因式分解得出，和都是的一个因数，即可得出答案，能利用平方差公式进行因式分解是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴对任意整数，既能被2整除，又能被4整除， 故选：C． 10. 如图，有两张正方形纸片 A和B，图1将B放置在A 内部，测得阴影部分面积为5，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为12，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，(图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分)则图3阴影部分面积为（ ） A. 24 B. 29 C. 32 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景以及整式的加减．设正方形纸片和的边长分别为：，，由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，即可得出答案． 【详解】解：设正方形纸片和的边长分别为：，， 由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， 所以， 由图3可知，阴影部分面积． 故选：B． 二、填空题(每小题3分，共 15分) 11. 下面是跪姿射击的情形，要使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，可以选择①右脚尖，②右膝，③左脚，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三个支点 ____________________ （填序号）． 【答案】①②③或④⑤⑥或④⑥⑦ 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性质；只要是构成三角形的三个支点均可使射击者在射击过程中保持枪的稳定性． 【详解】解：可以是①②③或④⑤⑥或④⑥⑦． 故答案为：①②③或④⑤⑥或④⑥⑦． 12. 请你举例写出一个事件，使得该事件发生的概率为．例如：_________________________________________________． 【答案】盒子里有三个白球，两个黑球，取出一个球，取到黑球的概率为 【解析】 【分析】本题考查概率的定义，解题的关键是对于简单随机事件概率的计算． 【详解】根据题意，盒子里有三个白球，两个黑球，取出一个球，取到黑球的概率为：，． 故答案为：盒子里有三个白球，两个黑球，取出一个球，取到黑球的概率为． 13. 一个正方形的边长减少了，面积相应减少了，则原来这个正方形的边长为________________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的相等关系是解决本题的关键．设原来正方形的边长是，根据相等关系就可列出方程，解方程就可以求出原来正方形的边长． 【详解】解：设原来正方形的边长为． 故答案为：8． 14. 如图是地球截面图，其中， 分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线太阳光线的延长线经过地心，此时，太阳光线与地面水平线 垂直， 已知， 则 的度数是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差计算，根据太阳光线与地面水平线垂直可得，再由，代入计算即可．掌握角度的四则运算是解题的关键． 【详解】解：∵太阳光线与地面水平线垂直， ∴， ∵， ∴， 即的度数是． 故答案为：． 15. 古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图，在等腰三角形的房梁中， ，，，，是边上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高上找一点E，在边上找一点F，使得绳子从C点出发，先绕到点E，再绕到点F，要使所用的绳子最短，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，垂直平分线的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交于点，交于点，根据等腰三角形三线合一，可知，从而知道是线段的垂直平分线，推导出，那么，当点和重合时，与重合时，最短，且此时，最后结合，求得的长度，得到的最小值． 【详解】过点作交于点，交于点，连接、、，如图所示： ，， 是线段的垂直平分线 ， 根据垂线段最短，可知当点与点重合，与重合时，最短 此时 ，，， 的最小值为 故答案为：． 三、解答题 (本大题共8个小题，共75分) 16. （1）用简便方法计算： （2）先化简，再求值： ，其中 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，整式的混合运算，化简求值，熟记平方差公式，准确计算是解题的关键； （1）运用平方差公式计算即可； （2）先去括号，合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算即可． 【详解】（1） （2） ； 把，代入得 17. 在探究“三角形三个内角的和等于”时，小明是这样想的： （1）过点A在右侧作一条射线， 使得 (请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，这样作图依据是 ． （2）推理过程： 因为， (已知) 所以 ，(依据1： ) 因为 ，(依据2： ) 所以． 【答案】（1）内错角相等，两直线平行 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，平行线的判定和性质． （1）根据尺规作图的方法和步骤作出，根据“内错角相等，两直线平行”即可解答； （2）先推出，结合平行线的性质得出，进而得出． 【小问1详解】 解：过A作平行线， 作图依据是两直线平行，内错角相等． 小问2详解】 解：因为， (已知) 所以，(依据1∶内错角相等，两直线平行) 因为，(依据2∶两直线平行，同旁内角互补) 所以． 18. 近年来，付费自习室受到越来越多年轻人的青睐．下表反映某学员在某付费自习室的卡内余额y(元)与自习天数x(天)之间的关系： 自习天数x(天) 0 1 2 3 4 5 … 15 … 卡内余额y(元) a … b … （1）在上述关系中，自变量是 ，因变量是 ； （2）上表中 ， ； （3）直接写出该学员在该付费自习室的卡内余额y(元)与自习天数x(天)之间的关系式； （4）若该学员持此卡在该付费自习室持续自学了30天，且期间没有充值，求该学员的卡内余额，并计算该学员还够自习多少天？ 【答案】（1）自习天数x(天)，卡内余额y(元) （2）， （3）（）； （4）卡内余额还有元，该学员还够自习10天． 【解析】 【分析】此题考查了函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）某付费自习室的卡内余额y(元)随着自习天数x(天)之间的变化而变化，据此进行解答即可； （2）卡内余额y(元)随着自习天数x(天)之间增加均匀的减少，据此即可求出答案； （3）根据（2）进行解答即可； （4）计算出当时的y的值，得到卡内余额，再求出能给学习的总天数，即可求出还够自习的天数． 【小问1详解】 解：∵某付费自习室的卡内余额y(元)随着自习天数x(天)之间的变化而变化， ∴在上述关系中，自变量是自习天数x(天)，因变量是卡内余额y(元)， 故答案为：自习天数x(天)，卡内余额y(元) 【小问2详解】 由题意可知，卡内余额y(元)随着自习天数x(天)之间的增加均匀的减少， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 由（2）可知卡内余额y(元)与自习天数x(天)之间的函数关系式为； 当时，，解得， ∴，且x为整数， 故（）； 【小问4详解】 当时，，即该学员持此卡在该付费自习室持续自学了30天，卡内余额还有元， 当时，，解得， ∵（天） ∴该学员还够自习10天． 19. 在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量） 小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度． （1）小颖的作法你同意吗？并说明理由； （2）如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）只需要利用ASA证明△ABC≌△DEC即可得到答案； （2）过点A作射线AP，在线段AP上取两点C、D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长． 【小问1详解】 解：同意小颖的作法，理由如下： ∵DN⊥AD，AB⊥AM， ∴∠CDE=∠CAB=90°， 又∵∠ACB=∠DCE，AC=DC， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴DE=AB， ∴同意小颖的作法； 【小问2详解】 解：过点A作射线AP，在线段AP上取两点C、D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长； ∵EC=BC，AC=DC，∠ACB=∠DCE， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB=DE； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简） ①________________②________________； （2）由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________ （3）如果图中的满足. 求：①值 ②的值 【答案】（1）①，② （2）； （3）①，② 【解析】 【分析】(1)根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果； （2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果； （3）根据完全平方式与已知条件即可求出对应值． 【小问1详解】 解：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为，第二部分的面积为： ； ∴阴影部分的面积的第一种表示方法为． ∵大正方形的面积为；空白部分的面积为， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：①；②． 【小问2详解】 解：由（1）可知阴影部分的面积相等， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方式和平方差公式的几何意义，熟练公式法是解题的关键． 21. 晴日暖风生麦气，绿阴幽草胜花时，正是放风筝的好时节，小明想制作一款自己喜欢的风筝．经调查，风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分组成． （1）如图1，小明制作风筝面时，在网格纸中以直线l为对称轴，请你在图中帮他画出风筝的另一半． （2）如图2，在制作骨架时，小明的作法是：作线段，以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点D，E，在上取点M，连接，、， ，线段所在的直线称为线段的 ，则 ，理由是 ． （3）如图2， 扎完骨架后，平分吗？ 并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）垂直平分线；；垂直平分线的点到线段两端距离相等 （3）平分；理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了画轴对称图形，垂直平分线的尺规作图和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据轴对称性质画图即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； （3）根据题意证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 根据作图可得，线段所在的直线称为线段的垂直平分线， 则，理由是垂直平分线的点到线段两端距离相等； 【小问3详解】 平分，理由如下： ∵所在的直线称为线段垂直平分线， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴平分． 22. 同学们要善于用整体、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． （1）观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（ ） A．是 B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽概率是 (结果精确到) （2）探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) （3）拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 【答案】（1）①不是② （2）草地的大体面积为16平方米 （3） 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率，据此进行解答即可． （1）①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，据此进行解答即可；②表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，即可得到答案； （2）分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比，即可估计石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可； （3）利用几何概率进行解答即可． 【小问1详解】 ①解：当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率， 故选：B ②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右， ∴当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是， 【小问2详解】 解： 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比如下： 一组： 二组： 三组： 四组： ∴估计石子落在草地内的概率约为0.8， ∴草地的大体面积为：（平方米）， 答：草地的大体面积为平方米． 【小问3详解】 解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为： 23. 如图1，在中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：． 【提出问题】 小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围． 【解决问题】 （1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法： 如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围． 你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由． 【经验迁移】 （2）如图3， 在中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，倍长中线并证明两个三角形全等是解题的关键． （1）延长至E，使，连接，易证，得，由三角形三边关系即可求解； （2）延长到点G，使，连接，由得；再由证明，有，由三角形三边关系即可证明． 【详解】（1）解：如图2，延长至E，使，连接， 是中线， ， 又， ， ， ， ， ∴； （2）如图3，延长到点G，使，连接， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024 学年下学期学情调研 七年级 数学 (时间： 100分钟 满分： 120分) 注意：本试卷分试卷和答题卡两部分。考生应首先阅读试卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效。交卷时只交答题卡。 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 河南肩负着中原出彩的历史使命，牢记嘱托，奋勇争先，各项事业蓬勃发展，以下是河南部分平台的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度．1纳秒秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 3. 下列长度木棒，可以拼成三角形的是（ ） A. ， ， B. ，， C. ， ， D. ，， 4. 计算（ ） A. B. C. D. 5. 数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（ ） 亮亮 天天 花花 丽丽 A. 亮亮 B. 天天 C. 花花 D. 丽丽 6. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，在儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是( ) A. B. C. D. 7. 下列说法正确的个数是（ ） ①对顶角相等； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内， 如果， 则； ⑤两直线被第三条直线所截，内错角相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 对任意整数，都（　　） A. 能被2整除，不能被4整除 B. 能被3整除 C. 既能被2整除，又能被4整除 D. 能被5整除 10. 如图，有两张正方形纸片 A和B，图1将B放置在A 内部，测得阴影部分面积为5，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为12，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，(图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分)则图3阴影部分面积为（ ） A. 24 B. 29 C. 32 D. 33 二、填空题(每小题3分，共 15分) 11. 下面是跪姿射击的情形，要使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，可以选择①右脚尖，②右膝，③左脚，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三个支点 ____________________ （填序号）． 12. 请你举例写出一个事件，使得该事件发生的概率为．例如：_________________________________________________． 13. 一个正方形的边长减少了，面积相应减少了，则原来这个正方形的边长为________________cm． 14. 如图是地球截面图，其中， 分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线太阳光线的延长线经过地心，此时，太阳光线与地面水平线 垂直， 已知， 则 的度数是_________ ． 15. 古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图，在等腰三角形的房梁中， ，，，，是边上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高上找一点E，在边上找一点F，使得绳子从C点出发，先绕到点E，再绕到点F，要使所用的绳子最短，则的最小值为________． 三、解答题 (本大题共8个小题，共75分) 16. （1）用简便方法计算： （2）先化简，再求值： ，其中 17. 在探究“三角形三个内角的和等于”时，小明是这样想的： （1）过点A在右侧作一条射线， 使得 (请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，这样作图依据 ． （2）推理过程： 因为， (已知) 所以 ，(依据1： ) 因为 ，(依据2： ) 所以． 18. 近年来，付费自习室受到越来越多年轻人的青睐．下表反映某学员在某付费自习室的卡内余额y(元)与自习天数x(天)之间的关系： 自习天数x(天) 0 1 2 3 4 5 … 15 … 卡内余额y(元) a … b … （1）在上述关系中，自变量是 ，因变量是 ； （2）上表中 ， ； （3）直接写出该学员在该付费自习室的卡内余额y(元)与自习天数x(天)之间的关系式； （4）若该学员持此卡在该付费自习室持续自学了30天，且期间没有充值，求该学员的卡内余额，并计算该学员还够自习多少天？ 19. 在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量） 小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度． （1）小颖的作法你同意吗？并说明理由； （2）如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形． 20. 请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简） ①________________②________________； （2）由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________ （3）如果图中的满足. 求：①的值 ②的值 21. 晴日暖风生麦气，绿阴幽草胜花时，正是放风筝的好时节，小明想制作一款自己喜欢的风筝．经调查，风筝由骨架、风筝面、尾巴、提线、放飞线五部分组成． （1）如图1，小明制作风筝面时，在网格纸中以直线l为对称轴，请你在图中帮他画出风筝另一半． （2）如图2，在制作骨架时，小明作法是：作线段，以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点D，E，在上取点M，连接，、， ，线段所在的直线称为线段的 ，则 ，理由是 ． （3）如图2， 扎完骨架后，平分吗？ 并说明理由． 22. 同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． （1）观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（ ） A．是 B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) （2）探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) （3）拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 23. 如图1，在中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：． 【提出问题】 小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围． 【解决问题】 （1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法： 如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围． 你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由． 【经验迁移】 （2）如图3， 在中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $