甘肃省环县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

环县一中20232024学年度第二学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第一章，第四章，选择性必修第二册第一章 一第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知函数f(x)在x=xo处的导数为3，则li f(xo+△x)-fxo) 2△x A.3 C.6 D号 2.已知等比数列(a.的公比为4，则十a士a的值为 a2+a4十a6 A.4 D.16 3.设f(x)=a.x3十x,若f'(-1)=4,则a= A.1 B.-2 C.3 D.-1 4.已知向量a=(1,一4,3)，b=(2,4x,y十1)分别是直线l1,l2的一个方向向量，若l∥l2,则x +y= A.-3 B.-4 C.3 D.4 5.已知等差数列{a.}的前n项和为Sm,且S=4,S8=10,则S2= A.16 B.18 C.24 D.26 6.对任意实数x,有x=an十a1(x十2)十a2(x十2)2+a8(x+2)3十a(x十2)'，则a。十a1的值为 A.-20 B.-16 C.22 D.30 【高二数学第1页（共4页）】 24569B 7.设点P是函数f(x)=e一√x图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值 范围是 A[,) B.[o,)U(x) c(受，) D.[o,受)U[x 8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，EF是正方体ABCD-A,BCD,外接球的直 径，点P是正方体ABCD-A,B,CD,表面上的一点，则PE·PF的取值范围是 A.[-2,0] B.[-1,0] C.[0,1] D.[0,2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若C1=C3,则m的值可以是 A.3 B.4 C.5 D.6 10.已知{an}为等差数列，满足2as一a=3,{bn}为等比数列，满足b=1,b,=4,则下列说法正 确的是 A.数列{a.}的首项为1 B.a2=3 C.b.=16 D.数列{bn}的公比为士2 11.下列说法正确的是 A.若x1<x2,则x1一x2<sinx1一sin r2 B.若x1<x2,则x1一x2>sinx1一sinx2 C.若e<x1<x2,则x2lnx1<x1lnx2 D.若e<x1<x2,则x2lnx1>xlnx 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)=x3f(1)-4lnx+2,则f(2)= 13.在数列{a,}中a,=5,a,=10.若日为等差数列，则ae= 14.如图，已知正方体ABCD-A:B,C1D1的棱长为4，M,N,G分别是棱 G B AA,BC,AD,的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若MQ=xM心+1， yMN(x,y∈R),则点Q的轨迹围成图形的面积是 :MG.MQ 的最大值为 .(本题第一空2分，第二空3分) 【高二数学第2页（共4页）】 24569B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 16.(本小题满分15分)》 已知函数f(x)=x3+ax2十bx十c在点P(0,一2)处的切线斜率为一1，且在x=1处取得 极值. (1)求函数f(x)的解析式： (2)当x∈[一1,2]时，求函数f(x)的最值. 17.(本小题满分15分) 已知等差数列{am}的其前n项和为S.,2a2十a6=27,Ss=40. (1)求{am}的通项公式； (2)若，=。，求数列b}的前n项和T anu+1 【高二数学第3页（共4页）】 24569B 18.(本小题满分17分) 如图，在直三校柱ABC-A,B,C中，AA,=AB=AC=号BC,D为B,C的中点，E为AA 的中点 (1)求证：DE∥平面ABC: (2)求直线DE与平面EB,C1所成角的正弦值. * B 19.(本小题满分17分)》 已知函数fx)=2r2+alnx-x(aeR). (1)若f(x)恰有两个极值点，求实数a的取值范围： (2)若f(x)的两个极值点分别为x1,x,证明：f(x1)十f(x2)<8ln2一12. 【高二数学第4页（共4页）】 24569B环县一中2023~2024学年度第二学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1,B:函数在=处的苹数为3∴m十2/=号故选B 2△x 2.A因为等比数列a,的公比为4，所以4@十a十4a=4.故选A a:十a:+a5 3.Af(x)=3a.z2+1,f(-1)=3a十1=4，解得a=1.故选A. 4.C因为4/，所以号-与-生解得x=-2y=5,所以x+y=3.故选C 5.B因为{a.)是等差数列，所以S,,S一S4,S:-S。也是等差数列，所以2(S一S,)=S2一S。十S,即2× (10-4)=S12一10十4，解得S2=18.故选B. 6.B因为x=[(.x+2)-2]',所以a。十a1=(-2)+C×(-2)3=16-32=-16,故选B. 7.B(x)=e一√3>一√3，：点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,∴.tana>一√3. “a∈[0，x),∴a∈[0，受)U(x)故选B 8.A记正方体ABCD-A,B,CD,的外接球的球心为O.易得OE=号√2+2+2=尽，且POE[1w5], 所以Pi.P亦-(P0+OE)·(P0+O亦)=(P0+OE)·(P0-O元)=P心-O-P心-3∈[-2,0]，放 选A. 9.BC因为C=C罗8，所以m+1=2m一3或m十1十2m一3=13，解得m=4或5.故选BC. 10.BCD设{am}的公差为d,由2a-a1=3,得2(a1+4d)一(a1+2)=3,a1十6d=a?=3,a不确定，A错误， B正确；，b=1.b=4,∴.g=4,q=士2，b=bg=16,∴.C正确，D正确.故选BCD. 1l.AD令f(x)=x一sinx,则f(x)=1一cosx≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，所以x sinx1<x2一sinx2,即x1一<sin1一sine,故A正确，B错误： 令g(x)=D工，所以g(r)=-h工<0在(e,十o∞)上恒成立，所以gr)在(e,十o∞)上单调递减，所以当 e<<r时，g(x)>g(x),即xln>xlnx2,故C错误，D正确.故选AD. 12.18-n2由题意知fx)=3rf1)-,令x=1,得f(1)=31)-4,解得f1)=2,所以r =2.x3-4lnx+2,所以f(2)=2×28-4n2+2=18-4ln2. 13.-30 设位}的公差为1，所以3d日士=0一吉=一六·所以=一前所以品-品+4d=。+4 ×(一0)-0所以a=-30, 14.12312M夜=xMG+yMN(x,y∈R).∴.点Q在平面MGN上， 分别取AB,CC,CD,的中点E,F,O,则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG, 因为正方体ABCD-A1B,C:D的棱长为4， 所以正六边形OFNEMG的边长为2√2， 所以点Q的轨迹围成图形的面积是S=6×号×22×22×sin60°-123， 由投影分析M店.M夜≤22×26·cos30°=12.M店.MQ的最大值为12. 【高二数学参考答案第1页（共3页）】 24569B 15.解：(1)第一个节目是小品节目的排法有A:A=360(种)： …6分 (2)将3个唱歌节日进行捆绑，与其他3个节目形成4个元素，然后进行全排，则排法种数为AA!=144. ……13分 16.解：(1)由f(x)=3.x2十2ax十b,…………………1s分 f(0)=c=-2, 根据题意可得f(0)一b=一1， ……4分 f(1)=3+2a+b=0, 解得=-1，b=一1，C=一2，………7分 所以f(x)=江-2-江-2；……8分 (2)由(1)知/(x)=3x2-2x-1,令f(x)=(3.x+1)(x-1)=0, 解得x=一 10分 江=1， 当xe[-1.-子)时，f)>0fx)为增函数， 当xe(号1)时，fx)<0x)为减函数， 当x∈(1,2]时，f'(x)>0,f(x)为增函数， 13分 又-1)=-3=-32)=0(-专)）=-7-号+号-2=-号 所以f(x)n=-3,f(x)mx=0.…15分 17.解：(1)设等差数列{a.}的公差为d,因为2a2十d=27,S=40, 2a2+a4=2(a1+d)十a1+5d=3a1+7d=27, 所以 s=5a,+5X4d-5a,+10d=40. …………4分 2 a=2, 解得 ……0…4………4……4…4……4…………4…………“………6分 d=3, 所以am=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1: 7分 2油1么8n-8n+2万号（点n十2） 10分 所以工.=么+6++6=号[（合-吉）+（合-号）+…+()]-号（号-动） 6n+4' …15分 18.(1)证明：不妨设AA1=2,则AB=AC=2,BC=2√2， 所以AC十AB=BC,所以AC⊥AB,即AC⊥AB,…2分 在直三棱柱ABC-A1BC,中，AA,⊥平面A1B,C, 又AC,ABC平面A1BC,所以AA1⊥AB,AA⊥AC,… ……4分 以点A1为坐标原点，A1A,A,B,A,C所在直线分别为xy,之轴建立 空间直角坐标系，如图所示，所以A,(0,0,0),A(2,0,0),E(1,0,0), C(2,0,2),B(0,2,0),所以D(1,1,1),所以ED=(0,1,1),易得平 面ABC的一个法向量为A1A=(2,0,0), …6分 又A1A.DE=(2,0,0)·(0,1,1)=0,又DEt平面ABC,所以DE∥平面ABC；…8分 【高二数学参考答案第2页（共3页）】 24569B (2)解：因为C(0,0,2),所以EC=(-1,0,2).EB,=(-1,2.0), n.EC=-x+2=0, 设平面EB,C1的一个法向量为n=(x,y,z),所以 n·EB=-x+2y=0. 令r=2,解得y=1,=1,所以平面EBC的一个法向量为n=(2,1,1),…14分 设直线DE与平面EB,C,所成角的大小为O. 所以sin0=1cos(n,E市1=，n·Ei 2 3 |n·ED]②X6 3 即直线DE与平面EB,G所成角的正弦值为气。 …e4+4…44444*44444044…44404…444…4044t 17分 19.1)解：f()=x十a(仁-1)=二2十-0在0，十co)上恰有两个不同的解，…1分 h(0)=a>0. 令h(x)=x2-ar十a,所以 2>0… ……………3分 △=(-a)2-4a>0, 解得a>4,即实数a的取值范围是(4.十∞)：…… …5分 (2)证明：由(1)知x,x2是方程x2一a.x十a=0的两个不同的根，所以x1十x=a,.x1x2=a,…7分 所以f)+f)=立对+an-x)+号号+an-)=十)严-看-a国十)十 aln(ra)=Ia aa十alna=alha2aa,0>4,… 令g()=hx-r-r>4g)=nx- 令u(x)=g(x),4'(x)=1-1=1二<0在(4，+o)上恒成立， 所以(x)在(4，十∞)上单调递减，即g'(x)在(4，十∞)上单调递减， 所以g(x)<g(4)=n4一4<0，所以g(.x)在(4，十∞)上单调递减，……14分 所以g)<g4)=4n4-7×4-4=8n2-12. 所以f(x1)十f(x)<8ln2-12.… 17分 【高二数学参考答案第3页（共3页）】 24569B