广西贺州市昭平中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

昭平中学2024年春季学期高一年级第二次月考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设(a-i)i=b+2i(a,b∈R),则 A.a=2,b=1 B.a=2,b=-1 C.a=-2,b=-1 D.a=-2,b=1 2.已知向量a-3,b-2,它们的夹角为石，则a+b= A.10 B.10 C.√13 D.13 3.某学校有高中学生960人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为280,320,360. 为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的 样本，那么应抽取高一年级学生的人数为 A.70 B.80 C.90 D.100 4.若直线1⊥平面α，则下列说法正确的是 A.I仅垂直平面a内的一条直线 B.l仅垂直平面α内与l相交的直线 C.l仅垂直平面a内的两条直线 D.【与平面a内的任意一条直线垂直 5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的 周长是 A.16 B.12 C.4+8√2 D.4+4√2 6.已知样本数据x1·x2,…,x15的平均数为8，方差为32，由这组数据得到新样本数据y1,y2,·, ys,其中y=3.x:十1(i=1,2,…,15),则得到的新样本数据的平均数和方差分别是 A.24,4v6 B.24,96 C.25,288 D.25,12√2 【高一数学第1页（共4页）】 24621A 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=22,b=4,A-否，则此三角形 A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 8.如图所示，在正方体ABCD一A1BC1D1中，E,F分别为AA1,AB上的中 D 点，且EF=3,P点是正方形ABBA内的动点，若CP∥平面CD,EF, B 则P点的轨迹长度为 A.2W3 B.3π B C.3 D.π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知i为虚数单位，复数1=1十2i,=2一i,则 A.1的共轭复数为一1十2i B.1|=|2 C.1十2为实数 D.·在复平面内对应的点在第一象限 10.已知a,3是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是 A.如果m⊥n,m⊥a,n∥3，那么a⊥3 B.如果m⊥a,n∥a,那么m⊥n C.如果a∥B,mCa,那么m∥B D.如果m∥n,a∥B,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等 11.如图为清代官员夏日所用官帽、凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式.材料多为藤、竹制 成.外裹绫罗，多用白色，也有用湖色、黄色等.不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和 帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量.现有一个官帽，帽坡长20cm,帽底宽20√3cm, 关于此官帽，下面说法正确的是 A.官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120 B.过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为100√3c C.若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600πcm D.此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为(203一0)cm 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知i是虚数单位，复数x满足千；2-，则复数：的模为 13.已知平面向量a,b满足|a=2,1b|=√3，且(a十b)⊥b,则向量a与b 的夹角为 14.一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的 四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的 预制件需要 立方米混凝土（钢筋体积略去不计）， 【高一数学第2页（共4页）】 24621A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足3 bsin A=5 asin Bcos C. (1)求cosC的值： (2)若B=开，求的值. 16.(本小题满分15分) 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了 搬书 师 100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质0， 量的重要指标)，将所得到的数据分成7组： [5,10),[10,15),，[15,20),[20,25),[25,30), [30,35),[35,40](棉花纤维的长度均在 0.02 [5,40]内)，绘制得到如图所示的频率分布直方图. 0.01 (1)求a的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均 数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）： J0152025303510knm (2)估计棉花纤维的长度的75%分位数. 17.(本小题满分15分)》 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E,F分别为棱PC,AB的中点. (1)求证：EF∥平面APD: (2)设平面PAD∩平面PBC=l,求证：l∥平面ABCD. 【高一数学第3页（共4页）】 24621A 18.(本小题满分17分) 如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时5km的速度向东进行长跑训 练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市25km,且与海岸距离为15km的海上B处有一 艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员。 (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ 北 (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角. 19.(本小题满分17分)》 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2.M是棱PD上一 点，且CM=2W3,AM⊥平面PCD (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD; (2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值. 【高一数学第4页（共4页）】 24621A昭平中学2024年春季学期高一年级第二次月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由题意，得ai+1=b十2i,则a=2,b=1.故选A. 2.C因为向量a=5,b=2,它们的夹角为否，所以a·b=a·1bcos吾=3， 所以|a+b1=√/(a+b)=√a+2a·b+b=√3+3X2+4=√13.故选C. 3.A根据题意得，应抽取商一年级学生的人数为240×=70，故选A 4.D若直线l⊥平面a,则1与平面α内的任意一条直线都垂直 5.A易知原图形是平行四边形，其底边长2，高为2×2√2=4√区，另一边长为√2+(4√瓦)2=6，所以原图形 的周长为2×(2+6)=16. 6.C设样本数据x1·2,…,x的方差为s,新样本数据的方差为后，因为3少=3x,十1(i=1,2,…,15),所以新 样本数据的平均数y=3x十1=3×8十1=25，新样本数据的方差为号=3s号=9×32=288.故选C. 7.C由正弦定理a 治平品B解得血B=号 因为a<b,所以A<B. 又因为BE(0,x),所以B=于或B=3红 故此三角形有两解.故选C, 8.C如图所示，作CG∥DE交BB:于点G,作CH∥CF交A:B于点H,连接HG, :CH∩CG=C,CG∥DE,CH∥CF,.平面CGH∥平面CDEF,又，P点是A 正方形ABB1A,内的动点，∴.点P在线段HG上，即轨迹HG=EF=√. 9.BD因为=1十2i的共轭复数为=1一2i,所以A不正确： 因为1|=√+2=√5,2|=√2十（一1）严=√5，所以B正确： 因为1+2=1+2i+2-i=3+i,所以C不正确： 因为·2=(1十2i)(2一i)=4十3i,点的坐标(4,3)在第一象限，所以D正确. 10.BCD对于A,可运用长方体举反例证明其错误，如图， 不妨设AA'为直线m,CD为直线n,四边形ABCD所在的平面为a,四边形ABCD D' 所在的平面为B,显然这些直线和平面满足题目条件，但a⊥3不成立： B正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面a相交于直线l,则l∥n,由m⊥a 知m⊥l,从而m⊥n; 由平面与平面平行的定义知，如果a∥3，mCa,那么m∥3，C正确： 由平行的传递性及线面角的定义知，如果m∥n,a∥3，那么n与a所成的角和n与B所成的角相等，D 正确. 故选BCD. 1.ACD知图所示msC=1-号，cE(o,受)∠C=30,∠B=0∠A 20 120,所以A是正确的：S=号·Psin0=号×40sin0=20sin0<20,所以最大面 积应为200，所以B是错误的；设外接球的球心为O,则OA=OB=R,R=(10W3) 十(10一R)2,R=20,可见球心在AD延长线上，S=4πR=4x·400=1600x,所以C 正确：设O是内切球的球心，则OE=OB,∠O)BD=15°，BD=10√3，得到最大半径为(20√3一30)cm,所以 【高一数学参考答案第1页（共3页）】 24621A D是正确的. 12.空由=2-i,有=2-+1+2.可得-1D=1+2,有==-4--得+得±9 i-1 1一i (1+i)(1-i) =-生31名-多.可得1= 2 2 13.150°由(a+b)⊥b,得(a+b)·b=0,即a·b十b=0, -3-- 因为a=2,b1=3,所以a·b=-3,所以cos<a,b>=a×625 2· 所以向量a与b的夹角为150. 14.324将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.所以S帐=6×11 之×(5十3)×3=54（平方米），所以该预制件的体积V=S·A=54X6=324(立方米).故浇制一个这样 的预制件需要约324立方米的混凝土. 15.解：(1)由正弦定理有3 sin Asin B=5 sin Asin Bcos C… …3分 因为sinA>0,sinB>0,可得cosC= 5； ………6分 (2)由知，sinC=sinA=sn(xC）-竖(cosc叶sim0=7 10 …10分 72 故有4=in410_7② c sin C ……………13分 4 8· 16.解：(1)由频率分布直方图知(0.01十0.02十0.05十0.06+a+0.01十0.01)×5=1，解得a=0.04.…3分 最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为0空=22.5(mm.………6分 平均数x=7.5×0.05+12.5×0.1+17.5×0.25+22.5×0.3+27.5×0.2+32.5×0.05+37.5×0.05= 21.75(mm):………………………………10分 (2)设棉花纤维的长度的75%分位数为xmm, 所以0.1+301X0.2=0.25,解得x=26.25(mm）.… 5 15分 17.证明：(1)取PD的中点M,连接ME,AM, 因为M,E分别为PD,PC的中点， 所以ME/CD,且ME=之CD,… 3 分 又因为F为AB的中点，所以AF=号AB, 在平行四边形ABCD中，有AB LCD, 则ME业AF,… ……………6分 所以四边形AFEM为平行四边形，所以EF∥AM, 又因为EF吐平面PAD,AMC平面PAD,所以EF∥平面PAD:…9分 (2)在平行四边形ABCD中，有BC∥AD, 因为BC中平面PAD,AD平面PAD,所以BC∥平面PAD,…12分 又因为平面PAD∩平面PBC=I,BCC面PBC,所以BC∥I, 又因为￠平面ABCD,BCC平面ABCD,所以I∥平面ABCD. +4…+…++…t…04t440 15分 18.解：设小艇以vkm/h的速度从B处出发，沿BC方向，th后与运动员在C处相遇，过B作AC的垂线BD, 则BD=15,AD=20,在△ABC中，AB=25,AC=,BC=,则sn∠BAC-船-号o∠BAC-台.“ ………4分 【高一数学参考答案第2页（共3页）】 24621A 由余弦定理，得BC=AC+AB-2AB·ACcos.∠BAC, 即r=(60)+25-2X25×50×号. 整理得=625200十25=625(}-+9.…7分 当}=若脚1=孕时，f取得最小值9，即=3(km/b, 所以小艇至少以3km/h的速度行驶才能追上这位运动员。…………9分 (2)当o=3km/h时， 在△ABC中，AB=25,AC=5×空=15，BC=3×华-空， 4 44 12分 由余弦定理，得cos∠ABC=AB+BC-AC 25+(2)-5) 4 2AB·BC 0,…15分 2×25×写 所以∠ABC=90°， 所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°，……………17分 19.(1)证明：在矩形ABCD中，所以AC=√+2=2√5， ,AM⊥平面PCD,CMC平面PCD,PDC平面PCD,.AM⊥CM,AM⊥PD,…2分 ∴.AM=√(25)2-(25)2=2√2， 在△PAD中，，PA=AD=4,AM⊥PD,∴.M为PD中点，PD=2MD=2×W4-(22)°=4√2， .PA2十AD=PD,即PA⊥AD,… …5分 又AB⊥AD,AB∩AP=A,BAC平面PAB,PAC平面PAB, DL平面PAB,……… …7分 又ADC平面ABCD,.平面PAB⊥平面ABCD: 8分 ￥：由(1)知，S6w=号AM·MC=26,… ,AM⊥平面PCD,CDC平面PCD,∴.AM⊥CD,又CD⊥AD,AD∩AM=A,AD,AMC平面PAD, .CD⊥平面PAD.又CD∥AB,.AB⊥平面PAD,又PAC平面PAD,∴.AB⊥PA. ,PA⊥AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,PAC平面PAB, ÷PAL平面ABCD,由1)知M为PD中点，所以M到平面ABCD距离为号AP=2,…13分 设D到平面ACW的距离为h,由V=Vm…即号×26A-子×号X4X2X2.解得h=25 3 h=6 设直线CD与平面ACM所成的角为0，则sin0=CD=3· ………17分 【高一数学参考答案第3页（共3页）】 24621A