青海海西州格尔木市第七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

格尔木市第七中学2023~2024学年第二学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第 四章4.14.2。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合A={x∈N1<x<6},B={x4-x>0},则A∩B= A.{2,3,4 B.{2,3} C.{2 D.(3} 2.已知数列√6，√/10，√14,3√2，√22，…，则5√2是这个数列的 A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 3.已知i为虚数单位，x=1一2i,复数之的共轭复数为z,则|十2x A.0 B.10 C.√13 D.3 4.椭圆后+苦=1的离心率为 A司 B c 5.已知直线x十y一1=0与2.x十y十5=0互相平行，则它们之间的距离是 A.32 B.√2 D.② 2 6.小王为了了解现在人们的网购途径，随机对1000名市民进行走访调 t品会 查，统计结果如图所示，下列表述错误的是 15.5 其他% 京底反 A.m=7.0 32% B.这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为545人 浏家树 C.这1000名市民中，通过其他方式购物的人数超过100人 45.5% D.这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物 的人数多165人 【高二数学第1页（共4页）】 24595B 7.如图，在△ABC中，BC-3BD,A正-号AD,则C它= A.告A+号AC B.音A店-子AC C号店-号ad D.-号A店+号AC 8.设数列{a.}的通项公式为am=n一(k一5)n十1，若数列{am}是单调递增数列，则实数k的取 值范围为 A.(4,+∞) B.(-∞，4) C.(8,+∞) D.(-∞，8) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.若方程x2十y2+4m.x一2y十5m=0表示的曲线为圆，则实数m的值可以为 A.0 B司 C.1 D.2 10.设等差数列{am}的前n项和为S.若S=0,a4=4,则 A.an=4n-8 B.am=21-4 C.S.=2n2-6n D.S.=n2-3n 11.下列四个等式中错误的是 A.tan205°+tan35°+√3tan205°tan35°=-√3 tan B. 8 三1 1-tan 8 C.1 3 =4 sincos秀 Dos晋-sin晋-号 12.如图，点P是边长为2的正方体ABCD-A1BCD,的表面上一个动点，则下列说法正确的是 A.当点P在侧面BB,CC上时，四棱锥P-AA,D,D的体积为定值 D B.存在这样的点P,使得A户=号A店+号A+2AA C.当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度 为π十4√2 D当AP-时，点P的轨造长度为x 3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.在等差数列{an中，a1=1,公差d=一2，则a= 14.从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是 15.已知a=(2,-3,0),b=(k,0,3),(a,b)=120°，则k= 16.过点(2,4)作圆x2+y=4的切线，则切线方程为 【高二数学第2页（共4页）】 24595B 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在等差数列{am}中，已知公差d=一3，a=一4. (1)判断一12和一58是否是数列{am}中的项.如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. (2)求数列{a.}的前n项和S. 18.(本小题满分12分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b一c2=bc. (1)求角A: (2)若b=2,且△ABC的面积为S=2√3，求a的值. 19.(本小题满分12分) 若数列1a.的前n项和S满足5，=r+ 2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设数列{1 ana+2 的前n项和为T,求证：T,<是 【高二数学第3页（共4页）】 24595B 20.(本小题满分12分) 已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线I交抛物线于A,B两点，当I⊥x轴 时，AB引=12. (1)求抛物线C的方程； (2)当线段AB的中点的纵坐标为3时，求直线1的方程. 21.(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PAL底面ABC,PA=√5，AB=2,∠ABC=号，BC=1,D,E分 别是PC上的三等分点，F是PB的中点. (1)证明：AE⊥平面PBC: (2)求平面ADF与平面BDF的夹角的余弦值. 22.(本小题满分12分) 已知椭圆C:号十y=1,直线1与椭圆C相交于A,B两点，点P(1,2)为线段AB的中点。 (1)求直线1的方程； (2)若O为坐标原点，求△OAB的面积. 【高二数学第4页（共4页）】 24595B格尔木市第七中学2023~2024学年第二学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.B因为A={2,3,4,5},B={xx<4},所以A∩B={2,3. 2.B由数列的前几项观察归纳，知根号内的被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式α.= √4n+2,当n=12时，a1e=50=52, 3.C因为x=1-2i,所以=1+2i,x+2x=1+2i+2-4i=3-2i,故x+2:=√3+(-2)7=√13. 4.A因为a=8,F=6,所以c2=2,故离心率e=二= a21 5.C由题意得号-】→m=22r+2y-2=0与2x+2y十5=0间的距离为d=一2-2-72 √2+24 6.C对于A选项：1-32%-15.5%-45.5%=7%，m=7.0,A正确；B选项中，1000×(1-45.5%)=545 (人)，所以B正确：C选项中，：m=7,∴.1000×7%=70（人），70<100，所以C错误：D选项中，1000×(32% 一15.5%)=165（人），D正确. 7.B由BC=3B心得心=号A店+号A心，又A花=号Ai.所以A花=号A店+号A心， 所以C市=A花-AC=号A苏-子AC 8.D由数列{a.}是单调递增数列可得，对于n∈N·都有a+1>a。成立，即(n十1)一(k一5)(n十1)+1>n2 (k-5)n十1，k<2m十6对n∈N·都成立，所以k<(2n+6)=2×1十6=8.（或通过二次函数的对称性求解） 9.AD方程x十y十4m.x一2y十5m=0,即(x十2m):+(y一1)2=4m2-5m十1，若方程表示圆，则4m一5m+ 1>0,解得m<或m>1,故选A.D项。 3(41+d)=0 10.BD设等差数列{an}的公差为d,由题意可得 41=-2 ,解得 a1+3l=4 d=2 a,=-2+2(m-1)=2m-4,S.=-2m+n"2D×2=m-3m 2 tan205°+tan35 11.ABD A.tan 240-tan (2055)tam 205 tamtan 205+tan 3tan 205'tan 35 =√，故A错误； tan 8 1 2tan- B.- 2 1-tan㎡2 专an-，放B错误 8 1-tan 8 C.- 5co8-5sin器 nos sim香os器 n哥 长4sn音-4，放C正魔： sin g Dos音-面音=ms吾-号故D错说。 12.ACD对于选项A,由点P到侧面ADD1A的距离相等，故四棱锥P-AA1DD的体积为定值，故A选项 正确： 对于选项B,这样的点P不在正方体的表面上，故B选项错误： 对于选项C,①当点P在侧面BB,CC,侧面CGDD上时（不包括正方形ABCD的边界），过点P作平 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 24595B 面ABCD的垂线，垂足为H,连AH,在R△APH中，由AH>AB>PH,可得∠PAH<开：②当点P在上 底面A:BCD,上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为M,若∠PAM=于，必有PM=AM,又由PM= AB,有AM=AB,A,P=AB,此时点P的轨迹是以A,为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为 ×2xX2=:③当点P在侧面AA,D,D,AA:BB上时，点P在线段AB,AD上符合题意，此时点P的 轨迹长为4V2:由上知点P的轨迹长度为π十4√2，故C选项正确： 对于选项D.①当P在底面ABCD上时，点P的轨迹为以A为圆心.为半径的圆与底面ABCD的交线， 起圆与CD相交于点P,与BC交于点P,有cOs∠DAP北-45-号.可得∠DAn=30,∠PA 3 =30,则点P的轨迹与底面ABCD的交线长为需×2x×4=2,@当点P在侧面BB,CC上时， 3 B即=VAP-AB=√-4=2S,可得点P的轨迹与侧面B,CC的交线为以点B为圆心，2为半 径的四分之一圆，交线长为×2云×2=三由对称性可知，点P的轨迹长度为2×3+瓦×3= 3 3 9 3 55x,故D选项正确. 3 13.-7as=a1+4d=1+4×(-2)=-7. 14.3 从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有(2,4)，(2,5)，(2,7)，(4,5)，(4,7)，(5,7)， 共6个，所取2个数之和为9的基本事件有(2,7)，(4,5)，共2个，故所求概率P=2=号 = 63 15.-√3丽a·b=2k,a=√/13，lb=√+9，.co3120°= 2k 13×k2+9 16.x=2或3.x一4y十10=0①直线的斜率不存在时，x=2满足，②设切线方程为y一4=k(x-2),d 2-2→k-是y-4=(x-20,即3x-4+10=0, V+1 17.解：(1)，(an}是等差数列，.n=41十(n-3)d=一3n十5，……3分 令-3n+5=-12,得=号eN”-12不是数列1a.中的项。 …………………5分 令一3n十5=一58，得n=21,.一58是数列{a.）中的项，它是第21项.……7分 (2)a,=-3n+5a1=2,S.=n(2+5-3m2=-3m 7 2 …………………10分 18.解：)cosA=24·又a2-2-c2=c, ……2分 1 .'cos A=- 又0<A<元，A=2红 3 …6分 号csin A三csin2经bc,又S=23,b=2c图4，……9分 (2)S△A= .a2=十c2-2hcc0sA=28,故a=2√7.…12分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 24595B 18.解：1)在数列1a,中8=名+2，当0≥2时，8，=号a-1+ 分（-1），…2分 两式相减得a.=n十I, n=1时，S,=41=2符合此式， ∴.a。=n十1： 6分 (2)证明：由(1)知a.=n十1，则aa+2=n十3， …7分 ad+m+号(h) …10分 “n2+>0< …12分 20,解：(1)由题意知，F(号，0)，当Lr轴时，A,B两点的横坐标x= …2分 代入y2=2px得y2=p2,则|AB=2p=12, 解得p=6,……………… …4分 所以抛物线C的方程为y=12x:… 5分 (2)根据题意得，直线l的斜率存在，设A(x,y),B(x2,2),A,B两点都在y=12x上， 则有y=12x1,2=12xg,… 6分 y-=12(-),y-)十y=12.…8分 TI-x 又AB中点的纵坐标为3，则当坐=3y十=6… 2 10分 y业=1212=2，………………………7 x一xy十y26 直线1的斜率k=当二兰=2，点F(3.0).直线1的方程为：y=2(x一3)或2x一y一6=0.…12分 x1一x 21.1)证明：AB=2,BC=1,∠ABC=受 根据余弦定理得AC=√3，AB=AC十BC, CA⊥CB,… ………2分 以C点为坐标原点，CB,CA所在直线为x,y轴，经过C点垂直于CA,CB的直线为：轴，建立空间直角坐 标系， 则405.0.1o.0.06.E(o,号9)p(o,2,2)r号99》 …4分 ÷2-(0.29）.d=036).di=10.0…5分 2.币=2x5+x6=0,花.6成=0,6分 CP∩CB=C,AE⊥平面PBC:……7分 2)解市=(0，-，2)D=(分--)肪-=(-1，号.2) 设平面ADF的一个法向量为n=(x,y,x), 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 24595B AD.n=0. + 6=0 由 D.n=0 令=√2，则x=4v3,y=4,可得n=(2√3,4W2),…9分 6⑥ 6=0. 设平面BDF的一个法向量m=(a,b,c), 1 D亦.m=0, 2 6 6c=0, 由 BD.m=0 令c=1,得a=0,b=一√2，可得m=(0,一√2,1)，…11分 -a+号5+号6=0, ∴.lcos(m,n)|= m·nL=-42+2=⑤ mn V3×√30 所以平面ADF与平面BDF夹角的余弦值为气。 et+。t+++4t+t404+0t+t。040tt 12分 22.解：(1)设点A,B的坐标分别为(x1y),(y), 有x1十x2=2,y1十y2=1,… 1分 +=1 2 由点A,B在椭圆C上有 2+=1, 两式作差，有号（号-）十(0好-)=0. 3分 有(x4+)(x:-x1)十2(y2十y)(y一y)=0, 有2(x2一x1)十2(y归一y1)=0,… 4分 有当二出=一1，可得直线1的斜率为一1，… x2-x1 5分 可得直线1的方程为y一号=一(-D,整理为y=一x十 6分 (2)联立方程 消去y后整理为6.x2一12x十5=0，…………7分 3 y=-x+ 可得x1十=2，x1x= 6 8分 1AB=√2X(2-4x)= 23 3 10分 3 点O到直线1的距离为元 32 4· 11分 故△0AB的面积为×2×39- 12分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 24595B