精品解析：上海市彭浦第三中学2023-2024学年九年级下学期开学第二次摸底考试数学试题

上海彭浦三中2023-2024学年九下开学第二次摸底考试卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一、选择题（共24分） 1. 下列各类数中，与数轴上的点存在一一对应关系的是（　　） A. 有理数 B. 实数 C. 分数 D. 整数 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数与数轴上的点存在一一对应关系解答． 【详解】实数与数轴上的点存在一一对应关系， 故选B． 【点睛】本题考查了实数与数轴上点的关系，每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反过来，数轴上的每个点都表示一个唯一的实数，也就是说实数与数轴上的点一一对应. 2. 已知两组数据：，，和，，，下列说法正确的是（ ） A. 平均数相等，方差不相等 B. 中位数相等，方差不相等 C. 平均数不相等，方差相等 D. 中位数不相等，众数相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数与方差的意义求解即可． 【详解】解：∵新数据是在原数据的基础上每个加2， ∴新数据的平均数、中位数、众数均比原数据的平均数、中位数、众数大2，方差不变． 故选：C． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数、中位数与众数的定义． 3. 顺次连结直角梯形各边中点所得到的四边形可能是（ ） A. 菱形； B. 矩形； C. 梯形； D. 正方形． 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，证明四边形是平行四边形，即可排除C，根据邻边边相等，即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是直角梯形，分别为各边中点，则 四边形是平行四边形 四边形不能是菱形或正方形， 四边形可能是矩形，如图 故选B 【点睛】本题考查了中点四边形，掌握那个特殊四边形的性质是解题的关键． 4. 在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（　　） A. 这两个图形都是轴对称图形 B. 这两个图形都不是轴对称图形 C. 这两个图形都是中心对称图形 D. 这两个图形都不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义、结合不可能事件的定义分析即可得出答案． 【详解】解：A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意； B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意； C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意； D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题涉及到了轴对称图形、中心对称图形、不可能事件等的相关知识，考察了学生对常见图形的理解；解题的关键是牢记相关概念，理解并掌握等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形的特征等，明白不可能事件的含义，逐项排查，即可得出正确选项，对学生的综合分析和逻辑思维能力有一定的要求． 5. 如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形是平行四边形，． ． 根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形是平行四边形，． ． ． 四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④， ，即平行四边形的对角线互相垂直， 新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件． 故选：． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； B. 如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； C. 如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦； D. 如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧． 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案． 【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题； B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题； C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题； D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个． 二、填空题（共48分） 7. 不等式的解集是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了不等式性质，解不等式力，解题的关键是掌握不等式的性质． 解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 【详解】解：两边同时除以，得：． 故答案为：． 8. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，构造如图三角形，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形，，，于点 ∴， 设，则 ∴，， ∴ ∴ ∵， 故答案为：． 9. 名额分配综合评价是2022年上海市高中阶段学校的招生录取方式之一．市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数．如果7位高中老师的打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是 _____分． 老师1 老师2 老师3 老师4 老师5 老师6 老师7 打分 9 10 7 8 8 9 10 【答案】8.8 【解析】 【分析】先去掉一个最高分和一个最低分，再根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数为：（9+10+8+8+9）＝8.8（分）， 即这位学生的现场综合评价得分是8.8分， 故答案为：8.8． 【点睛】本题考查了游戏公平性以及平均数的计算，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 10. 在不透明的袋子中装有北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”的纪念卡片12张，每张卡片除吉祥物外其他完全相同，从中任意拿出一张，拿到“冰墩墩”纪念卡片的概率为P1，拿到“雪容融”纪念卡片的概率为P2，且P1﹣P2＝0.5，那么袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是 _____． 【答案】9张 【解析】 【分析】根据题意由P1﹣P2＝0.5，P1+P2＝1可求P1，再根据概率公式即可求解． 详解】解：根据题意得P1﹣P2＝0.5，P1+P2＝1， 解得P1＝0.75， 则袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是12×0.75＝9（张）． 故答案为：9张． 【点睛】本题主要考查了概率公式，读懂题意、列出方程组求出P1是解答本题的关键． 11. 如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论． 【详解】解：∵四边形DEFG是矩形， ∴EFCD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5， ∴∠EFB＝∠C， ∵ADBC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠EFB， ∴BE＝EF＝DG， ∴AE＝CG， 在RtFGC中，tanC＝＝， ∴CG＝2， ∴AE＝CG＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12. 在方程中，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解方程，先化简分式方程，然后根据换元法化简即可求解． 【详解】解：设，原方程可化为 ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知OA，OB，OM均是⊙O的半径，OA⊥OB，．如果=k，那么k的值是 _____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分别讨论点M在劣弧AB上或点M在优弧AB上两种情况，再利用平面向量的定义即可得出答案． 【详解】解：当点M在劣弧AB上时， 过点A作AC∥OB且AC=OB，连接BC，如图． ∵OA，OB，OM均是⊙O的半径， ∴OA=OB=OM， ∵OA⊥OB，， ∴点O，M，C三点在同一条直线上， ， 设圆O的半径为x， ∴=x，， ∴， ∴k=． 当点M在优弧AB上时， 过点A作AC∥OB且AC=OB，连接BC，如图． 同理可得，点O，M，C三点在同一条直线上， 设圆O的半径为x， 则=x，， ∴， ∴， ∴k=-． 故答案为：或-． 【点睛】本题考查了平面向量的定义，熟练掌握圆的定义和平面向量的定义是解答本题的关键． 14. 已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作如图，连接OD、OE，利用HL可得△AEO≌△ADO，进而可得∠DAO＝∠EAO，再根据等边三角形的性质即可得∠OAC＝30°，进而可求解． 【详解】解：如图，连接OD、OE， ∵AB、AC切圆O与E、D， ∴OE⊥AB，OD⊥AC， 在Rt△AEO和Rt△ADO中， ， ∴△AEO≌△ADO（HL）， ∴∠DAO＝∠EAO， 又∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴， ∴OD：AO＝1：2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，三角形外接圆与内切圆的综合，熟练掌握全等三角形的判定及性质和等边三角形的性质是解题的关键． 15. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________． 【答案】100°或115° 【解析】 【分析】根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD＝CD时，②如当AD＝AC，③当AC＝CD，然后结合最美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数． 【详解】解：①当AD＝AC时，如图1， ∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝50°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝65°＋50°＝115°． ②当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝50°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝50°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋50°＝100°． ③当AC＝CD时，如图3，∠ADC＝∠A＝50°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝50°， ∴∠ADC＝∠BCD（不合题意）． 综上所述，∠ACB＝100°或115°． 故答案为： 100°或115° 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键． 16. 我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC． 易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线， ∵△OBC是等边三角形 ∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°， ∵OE=OC ∴∠OEC=∠OCE， ∵∠BOC=∠OEC+∠OCE ∴∠OEC=∠OCE=30° ∴∠BCE=90°， ∴△BEC是直角三角形 ∴=cos30°=， ∴λ6=. 考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数 17. 如图，将矩形沿对角线折叠，使点B翻折到点E处，如果，那么=___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据折叠的性质及矩形的性质得出，，，，根据二直线平行，内错角相等得出，根据等量代换得出，设与相交于F，根据等角对等边则，根据等式的性质得出，从而得出，然后证得，根据相似三角形对应边成比例得出，设，则．在中，根据勾股定理表示出，又∵，从而即可得出答案． 【详解】解：∵矩形沿直线折叠，点B落在点E处， ∴，，． ∵矩形的对边， ∴， ∴， 设与相交于F， 则， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， ∴， 设，则． 在中，． 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 18. 如图，在等边中，点D是边AB上一点，且，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果的面积是的面积的3倍，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作，垂足为点G，联结点F和中点H；根据和的面积关系可得点F为CD中点，从而求出FH的长度，在根据勾股定理求出GH的长度，即可进行求解． 【详解】解：过点F作，垂足为点G，联结点F和中点H； 令等边的边长为x， ∵，， ∴的高为：， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， ∴， ∴， ∴，则点F为CD中点， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各个知识点，根据题意构建直角三角形进行求解是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握分数指数幂、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义是解答本题的关键． 20. 解方程： ． 【答案】9 【解析】 【详解】试题分析：方程两边同乘以（x+1）（x-1），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可求得分式方程的解. 试题解析： 方程两边同乘以（x+1）（x-1）得， ， 经检验是增根，舍去 ∴原方程的根是． 21. 如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； 小问2详解】 解：如图2，记与交点为，连接，过作于， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 某物流公司引进，两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运小时，种机器人于某日时开始搬运，过了小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求关于的函数解析式； （2）如果、两种机器人连续搬运个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？ 【答案】（1）（）；（2）种机器人比种机器人多搬运了150千克． 【解析】 【分析】（1）设关于的函数解析式为，把E、P的坐标代入即可得到结论； （2）设关于的函数解析式为，把P的坐标代入即可得到的表达式，令x=6，代入，令x=5，代入，两者相减即可得到结论． 【详解】（1）设关于的函数解析式为（）， 由线段过点和点， 得， 解得， 所以关于的函数解析式为（）； （2）设关于的函数解析式为（），由题意，得，即， ∴； 当时，（千克）， 当时，（千克）， （千克）． 答：如果、两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了150千克． 23. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点、（点在点的上方），经过、两点的抛物线的顶点在第二象限． （1）当抛物线的对称轴与相切时，求此时抛物线的解析式． （2）连结、、，若． ①求点坐标； ②在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形和相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意得出，，则，求出点坐标；设出函数解析式，根据题意得，将点的坐标代入找出和的关系式，求出直线的对称轴；根据切线的性质得出对称轴为，求出和的值； （2）①根据和的余切值得出两个角相等，根据点在对称轴上，则可得出对对称轴为直线，求出的值，然后求出顶点坐标； ②根据相似三角形的性质可得或，分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：连结 ，由题意得：，，则，同理得， 点、点的坐标分别是、 ∴，即 设经过、两点的抛物线解析式为， ， ； 此时，， 它的对称轴是直线：； 又抛物线的顶点在第二象限且该抛物线的对称轴与相切， 则， ，， 抛物线的解析式为 【小问2详解】 ①∵， 在中，，而 ∴，所以，即点在抛物线的对称轴上 又∵， ∴， ∴； ∴ ∴； ②在直线上存在点，使得以点、、为顶点的三角形和相似， ∵、,设解析式为 代入得，，解得： ∴直线的解析式为， 连接，如图， ∵，，则 ∵，则， ， 以点、、为顶点的三角形和相似， ∴或 或， 设， ，，，，， ，，， 或， 解得 不合题意舍去， ， 解得 不合题意舍去， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角函数定义，二次函数的性质，垂径定理，切线的性质，三角形相似的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP= x，PC= y． （1）求证：PE∥DC； （2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围． 【答案】（1）见解析;（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据梯形的性质得到∠B=∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠PEB，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．推出四边形ADGF是矩形，PH∥AF，求得BF=FG=GC=2，根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论； （3）作EM∥PD交DC于M．推出四边形PDME是平行四边形．得到PE=DM=x，即 MC=6-x，根据相似三角形的性质得到PD=EC=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵梯形ABCD，AB=CD， ∴∠B=∠DCB． ∵PB=PE， ∴∠B=∠PEB， ∴∠DCB=∠PEB， ∴PE∥CD． （2）分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G. ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC，DG⊥BC，PH⊥BC， ∴四边形ADGF是矩形，PH∥AF． ∵AD=2，BC=DC=6， ∴BF=FG=GC=2． 在Rt△ABF中， ﹒ ∵PH∥AF， ∴，即． ∴，． ∴． 在Rt△PHC中，， ∴，即． （3）作EM∥PD交DC于M． ∵PE∥DC， ∴四边形PDME是平行四边形． ∴PE=DM=x，即 MC=x． PD=ME，∠PDC=∠EMC， 又∵∠PDC=∠B，∠B=∠DCB， ∴∠DCB =∠EMC=∠PBE =∠PEB． ∴△PBE∽△ECM． ∴，即．整理方程，解得：． 即BE．∴PD=EC=． 当两圆外切时，PD=，即（舍去）； 当两圆内切时，PD=，即（舍去），； 即两圆相交时，． 【点睛】此题考查圆的综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，中，，，，点从点出发，以每秒一个单位长度的速度沿向点运动，到点停止．同时点从点出发，沿的线路向点运动，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，到点停止，以为边向右或右下方构造等边三角形，设的运动时间为，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）当在上，落在边上时，求的值； （3）连接． ①当在边上，与的一边垂直时，求的边长； ②当在边上且不与点重合时，判断的方向是否发生变化，若不变化，说明理由． 【答案】（1）1， （2） （3）①或；②的方向不会变化．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形角的性质求解即可； （2）首先证明，根据，构建方程求解即可； （3）①分两种情形：如图1中，点落在上，如图2中，时，分别构建方程求解即可；②如图3，在上截取，使得，证明，推出，即可得结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， 故答案为：1，； 【小问2详解】 解：如图1， ，， ， ， 又， ， ， 当点落在上时，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 解得：， 当的值为时，点落在上； 【小问3详解】 解：①由（2）可知，当时，点落在上，此时，此时， 如图2，当时， ， ， 解得：， ， 综上所述，满足条件的的值为或； ②当Q在边上且不与点重合时，的方向不会变化， 理由：如图3，在上截取，使得， ，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 的方向不变，当点在的下方时，， 的方向不变． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海彭浦三中2023-2024学年九下开学第二次摸底考试卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一、选择题（共24分） 1. 下列各类数中，与数轴上点存在一一对应关系的是（　　） A. 有理数 B. 实数 C. 分数 D. 整数 2. 已知两组数据：，，和，，，下列说法正确的是（ ） A. 平均数相等，方差不相等 B. 中位数相等，方差不相等 C. 平均数不相等，方差相等 D. 中位数不相等，众数相等 3. 顺次连结直角梯形各边中点所得到四边形可能是（ ） A. 菱形； B. 矩形； C. 梯形； D. 正方形． 4. 在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（　　） A. 这两个图形都是轴对称图形 B. 这两个图形都不是轴对称图形 C. 这两个图形都中心对称图形 D. 这两个图形都不是中心对称图形 5. 如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； B. 如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； C. 如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦； D. 如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧． 二、填空题（共48分） 7. 不等式的解集是_________． 8. 化简：_____． 9. 名额分配综合评价是2022年上海市高中阶段学校的招生录取方式之一．市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数．如果7位高中老师的打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是 _____分． 老师1 老师2 老师3 老师4 老师5 老师6 老师7 打分 9 10 7 8 8 9 10 10. 在不透明的袋子中装有北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”的纪念卡片12张，每张卡片除吉祥物外其他完全相同，从中任意拿出一张，拿到“冰墩墩”纪念卡片的概率为P1，拿到“雪容融”纪念卡片的概率为P2，且P1﹣P2＝0.5，那么袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是 _____． 11. 如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为_____． 12. 在方程中，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是____ 13. 已知OA，OB，OM均是⊙O的半径，OA⊥OB，．如果=k，那么k的值是 _____． 14. 已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝________． 15. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________． 16. 我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____． 17. 如图，将矩形沿对角线折叠，使点B翻折到点E处，如果，那么=___________． 18. 如图，在等边中，点D是边AB上一点，且，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果的面积是的面积的3倍，那么的值为___________． 三、解答题（共78分） 19. 计算：． 20. 解方程： ． 21. 如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 22. 某物流公司引进，两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运小时，种机器人于某日时开始搬运，过了小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求关于的函数解析式； （2）如果、两种机器人连续搬运个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心、为半径圆与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点、（点在点的上方），经过、两点的抛物线的顶点在第二象限． （1）当抛物线的对称轴与相切时，求此时抛物线的解析式． （2）连结、、，若． ①求点坐标； ②在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形和相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP= x，PC= y． （1）求证：PE∥DC； （2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围． 25. 如图，中，，，，点从点出发，以每秒一个单位长度的速度沿向点运动，到点停止．同时点从点出发，沿的线路向点运动，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，到点停止，以为边向右或右下方构造等边三角形，设的运动时间为，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）当在上，落在边上时，求的值； （3）连接． ①当在边上，与的一边垂直时，求的边长； ②当在边上且不与点重合时，判断的方向是否发生变化，若不变化，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$