甘肃省环县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

环县一中20232024学年度第二学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章，第三章，第四章4.1~4.4.1。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数x满足x十2z=3十4i(i是虚数单位)，则之= A.1-4i B.6-4i C.6-2i D.3-2i 2.已知向量a=5,b=2,它们的夹角为，则a+b= A.10 B.√10 C.13 D.13 3.下列命题正确的是 A.三点确定一个平面 B.四条首尾相连的线段确定一个平面 C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D.空间两两相交的三条直线在同一平面内 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,ca=6,A=号，则△ABC外接圆的面积为 A.4 B.12x C.16π D.48π 5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=BC=CD=3AD,点E为线 段CD的中点，点F是线段BC上的一点，且FC=5BF,则FE= A号BC+B时 B号BC+号B所 C号BC+B D.1BC+2BA B 【高一数学第1页（共4页）】 24569A 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=ccos B,则△ABC为 A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7.已知虚数之是关于x的方程x2一2.x十a=0(a∈R)的一个根，且z=√7，则a A.3 B.2 C.4 D.7 8.如图，A城气象台测得台风中心从A城正西方向600千米的B上 处以每小时10√6千米的速度向北偏东45°的BF方向移动，距台 风中心200√6千米的范围内为受台风影响的区域，若A城受到这 次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时长为 A.10小时 B.20小时 C.20√3小时 D.10√3小时 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知A∈平面a,B:平面a,则下列说法错误的是 A.平面a内所有的直线与直线AB异面 B.平面a内存在一条直线与直线AB平行 C.平面α内存在无数条直线与直线AB相交 D.有且只有一个过直线AB的平面与平面a平行 10.已知≈为复数，下列说法正确的是 A.若∈R,则∈R B.若g2∈R,则z∈R C.若x-1+3i>0,则>1一31 D.= 11.已知向量a=(3,一4)，b=(cos0,sin0),则下列结论正确的是 A.b=1 B若a/b,则sin20-猎 C.若1a+b=a-b1,则tan20=24 D.a一b的取值范围为[4,6] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数之满足(3一2i)x=4一7i(i为虚数单位)，则z= 13.如图，四边形OA'B'C是梯形OABC的直观图，四边形OA'B'C'是等 腰梯形，且OA'=2B'C'=4,∠CO'A'=45°，则梯形OABC的周 长为 14.已知向量a,b,c满足a=b|=2,若对任意的实数x,都有O a+b<a+b,则|c-一a+c-b的最小值为 【高一数学第2页（共4页）】 24569A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知m∈R,复数g=-m2+6m-8十(m2一7m十12)i(i是虚数单位). (1)若≈是纯虚数，求m的值； (2)若之在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围： 16.(本小题满分15分) 已知向量a=(-4,2),b=(1,一4) (1)若(a-3b)⊥(aa十b),求入的值： (2)若c=(3一2，一)，向量a十b与c的夹角为锐角，求4的取值范围. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bccos C+c2 bcos B=ab十ac2一a3 (1)求A; (2)若b十c=2,求a的最小值. 【高一数学第3页（共4页）】 24569A 18.(本小题满分17分) 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，E,F分别为棱PC,AB的中点. (1)求证：EF∥平面APD: (2)设平面PAD∩平面PBC=l,求证：L∥平面ABCD. 19.(本小题满分17分) 如图，在△ABC中，点P满足PC=2BP,O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB,AC 分别交于点E,F」 1若矿-AC.求铝的值： 2)若=A花a>0).式-正(>0)，求+力的最小值. 【高一数学第4页（共4页）】 24569A环县一中2023~2024学年度第二学期期中考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A设x=a+i(a,b∈R),所以x+2z=a+bi+2(a-i)=3a-bi=3+4i,所以a=1,b=一4，所以x=1- 4i.故选A 2.C因为向量a=3,b=2,它们的夹角为看，所以a·b=a·bcos看=3 所以|a+b|=√(a+b)F=√a+2a·b+b=√3+3X2+4=√13.故选C. 3.C如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误： 如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误； 两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一 个平面内，故这三条直线在同一平面内，故C正确： 空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选C, 4B设△A8C外接园的率径为R,2R=后后后，解得R=2后，△A8C外接圆的面积为12，放法 2 5.BF=F心+C正-BC+=吾BC+号(+AD)=BC+2(B-BC+}BC)=BC+ Bi故选B 6.A因为beos C=ccos B,由正弦定理得sin Bcos C=sin Ccos B,所以sin(B-C)=0,B=C.故选A. 7.D法一：设g=m十ni(m,n∈R,n≠0)，x2=(m十i)2=m2-n2+2mi,x2-2x十a=m2-n2+2mi-2m 2i+a=(m2-n2-2m十a)+(2mn-2n)i=0, m2-n2-2m十a=0, fm=1, 2nn一2n=0, 则 →2=6， n≠0， a=7. =√m+m=√7 法二：由(x-1)=1-a,可知a>1且x=1土√a-1i,又由z|=√7，有√1+a-1=√7，解得a=7.故选D. 8.B台风中心从B处开始移动t小时，移动的距离为10W61千米， 则台凤中心移动：小时时离A城的距离为√60心+(10、5)-2X60X10v石×号。 若A城受到这次台风的影响，期√60+105)-2×600×1061×号<20,6. 得-20V31+200≤0，解得10√3-10≤1≤103+10， 所以A城遭受这次影响的时长为10√3+10-(10√5-10)=20小时.故选B. 9.ABD当平面a内的直线过点A时，该直线与直线AB相交，故A错误：假设平面a内存在一条直线与直线 AB相互平行，则该直线与直线AB共面，显然不成立，故B错误：A∈平面a,因此不平行，故D错误.故 选ABD. 10.AD设=a十i(a,b∈R.由-a十0-而。千衣a千F为实数，得=0，所以：=a∈R,故 a一b A正确：若x=i,则x2=一1∈R,故B错误：复数不能比较大小，故C错误：设x=a十bi(a,b∈R),则交= (a十bi)(a-bi)=a2十，|=a+b,故D正确.故选AD. 11.ACD对于A,|b|=sim0+cos0=1,故A正确： 【高一数学参考答案第1页（共3页）】 24569A 3,sin20= 对于B,由a∥b,得(3，-4)=A(cos0,sin0),即3sin0=-4cosa,tan0=-号， 2sin Ocos 0 sin0cos20 8 2tan 0 3 tan0++1 +1 器放B指误： 9 对于C.由|a十b=a-b,得(a十b)=(a-b)2,a|+2a·b+|b=|a|2-2a·b+|b|2,3sin0 6 4cosA=0.可得tan0=4tan20=g=7,故C正确： 9 110 对于D,|a-b=√(cos0-3)+(sin0+4)=√8sin0-6cos0+26∈[4,6]，故D正确.故选ACD. 12后因为8-20=4-所以：-得8+器-258-2-所以1=后 13 13.22+23+6因为四边形OAB'C'是等腰梯形，且0A'=2B'C'=4,∠C'O'A'=45,所以OC'=2,所 以OA=4,OC=2√2，CB=2,且OC⊥OA,所以AB=2V5,梯形OABC的周长为2√2+4+2+2√3=22+ 23+6. 14.4因为a+b≤a+b,所以(a+b)≤(a+)对任意的实数x恒成立.即4r+2a·hc 号-号a:b≥0，所以4=(2a:b)-4X4(-合-号ab）=4(a:b+号)厂<0，所以ab=-子所以 |c-a+1c-b1≥c-a-(c-b)1=1b-a=√6-2b·a+a-45,当且仅当c-a与c-b反向时 3 等号成立，即c-a+|c-b的最小值为4y5 3 (m2+6m一8=0，，m=2或m=4, 15.解：(1)因为z是纯虚数，所以 ……4分 m2-7m+12≠0m≠4且m≠3， 解得m=2;……………6分 -m2+6m-8>0, (2<m<4, (2)在复平面内。对应的点为（一m2十6m一8，m2一7m+12),由题意可得 m2-7m+12<0 3<m<4, 11分 解得3<m<4,即n的取值范围是(3,4).……13分 16.解：(1)因为a=(-4,2),b=(1,-4),所以a-3b=(-4,2)-3×(1.一4)=(-7,14)， 0十b=入（一4,2）十(1，一4)=（一4入十1,2入一4），………4分 又(a-3b)⊥(a十b),所以(a-3b)·(a十b)=-7(1-4x)+14(2入-4)=0，即56λ=63，…6分 8. (2)因为a=(-4,2),b=(1,-4), 所以a+b=(一3，一2). -3(3-2)-2(-4)>0, 又向量a十b与c的夹角为锐角，所以 …12分 -3(-)+2(3-2)≠0， 解得号且≠号，即：的取值范围是(-©，专)U(告，号)： …15分 17.解：(1)bccos C+c2 bcos B=a(b十2-a2)=a·2bcc0sA…4分 →beos C-+ccos B=2 acos A,即sin Bcos C.+sin Ccos B=2 sin Acos A,…8分 即sinA=2 sin Ace0sA→c0sA=7→A=60:…10分 【高一数学参考答案第2页（共3页）】 24569A (2)由余孩定理有。=+2-c=(b叶e)-36≥6叶02-3…（生）=1，…14分 当且仅当b=c=1时取等号，故的最小值为1.……………………15分 18.证明：(1)取PD的中点M,连接ME,AM, 因为M,E分别为PD,PC的中点， 所以ME∥CD,且ME-CD,…. 3分 又因为F为AB的中点，所以AF=号AB, 在平行四边形ABCD中，有AB LCD,则ME LAF,… 6分 所以四边形AFEM为平行四边形，所以EF∥AM, 又因为EF士平面PAD,AMC平面PAD,所以EF∥平面PAD: 9分 (2)在平行四边形ABCD中，有BC∥AD, 因为BC丈平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD, 12分 又因为平面PAD∩平面PBC=l,BCC面PBC,所以BC∥I, 又因为I吐平面ABCD,BCC平面ABCD,所以I∥平面ABCD. 17分 19,解：(1)因为P心=2驴.所以A护=AB+B丽=AB+BC-AB+号(Bi+A衣)=号AB+号A心，…2分 因为0是线段AP的中点，所以Aò=号A户=A店+。AC, 4分 设不店=r店，则有0=号正+号花，… …6分 因为C.0.E三点共线，所以号十日=1.… …7分 解得=受.甲AE-号AB.所以EB=号AB,所以能-号： …9分 (2)因为AB=AE+E第=A它+AA它=(1十A)A它，同理可得AC=(1+)A京， 由可知A0-号市=号A店+日A心，所以ò-1字+1中应. …12分 因为E,0.F三点共线，所以生+1片=1，即2以十4=3. 6 …13分 所以+号（侵+）以+)-号(3+片+)≥号(+2√层·)-+2 3 …16分 当且仅当一@.即=3巨-3以=6一2时取等号.所以片+的最小值为3+号2 2 3 …17分 【高一数学参考答案第3页（共3页）】 24569A