贵州省黔南州都匀市民族中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023~2024学年都匀市民族中学高二第二学期半期考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必第三册第六章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知直线l:3mx-(5-2m)y-3=0的倾斜角为受，则m= A司 B.0 c D. 5 2.已知函数f(x)在x=xo处的导数为3，则lim f(x+△x)-fo） Ar-+0 2△.x B.3 C.6 D. 3.双曲线号-y=1的渐近线方程为 A.y=士2.x B.y=士√2x 停， D.y=±V3x 4.已知函数f(x)=(x2一3)e,则f(x)的极小值点为 A.-3 B.1 C.6e-3 D.-2e 5.函数图象连续的函数y=f(x)在区间[a,b]上 A.一定存在极小值 B.一定存在极大值 C.一定存在最大值 D.极小值一定比极大值小 6.如图，一圆形信号灯分成A,B,C,D四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯 D 带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜 色，则不同的信号总数为 A.18 B.24 C.30 D.42 【高二数学第1页（共4页）】 24590B 7.等比数列{a,}的前n项和S,=a·3”-2b,则号-b= A.-2 C.0 D. 3 8.若函数fx)=2a2-nx在区间（号，2）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 A.(9,+∞) B(,+∞ C.(-o∞，9) D.(-∞，4） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=(.x2一5.x+7)e,则函数f(x)在下列区间上单调递增的有 A.(-o∞，1) B.(1,2) C.(2,+o∞) D.(1,+∞) 10.下列说法正确的是 A.若x1<x2,则x1一x2<sinx1一sinx2 B.若x1<x2,则x1一x2>sinx1一sinx2 C.若e<x1<x2,则x2lnt1<xlnr2 D.若e<x1<x2,则x2lnx1>x1lnxg 11.在平面直角坐标系xOy中，过直线x十y一2=0上任一点P作圆O:x2+y=1的两条切 线，切点分别为A,B,则 A.当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为(1,1) B.IPA|的取值范围为[1，十∞) C.∠APB不可能为钝角 D.当△PAB为等边三角形时，点P的坐标为(2,0) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转， 则从甲地去丙地可选择的出行方式有 种。 13.函数f(x)的导函数f(x)满足关系式f(x)=2xf(1)一lnx,则f(x)= 14.已知点A,B是椭圆G:后+若-1(a>6>0)上的两点，且直线AB拾好平分圆x+y=R (R>0),M为椭圆G上与A,B不重合的一点，且直线MA,MB的斜率之积为一号，则椭圆 G的离心率为 【高二数学第2页（共4页）】 24590B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知二项式(2一√x)”的展开式中共有10项 (1)求展开式的第5项的二项式系数： (2)求展开式中含x的项. 16.(本小题满分15分) 已知等差数列{am}的前n项和为Sm,a2=3,Ss=5. (1)求数列{a.}的通项公式： (2)设bn=am一3°，求数列{bn}的前n项和T 17.(本小题满分15分) 已知抛物线y=6.x,过点A(4,1)作一条直线交抛物线于B,C两点，且点A为线段BC 的中点 (1)求线段BC所在的直线方程. (2)求线段BC的长. 【高二数学第3页（共4页）】 24590B 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC,AB=2BC=2CD=4,∠BCD=60°，PB⊥AD. (1)求证：平面PBD⊥平面ABCD: (2)若PB=PD,点F满足C=2成，且三棱锥F-ABD的体积为4，求平面DBF与平 面PAD的夹角的余弦值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(.x)=a(e-1)-工(a≠0). (1)若a=1,证明：f(x)≥0： (2若Y0,十∈0，十o)≠)，都有二>号，求实数a的取值 xi-x3 范围. 【高二数学第4页（共4页）】 24590B2023~2024学年都匀市民族中学高二第二学期半期考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D由题意知5一2m=0,解得m=号.故选D. 2.A:函数f在r=五处的导数为3∴一十-是.故选A 3r*0 2△x 3.C双曲线的方程为写-=1，所以渐近线方程为y=士停，故选C 4.Bf(x)=2xe+（x2-3)e=(x2+2x-3)e=(x+3)(x-1)e,令f(x)=0解得x=-3或x=1,令 f(x)>0,解得x<-3或x>1,令f(x)<0,解得-3<x<1,所以f(x)在(-∞，一3)上单调递增，在（一3,1） 上单调递减，在(1，十)上单调递增，所以f(x)的极小值点为1.故选B. 5.C由函数的最值与极值的概念可知，y=f(x)在[a,b们上一定存在最大值.故选C. 6.A由A,B不同色，共有A种涂色方法，若D和B同色，则C有C种涂色方法：若D与B不同色，则C只 有1种涂色方法，故不同的信号总数为A(C十1)=18.故选A. 7.CS=a·3"-2h,当n=1时，a1=3a-2h,当n=2时，a1十a2=9a-2h,故a:=6a,当n=3时，a1十ag十as= 27a一26.从而a:=18,由于a.是等比数列.放(6a)=(3u-26)·18a,解得a=2h,号-6=“≥2当=0.故 2 选C. 8.C由x)=ar2-lnx,可得f()=ar- ①当a≤0时，了(x)<0,此时函数f(x)单调递减， @当>0时，令f=0.可得后此时函数的流区间为0，后)增区间为（后·十）只需号<启 得0<a<9.由上可知a<9.故选C. 9.AC因为f(x)的定义域为R.f'(.x)=(x2-5x十7+2x-5)e-(x2-3x十2)e=(x-1)(x-2)e,所以在 区间(-oo,1).(2,十∞)上，f(x)>0,f(x)递增.故选AC. 10.AD令f(x)=x-sinx,则f(x)=1一cosx≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，所以x- sinx1<tg一sinx2,即x1一x:<sinx1一sinx,故A正确，B错误： 令g(r)=血，所以gx)=1-nI<0在(e,十o)上恒成立，所以gr在(e,+oo)上单调递减，所以当 e<x<x时，g(x1)>g(x2),即xlnx1>x1lnx2,故C错误，D正确.故选AD. 11.ABC对于选项A,由图可知A选项正确： 对于选项B,由AP=VOP-OA=VOP-,由1OP1m=号=区，可得1AP≥1，故B选项正确： 对于选项C,由选项B可知∠OPA≤文，可得∠APB<≤文，故C选项正确： 对于选项D.当△APB为等边三角形时，IOP|=2,设点P的坐标为(a,2-a),有√a+(2一a)严=2，解得 a=0或2，可得点P的坐标为(0,2)或(2,0)，故选项D错误. 12.12由分步计数乘法原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有3×4=12（种）. 13,2x-lnx由f)=2xf1)-1n,得f(x)=2f(2)-,令x=1.则f)=2f1)-1→f1)=1.放 【高二数学参考答案第1页（共3页）】 24590B f(x)=2x-In x. +4=1 14.气设A,M).依题意有 两式相减得二运=一听一运」 +- 因直段AB恰好平分圆x2+y=R(R>0),则B(一，一y), 于是得直线1B的丰之积为产·头子票产=一号=言解得号- 3 所以精圆G的离心率为：-√。-√吾- a 3 15.解：(1)因为二项式(2一√E)”的展开式中共有10项，所以n=9,……3分 所以展开式的第5项的二项式系数为C=126:……………6分 (2)(2-√元)的展开式的通项公式为T+1=C·2×(一√F)=(一1)·2·C·x立，…10分 令专=4可得=8，所以展开式中含的项为工=2Cx=18r.…13分 a1+d=3, |41=5, 16.解：(1)设{am}公差为d,由a2=3,S=5得， 解得 ………5分 d=-2, 故4=5-2(n1)=7-2n:……………………8分 (2)由bn=am-3"得bm=7-2n一3"， 10分 放T.=S.-303”)=m×5+n,D×(-2)-3 3+号=-+6m-3” 3 1-3 2 2 2 .…15分 17.解：(1)设点B(),点C(3,y). B,C在抛物线上，∴y=6x1=6x2 …2分 两式相减，得(y1十2)（片一y2)=6(一）.… 4分 “y+边=2，k=当一业=6 =3,………6分 一x2M十出 ∴.直线的方程为y-1-3(x一4)，即3x一y一11=0：… ………8分 y2=6x (2)由 得y2-2y-22=0,……………10分 y=3x-11, y十y=2,y·y为=-22，…… ………12分 BC=√1+号V2-4x(-2g-20 ……15分 3 18.(1)证明：由题意知△BCD为等边三角形，所以AB=2BD=4,又AB∥DC,所以∠ABD=60°， 在△ABD中，由余弦定理得AD=AB+BD-2AB·BDeos∠ABD=4+22-2X4X2X 2 =12, 所以AD十BD=AB,所以ADBD,……………3分 又PB⊥AD,PB∩BD=B,PB,BDC平而PBD,所以AD⊥平面PBD,……6分 又ADC平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD:… ……7分 (2)解：取BD的中点O,连接PO,CO,所以OC⊥BD,又PB=PD,所以PO⊥BD, 又平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,POC平面PBD, 则PO⊥平面ABCD,即PO是三棱锥P-ABD的高. 因为点F满足C=2币.所以Vm=号Vm=号×宁sm·P0-=号×号×2X25×P0-, 3 【高二数学参考答案第2页（共3页）】 24590B 解得PO=3. 9分 又OCC平面ABCD,所以PO⊥OC. 以点O为坐标原点，OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,x轴建立空间直角 坐标系，如图所示.所以A(-1,一2,0)，B(1,0,0),C(0√，0)， D(-1,0,0).P(0,0,3.F(0,5,2）小所以萨=（-1，，2），D成 (2,0,0)Ai=(0,23,0).Dp-(1,0,3),… ……12分 n·AD=23为=0， 设平面PAD的一个法向量为n=(n”名)，所以 n.D币=n+3=0. 令x1=3,解得y1=0,1=一1，所以平面PAD的一个法向量为n=(3,0,一1). …14分 设平面BDF的一个法向量为m=(x,y2,),则 …F=-+停+2=0， m·DB=2.x2=0, 令y=6,解得x2=0,2=一√3，所以平面BDF的一个法向量为m=(0,6,一√3).…16分 设平面DBF与平面PAD的夹角的大小为0.所以os0=|os(n:m)|=T·m√0X√丽 n·m= 3 ,即平面DBF与平面PAD的夹角的余弦值为D, 130 130· 17分 19.(1)证明：若a=1,f(x)=e-1-x,f(x)=e-1,令f(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0, 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，……3分 所以f(x)n=(0)=0,…4分 所以f(x)≥0；…… 5分 （2)解：不妨设0<<，所以u二>之，即)-<)-， xi-ri 所以)一之在(0，十o∞)上单调递增，… …7分 令g）=)-2g(）=ae-->≥0在0，+o)上恒成立，…8分 h(r)=g'(r),h'(x)=ae"-1. 当a<0时，h(x)<0在(0，十∞)上恒成立，又h(-号）=ae寸<0，不符合题意：…10分 当0<a<1时，令(x)>0,解得x>ln合，令'(x)<0,解得0<r<n a 所以(x)在(0，n)上单调递减，在(n子，+∞)上单调递增。 所以Am=A(n占)=1-ln合一合=ha一合+1≥0，解得。≥1.此种情况无解…1分 当a≥1时，：n(r)=ae-1>e-1=0,h(r)在(0，十oo)上单调递增，h(x)>h(0)=4-1≥0， h(x)=g(x)≥0在(0，十o0)上恒成立，…16分 综上所述的取值范围为[1，十∞).…………17分 【高二数学参考答案第3页（共3页）】 24590B