贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

智成中学2023~2024学年度高一下学期第二次月考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4,考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知复数：-5i十(2一i),则之在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列说法不正确的是 A.圆柱的轴截面是矩形 B.圆锥的轴截面是等腰三角形 C.所有空间几何体都是多面体 D.有些三棱锥的四个面都是直角三角形 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=1,B=否，则c- A.3 B.2 C.1或2 D.2或v3 4.菱形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体为 A,由两个圆台组成 B.由一个圆锥和一个圆台组成 C.由两个圆锥组成 D.由两个棱台组成 5.已知平面向量a,b满足a=b=1,且a十2b=√3，则a,b的夹角为 A哥 B哥 c D.等 6.若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为 A B号 9 C.3元 D. 4元 【高一数学第1页（共4页）】 24582A 7.平面内顺次连接A(1,1),B(2,0),C(0,一2)，D(一2,0)所组成的图形是 A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对 8.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB,小胡同学先在塔 的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进 140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是 A.70米 B.80米 C.90米 D.100米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数x=2一i,为之的共轭复数，则下列各选项正确的是 A.之是虚数 B.z的虚部为一i C. D.|z·|z=5 10.如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列结论正确的是 A.BD-BF=AC BB币+B=B成 C.F元.FA=FA D.AC在AB上的投影向量为AB 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=2√3，且b+c2一12=bc,则下列 说法正确的是 A.A=哥 B.△ABC面积的最大值为3y3 2 C.若D为边BC的中点，则AD的最大值为3 D.若△ABC为锐角三角形，则其周长的取值范围为(6十2√3,6√3] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数之=(m2一3m十2)十(m2+3m一10)i是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值 为 13.如图，三棱台ABC-A,B,C,的上、下底边长之比为1：3，三棱锥 C-ABC的体积为V,四棱锥B,-ACCA,的体积为V,则号=队 14.在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且AE⊥BD,若AE.AC=18,则|A= 【高一数学第2页（共4页）】 24582A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知复数之满足x十之=2，z2=一2i. (1)求复数； (2)求复数的实部和虚部. 16.(本小题满分15分)》 如图，直三棱柱ABC-A,BC1内接于一个圆柱，AB=AC,BC为底面圆的直径，圆柱的体 积是2π，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积： (2)求三棱柱ABC-A,BC1的体积. 17.(本小题满分15分) △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin B十3 bcos A=3c. (1)求B: (2)若△ABC的面积为3b=7a>C,求a 【高一数学第3页（共4页）】 24582A 18.(本小题满分17分) 已知向量a=(2,一1)，b=(1,4). (1)求2a-b的值： (2)求向量a十2b与a一b夹角的余弦值. 19.(本小题满分17分) 在平面四边形ABCD中(B,D在AC的两侧)，AD=CD=1,∠ADC=120°. I若∠DAB=90,BC=3Y号，求∠ABC, (2)若AB=2BC,求四边形ABCD的面积的最大值. 【高一数学第4页（共4页）】 24582A智成中学20232024学年度高一下学期第二次月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A5i+(2-i)=5i+4-4i-1=3+i.故选A. 2.C因为旋转体不是多面体，所以C项不正确. a.C由余弦定理得c0sB=+忙-号，化简得-3十2=0，解出c=1或2故选C 2ac 4.C将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥.故选C. 5.Da+2b1=5,∴.|a+2b12=3,a2+4a·b+4b=3,设a,b夹角为0,1+4cos0+4-3,cos0= 2,又 :0E[0,]0=经故选D. 6,A由题可知，该圆维的底面半径为号，底面周长为2×元×号=3x,因此，该圆维表面积为x×(受）广十号× 3nX3=27 元. 7.B因为AB=(1,-1),DC=(2.-2),BC=(-2,-2),DA=(3,1),则DC=2AB,AB⊥BC,CD⊥BC, BC≠AD,所以四边形ABCD为直角梯形.故选B. 8.A设塔AB的高度为h,在Rt△ABC中，因为∠ACB=45°，所以BC=h:在Rt△ABD中，因为∠ADB= 30°，所以BD=√3h:在△BCD中，∠BCD=60°，BC=h,BD=√3h,根据余弦定理可得BD=BC十CD- 2BC·CDc0s60,即(W3h)=+140-2h×140×号，解得A=70或h=-140(舍去).故选A 9.AD因为*=2一i,所以z=2十i, A选项中，由于x=2一i虚部不为0，所以之是虚数，A正确： B选项中，=2十i的虚部为1，B错误： C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误； D选项中，=√2+1=√5，=√2十（一1）2=√5，.·=5，D正确.故选AD 10.ABC因为ABCDEF为正六边形，即每个内角都为120°. 对于A,BD-BF-FD=AC,故A正确： 对于B,△BDF为等边三角形，设正六边形边长为a,DF中点为M,连接AM,则 DF=5,BE=2a,BM=号a,所以2BM=号BE=3a,即D+萨=2威i- 号成，故B正确： 对于C,易知∠FAC=90°，FC.FA=|FC|·|FA|cos∠AFC-1FC12-FAF,故C正确： 对于D,根据投影向量的定义，AC在AB上的投影向量为AC,故D不正确.故选ABC 1,ACD由题意可知8十C一12=十2-。=c,利用余弦定理得cA=公+4-之，因为A∈ 2bc 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 24582A (0,),所以A=号，故A正确： 由上述可知△ABC的面积S=号esin A-k,且易知公+e-12=k≥2k一12，解出12>，当且仅当 =(=25时取等号，此时S==3原，故B精误： 在△ABD和△ACD中对∠ADB和∠ADC利用余弦定理，B2BDAD世=-CDA”AAC,化简 2BD·AD 后有AD=3+会，由上述知，c的最大值为2.因此AD最大为3，故C正确： b 利用正弦定理，sin B-sin C-sinA=4,则6=4sinB,c=4sinC,于是△ABC的周长L=2y3+4sinB十 0<B<受 4sinC=25+45sim(B+若)，由于是镜角三角形，因此 解出吾<B<受，则L∈(6+25,63]，故 0C<， D正确.故选ACD. m2-3m+2=0,m=1或m=2, 12.1 则m=1. m2+3m-10≠0m≠2且m≠-5， 13.2 由三棱台ABC-ABC的上、下底边长之比为1：3，可得上、下底面的面积比为1：9，设 三棱台ABC-A:BC的高为h,则点C到平面ABC的距离也为h,上底面面积为S,则下底面面积为9S, V 子s动 V 1 所以VArA作 子(S+9S+V9S·5)h =3所以安VmA6-V3-72 14.3记ACn BD=O,又AE⊥BD,所以AE·E0=0,所以A正·AC=AE,2Aò=2A正，(A正+E0)= 2A+2AE.E0=2A产=18，解得1A1=3. 15.解：(1)设之=a十bi,a∈R,b∈R,可得交=a一i…1分 由之十交=a十i十ai=2a=2,可得a=1,… 2分 又由g2=(1十bi)9=1一方十2bi和2=一2i……5分 1-b=0, 有 可得=1，…………7分 2b=-2. 由上知=1i…8分 (2)由=1-i,有=(1一i)=[(1-i)3]=(-2i)2=-4, 12分 可知复数之的实部为一4，虚部为0.………………13分 16.解：(1)设底面圆的直径为2r, 由题可知，圆柱的体积V=r2·2r=2x,解得r=1,………………4分 因此圆柱的侧面积为S=2行rX2r=4r:…………8分 (2)因为△ABC是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长AB=√2，…1门分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 24582A 所以三棱柱ABC-A,B,C的体积V=(号×巨×区)×2=2. …15分 17.解：(1)由已知asin B+√3 bcos A=√3c, 结合正弦定理得sin Asin B+√3 sin Bcos A=√3sinC, 所以sin Asin B+√3 sin Bcos A=√3sin(A十B)=√3(sin Acos B+sin Bcos A),…3分 即sin Asin B=3 sin Acos B,亦即tanB=√3，……………5分 因为B∈(0，x),所以B=受 …7分 2)由SAc=与acsin B,B=受，得经ac=3,即ac=6,…… =(a+c)2-2ac-2accos B,(7):=(a+c)2-2ac-ac, 12分 [ae=6 a=3 所以 又a>c, 15分 a+c=5 c=2 18.解：(1)，a=(2,-1),b=(1,4), .2a=(4,-2),… ……3分 2a-b=(3,一6)， .|2a-b=√9十36=3W5:… …7分 (2)设a+2b与a-b的夹角为0，则cos0=a+2b·a-b (a+2b)(a-b】 …9分 a十2b=(4,7),a十2b=65,……12分 a-b=(1,一5)，a-b=√26， …14分 os0=4,74,-2=-31==31 √65X26 1310130 六向量a+2b与a-b夹角的余弦值为二31西 130 ……………17分 19.解：(1)在△DAC中，由余弦定理得AC=DA2+DC-2DA·DCeos,∠ADC=3,即AC=√3. 因为AD=CD=1,∠ADC=120°，所以∠DAC=30°， 又∠DAB=90°，所以∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°.…3分 在△ABC中，由正项定理得inZABC一sinBAC' AC BC 所以n∠ABC=ACsn∠BAC_5x9 2 BC ,…7分 32 又BC=3y5=AC,所以∠ABC<60°，所以∠ABC=45,…8分 (2)设BC=m(m>0),所以BA=2m. 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 24582A 在△ABC中，由余弦定理得co∠ABC=BA士BC-AC=m2十4m2-3=5m-3 2BA·BC Am 4n2 所以△ABC的面积5=号BA,BCin∠ABC-之m·2mV厂()=√9(-号）+16， 小小……13分 所以S=1,此时m2=号， ……14分 又△DAC的面积Sae=DA·DCsin∠ADC-5., 4· 所以四边形ABCD的面积的最大值为S十SAc=1+ 4 …17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 24582A