青海省西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

大通县第二中学2023~2024学年第二学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：必修第二册第六章第八章8.5。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.设(a一i)i=b+2i(a,b∈R),则 A.a=2,b=1 B.a=2,b=-1 C.a=-2,b=-1 D.a=-2,b=1 2.在△ABC中，内角A,B.C所对的边分别为a,bc,若a=1,b=2,sinA=日，则sinB= A号 B吉 c 3.若|a=1,b=2,a-b|=3,则向量a与b的夹角为 A.30 B.60 C.120° D.150° 4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA'B'C', J 且OA'∥B'C',OA'=2B'C'=4,A'B'=2,则该平面图形的高为 A.2√2 B.2 C.4v2 D.√2 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=5:7:9,则cosC= A-需 B-清 c. 6.菱形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体为 A.由两个圆台组成 B.由一个圆锥和一个圆台组成 C.由两个圆锥组成 D.由两个棱台组成 【高一数学第1页（共4页）】 24605A 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b+c2=a十bc,cosB+cosC=2cosA,则 △ABC是 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰不等边三角形 D.直角三角形 8.已知P是△ABC所在平面内一点，若CB+λPB=APA+CP,其中入∈R,则点P一定在 A.AC边所在直线上 B.AB边所在直线上 C.BC边所在直线上 D.△ABC的内部 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.下列命题是假命题的是 A.|2-il=5 B.i2021 =i C.若a>b,则a+i>b+i D.若之∈C,则2≥0 10.下列说法不正确的是 A.若直线a,b不共面，则a,b为异面直线 B.若直线a∥平面a,则a与a内任何直线都平行 C.若直线a∥平面a,平面a∥平面B,则a∥3 D.如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,有如下判断，其中正确的判断是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB D.若cosA十cos2B一cosC>1,则△ABC是钝角三角形 12.如图所示，在正方体ABCD一A,B1CD,中，点E,F,M,N分别为所在棱上的中点，下列判 断不正确的是 A.直线AD∥平面MNE B.直线FC∥平面MNE C.平面A1BC∥平面MNE D D.平面ABD1∥平面MNE 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13,在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若A=于，B=号a=22,则6 14.已知i为虚数单位，实数x满足x一1十(x2一5x一6)i>0,则x 15.将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最 高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为 16.在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且AE⊥BD,若AE·AC=18,则|AE|= 【高一数学第2页（共4页）】 24605A 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知i是虚数单位，复数之=(m2一5m+6)+(m2一2m)i,m∈R. (1)当复数之为实数时，求m的值； (2)当复数z为纯虚数时，求m的值： 18.(本小题满分12分) 已知a=(一1,3)，b=(2,一4)，m=a一b,n=(k一1)a一2b.当k为何值时： (1)m∥n: (2)m⊥n. 19.(本小题满分12分) 如图，在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥AB,交线段BC于点 D,AD=DC.a=3,bsin C=asin A-bsin B-csin C. (1)求∠BAC: (2)求△ABC的面积： 【高一数学第3页（共4页）】 24605A 20.(本小题满分12分) 如图，直三棱柱ABC-A,B,C1内接于一个圆柱，AB=AC,BC为底面圆的直径，圆柱的体 积是2π，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积： (2)求三棱柱ABC-A1B,C1的体积. 21.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC,PA⊥平面ABCD,M,N分别为 PB,AD的中点. (1)证明：MN∥平面PCD; (2)若PA=AC=4,求点N到平面PBC的距离. 22.(本小题满分12分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足b(sinB一3cos2B)=一a(a+b),且 sin C=sin 2B. (1)求角B: (2)若△ABC的面积为2√3，求AC边上的中线长， 【高一数学第4页（共4页）】 24605A大通县第二中学2023~2024学年第二学期期中考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由题意，得ai+1=b十2i,则a=2,b=1.故选A. 2.B由正弦定理有nB-smA之文名 a 1-31 3.B由|a=1,b|=2,a-b=3,则a-b|2=a|2-2a·b+b|2=5-2a·b=3,即得a·b=1. 所以coab=日合=分所以a,b的夹角为0放选R 4.C在直角梯形OA'BC中，OA'∥BC',OA'=2BC=4,A'B'=2,则OC= √(4-2)+2=2√2，直角梯形OA'B'C'对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC, BC∥OA,(OC⊥OA,OA=2BC=4,OC=2OC'=4√2，所以该平面图形的高为4√2.故 选C 5.D由正弦定理有a:b:c=5:7:9,则cosC-598=向 2×5×7 6.C将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥.故选C. 7,A因为+2=d+bc,所以A=号，又因为cosB+cosC=2cosA=1, 且B+C=至，解得B=C=子，所以△ABC是等边三角形. 8.B因为C店-C市=(PA-P),所以P克=ABA,所以点P在AB边所在直线上. 9.CDg一i=√2十（一1）=√5，A正确，==i,B也正确，对于虚数不能比较大小，C错误，当x=i 时，x2=一1<0，所以D错误。 10.BCD 11.ACD在△ABC中，若A>B,则a>b. 则2 Rsin A>2 Rsin B,则sinA>sinB,故A项正确. '.'acos A=bcos B,.'sin Acos A=sin Bcos B. .sin2A=sin2B,.A=B或2A+2B=180°，即A+B=90°， ∴.△ABC为等腰或直角三角形，故B项不正确： 当△ABC为锐角三角形时，A+B>受，受>A>艺-B>0, ∴sinA>sin(乏-B)=cosB,可得sinA>cosB成立，故C项正确. 若cos2A+cos2B-cosC>1,则1-sinA+1-sinB-1十sin2C>1, 即sinC>sinB+sin2A,即c2>2十a,即c2-(十a2)>0,所以cosC<0, 即C为钝角，故△ABC是钝角三角形，故D项正确. 12.ABC过点M.N,E的截面如图所示(H,I,J均为中点)，所以直线AD与其相交于H 点，故A项错误：直线FC,与直线IJ在平面BCC,B,必定相交，故B项错误：直线AB 与直线EI相交，故平面A,BC与平面MNE不平行，C项错误：直线AB:∥直线EI,直 线AD∥直线MH,所以平面AB,D,∥平面MNE. 【高一数学参考答案第1页（共3页）】 24605A 182后因为AB所以6m b 2v2 sin A 2=23. 2 2 1x2-5x-6=0, 14.6由 >x=6. x-1≥0 15.号 设铁球的半径为，则圆柱的高为2，所以铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为 .2 产X2=3 16.3记AC门BD=O,又AE⊥BD,所以AE.Eò=0，所以A范.AC-A正.2AO=2A正.(AE+E0)= 2A产+2A正.Eò=2AE=18,解得|AE=3. 17.(1)当复数2为实数时，有m2一2m=0,m=0或m=2.…5分 [m2-5n+6=0 (2)当复数：为纯虚数时，有 ,解得m=3.… 10分 n2一2n≠0 18.解：m=（一1,3)一k(2,一4)=（一2k一1.4k十3）………2分 n=(k一1)(-1,3)-2(2，一4)=（一k-3,3k十5）…………4分 (1)若m∥n,有（一2k-1)(3k十5）=(-k-3)(4k十3)，整理为k一k一2=0 解得k=1或2；………………………………8分 (2)若m⊥n.有（一2k-1)(一k-3)十(4k十3）(3k十5)=0，整理为7k2+18k十9=0 解得：k=一9±3v 7 ,…12分 19.解：(1)由bsin C=asin A-bsin B-esin C, 根据正弦定理可得bc=a2一一c2,即2十c2一a=一bc,……2分 根据余弦定理可得coOs∠BAC=公十C一d=二c=一】 2bc 2 …………4分 2bc 因为∠BAC∈(0，x),所以∠BAC= 3； 6分 (2)因为AD⊥AB,且AD=DC,所以∠BAD=,则∠DAC=∠C=, 所以∠ADB=号，所以∠B=否. 分4“4 ……………8分 则由正孩定理可知=后×子 10分 2 故sar-2sin∠BAC-合X厅X原xsmg-39 44…404…………小…444…4…4…4444 4 12分 20.解：(1)设底面圆的直径为2r, 由题可知，圆柱的体积V=π2·2r=2元，解得r=1,……3分 因此圆柱的侧面积为S=2究rX2r=4π：……………6分 (2)因为△ABC是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长AB=√2，……9分 【高一数学参考答案第2页（共3页）】 24605A 所以三棱柱ABC-AB,C的体积V=(号×V2×)×2=2. …12分 21.(1)证明：如图，连接BD交AC于点O,连接OM,OV. 易知四边形ABCD是菱形，M,N分别为PB,AD的中点，所以OM∥PD,ON∥CD. 又OM吐平面PCD.ON过平面PCD,所以OM∥平面PCD,ON∥平面PCD. 因为OM∩ON=O,所以平面OMN∥平面PCD.…3分 又MNC平面OMN,所以MN∥平面PCD.………5分 B (2)解：因为AD∥BC,ADt平面PBC,BCC平面PBC, 所以AD∥平面PBC, 所以点N到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离。……………………7分 记N到平面PBC的距离为h:Sam-号×V4②)r-2X4=4V7, 又Vr=V则号X47X=号×4X号×4X4x …44…44444+…444…44…4…4…4…0 21 10分 解得h=4V2红 7 故点V到平面PBC的距离为4y②四 12分 7 22.解：(1)，sinC=sin2B,.sinC=2sinB·cosB, 由正弦定理得C=2bC0SB,……………………………2分 (sin B-3cos2 B)=-a(ab),(1-4cos'B)=-a2-ab, 又由c=2cosB,得2=4 eoB,公(1-后）=-a2-ab,a2+-2=-ah,…4分 由余弦定理得oC=+∠=-之，又：CE(0,x,∴C=经 2ab 3 由simC=m2B,sm要=sm2B,Be(0,晋）得2Be(0.号）2B=号，B=吾 ……6分 (2)由1D得B-音A=吾，C-答，5m-之anC-2原，9=25u=2,h=22=2,6, ……9分 设AC的中点为D,则AD=号AC=2, 在△ABD中，由余弦定理得BD=VAD+AB一2AD·AB·osA=√2+24-2X2×2W6× 2 =M, 所以AC边上的中线长为小耳，…………………………12分 【高一数学参考答案第3页（共3页）】 24605A