甘肃省定西市临洮县文峰中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

临冰县文峰中学2023~2024学年度第二学期高二期中考试 学 全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷,草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答;字体工整,笔迹清楚。 4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容:湘教版选择性必修第二册第一章~第二章。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知点A(一3,1,一4),则点A关于x轴对称的点的坐标为 A.(3,1,4) B.(-3,-1,-4) C.(-3,-1,4) D.(3,-1,-4) 2.函数图象连续的函数y一f(x)在区间a,6上 A.一定存在极小值 B.一定存在极大值 C.一定存在最大值 D.极小值一定比极大值小 3.设点M(1,-1,3),A(-2,0,4),O(0,0,0).若OM-AB,则点B的坐标为 B.(-1,-1,7) C.(1,0.2) A.(1,0,-2) D.(3,-2,0) 4.下图是函数f(x)的导函数f(x)的图象,则函数v三f(x)的图象可能为 ######## B C D 5.如图所示,在平行六面体ABCD一A.BCD中,点E为上底面对角 线AC的中点,若BE-AA+xAB+yAD,则 2 2 【高二数学第1页(共4页)】 24584B A.(-2,3) B.(-,-2)U(3,十oo) C.(3,十o) D.(0,3) 7.在直三校柱ABC-A.B C 中, ABC=90*,BC=2,AB=CC =1,则直线A. C与平面 ABC.所成角的正弦值为 # 17 C.# D#7 B.() D.(-~) A.(9,十o) C.(一,9) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知向量a-(1,2,x),b-(2,y,1),若al-3,a b,则x十y A.-2 B.1 C一1 D.0 10.如图是导函数y三f(x)的图象,则下列说法正确的是 A.函数一f(x)在区间(1,3)上单调递减 B.函数y一f(x)在区间(一co,0)上单调递减 _f(x) C. 函数一f(x)在x一1处取得极大值 D.函数v一f(x)在x一一2处取得极小值 A./(c)的极值点为(1,-) C.f(x)有两个零点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 2 13.若直线/的一个方向向量与平面a的一个法向量的夹角为,则直线/与平面。所成的角为 14.若关于x的不等式axe-x-lnx0对任意x(0,十)恒成立,则实数a的最小值 【高二数学 第2页(共4页) 24584B 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=x}十ax^②}+bx十c在点P(0,一2)处的切线斜率为-1,且在x-1处取得 极值. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当x一1,2时,求函数f(x)的最值 16.(本小题满分15分) 如图,在四校锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB 平面PAD,E是AD的中点, △PAD为等腰直角三角形,DPAP,PA-2AB. (1)求证:PEBD: (2)求PC与平面PBE所成角的正弦值 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)-lnx-a(x+1)+2(aER) (2)若三x(0,十oo),使得f(x)二0,求实数a的取值范围 【高二数学 第3页(共4页)】 24584B 18.(本小题满分17分) 如图,在四梭锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD/BC,ABIAD,PA 底面 ABCD,且 PA-/②AB= 2BC,AD-2BC,E,F分别为PB,PC中点. (1)证明:EF/平面PAD; (2)求平面AEF与平面PBC所成角的正弦值 19.(本小题满分17分) 1 已知函数f(x)一 (1)若a一1,求函数f(x)的单调区间; (2)证明:函数v一f(x)一2a至多有一个零点 【高二数学 第4页(共4页)】 24584B临冰县文峰中学2023~2024学年度第二学期高二期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C 2.C 由函数的最值与极值的概念可知,v三/(x)在[a,6上一定存在最大值,故选C (叶2-1. 1=-1. 3.B 设B(r,y,),则AB-(x十2,y,x-4),而OM-(1.-1,3),则OM-AB,有 -4-3 -7. B(-1,-1,7).故选B. 4.A 导函数的正负决定原函数的增减,由导数图象知,原函数的单调性是递减、递增、递减,符合此规律的只 有A. 5.AB-BA+AA+AE--AB+AA+(AB+AD)--AB+A+AB+A-- A+AB..,--. 6.D 函数的定义域是(0,+o),/(c)-1--1(x+2)(x-3) 。 令/(c)<0,解得0<x<3.故函数/(x)-x+-1nx在(0.3)上单调递减,故选D. 1 7.A 因为三校柱ABC一A.B.C 是直三校柱,且 ABC一90{*},所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所 在直线为y轴、BB;所在直线为:轴建立空间直角坐标系,如图所示.因为BC一2,AB一CC.三1,所以A(1. 0,0),A(1,0,1).B(0,0.1),C(0.2,0),C.(0,2,1). 故AC-(-1.2.-1).AC-(-1,2,1).BC-(0.2.0). _C 设n一(x,y,z)为平面ABC的一个法向量 [nA_0 /-x十2y十-0 则 令-1,得:-1..n-(1,0.1) cosA:C-n lAC||nlv6xv2 3) 3. ①当a<0时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减, 得0a9.由上可知a9.故选C. 9.AD.a=1+4+r=3,.x=士2,又'.alb,.a·b-2+2y+r=0. 当x--2时y-0,则x十y=-2,当x-2时y=-2,则x十y-0 10.ACDA. 因为/(x)<0在(1,3)上成立,所以(1,3)是y三f(x)的单调递减区间,故正确; 【高二数学参考答案 第1页(共4页)】 24584B B.因为当-2<x<0时,/(x)0,当x -2时,/(x)<0,所以y=/(x)在(-,0)上不单调,故错误 C.因为当-2<x1时,/(x)0,当1<x3时,/(x)<0,函数y=f(x)在x=1处取得极大值,故正确 D.因为当x<-2时,/(x)<0,当一2<x 1时,f(x)>0,所以函数y-f(x)在x=-2处取得极小值,故 正确,故选ACD. 12.3 因为直线/的一方向向量与平面a的一个法向量的夹角为,所以直线/与平面a所成的角为哥. 2e ',令一:e(r0),可 ln令g(ci)一! 得二 )2 2 { 15.解:(1)由/(x)-3r十2ax十b. (/(0)-,--2. 根据题意可得/(0)一b一-1. .......................................................分 /'(1)-3+2a+b-0. 解得a--1,b--1,c--2, 所以.........................................分 (2)由(1)知/(c)-3r-2x-1. 令/(r)-(3r十1)(r-1)-0. 解得:一一 .................................... 8分 当e[-1.-)时,f(x)>0./(c)为增函数, 当xe(,1)时,f(x)<o.(c)为减函数, 当xE(1,2时,/(x)>0.f(x)为增函数. 所以 ....).....)............................................................. 1.分 16.(1)证明,.AB 平面PAD.PEC平面PAD .'.PE.AB................................. 又.△PAD是等腰直角三角形,E是斜边AD的中点. 'PE...........................................................................4分... 【高二数学参考答案 第2页(共4页)】 24584B 又.ADC平面ABCD,ABC平面ABCD,ABOAD=A. 2 .PE1平面ABCD, .............................................分 ..BDC平面ABCD. ..PE. ... ..................................................................... 7分 (2)解:如图以E为原点,EP,EA所在的直线为x轴,v轴,在平面ABCD内,通 过E点作AD的垂线为;输,建立空间直角坐标系E一xyx; 不妨设PA-2,则P(1.0.0),B(0.1,1),C(0.-1.1),则PC-(-1.-1.1). EB-(0.1,1)E-(1.0.0). ........................ 9分 设平面PBE的法向量为n一(x,y,z). .E.n--0. E.-:-0, 取y-1,则--1, 故n=(0,1,-1)为平面PBE的一个法向量, ..................................................................... 12分 设PC与平面PBE所成的角为9,则sin- n·PC 又y-在[-,e]上单调递减,所以a<士,即实数a的取值范用是(-co,] ........................6分 -Inr十2 ...................... 1(十1)-(In:十2) 1-lnx-1 ,r r1 (计1) 又u(1)=0,所以当0 x 1时,(x)>0.即h'(x)0,当x>1时,(x) 0,即h(x) 0. 所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,十oo)上单调递减,所以h(x)一h(1)=1, ............... 所以a<1,即实数a的取值范围是(一o,1. .................................. 18.解:(1)证明:因为E,F分别为PB,PC中点,所以EF//BC. 在直角样形..B......为.D./..所以./.F..........................................3分. 文因为ADC平面PAD,EF亡平面PAD 所以EF/平面PAD; .............................................................................................6分 (2)以(AB,AD,AP)为x,y.:的正半轴,建立空间直角坐标系,设AB-2, 则B(2.0,0),C(2,2.0),P(0,0,2②),所以E(1.0.v②),F(1,1.②). 所以AE-(1,0.v2),AF-(1,1②),PC=(2.2.-22),PB-(2.0.-22),.... .........................................................................................9分 n.AE-+v2-0. 设平面AEF的法向量为m一(x,y,zi),则 ln.A-++v2-0. 第3页(共4页)】 【高二数学参考答案 24584B 取x-②....-1.0.即 n(2....-.. ......................................................... 12分 [n.PC-2x:+2y-2v2。-0. 设平面PBC的法向量为n一(x,y,z:),则 n.PD-2x-2v2-0. 取-②,则x-2,v-0,即n-(2,0.②). ......................... 设平面AEF与平面PBC所成角为0. 则cosol-mn_ ................. m.n 2+1·4十2 令 (x)=0,解得x=-1或x=3.当x(-,-1)U(3,+co)时,r(x)0;当x(-1,3)时,f(x 0.故f(x)在(一o,-1).(3,十)上单调递增,在(-1.3)上单调递减........................................8分 -3a-0. ............... .. 设g()-__* r2十3x+3 一3. 调递增. 故g(r)至多有一个零点,从而y一/(x)一2a至多有一个零点. ............................ 【高二数学参考答案 第4页(共4页)】 24584B