甘肃省皋兰县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

皋兰一中2023~2024学年度第二学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5,本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第六章，必修第二册第一章一第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若(x十3i)2是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数x= A.士3 B.士1 C.-1 D.3 2.cos43°cos13°+sin43°sin13°= A司 号 c D.cos 57 3.已知a=2,b在a上的投影为行则a·b A B.- C.-3 2 n号 4.小王为了了解现在人们的网购途径，随机对1000名市民进行走访 唯品会 调查，统计结果如图所示，下列表述错误的是 京乐的城 15.5% 式他州% A.m=7.0 32% B.这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为545人 淘浆网 45.5%. C.这1000名市民中，通过其他方式购物的人数超过100人 D.这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物的人数多165人 5.已知向量a=(2,一1)，b=(k,2).若a∥b,则k= A.-1 B.1 C.-4 D.4 【高一数学第1页（共4页）】 24564A 6.在△ABC中，AB=√7，AC=2,C=120°，则sinA= A B.②I 14 c D.321 14 7.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB,小胡同学先在塔 的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进 140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是 A.70米 B.80米 C.90米 D.100米 8.已知cose+v3sina=号，则cos(2a+5) A易 &品 c-易 D易 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.为了了解参加运动会的1500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动员的年龄进行调 查，则下列说法正确的是 A.1500名运动员的年龄是总体 B.抽取到的150名运动员是样本 C.这个抽样方法可以采取随机数表法抽样 D.每个运动员被抽到的机会相等 10.已知i为虚数单位，复数x=1十2i,2=2一i,则 A.1的共轭复数为一1+2i B.11=|2 C.十2为实数 D.≈·2在复平面内对应的点在第一象限 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=60°，c=2,a=1.74,则△ABC只有一解 C.若tanA=分，则△ABC为直角三角形 D.cos A+cos B+cos C>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.A,B两班共100人，现采取分层随机抽样的方法抽取10人的样本进行问卷调查，若样本中 有4人来自A班，则B班的人数为 13已知sine十c0sa-号，则sin2a的值为 14.已知向量AB=(2,3),BC=(2m,5),CD=(3,-1),若A,B,D三点共线，则m= 【高一数学第2页（共4页）】 24564A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 设a是实数，复数x1=1+2i,2=(a+i)(1一2i)(i是虚数单位). (1)若在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围： (2)求1十2的最小值 16.(本小题满分15分) 已知向量a=(2,一1)，b=(1,4). (1)求12a-b的值： (2)求向量a十2b与a一b夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分)》 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是 棉花质量的重要指标)，将所得到的数据分成7组：[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)， [25,30),[30,35),[35,40](棉花纤维的长度均在[5,40]内)，绘制得到如图所示的频率分 布直方图. (1)求α的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均 领率 0.06F 数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）： 0.05 (2)估计棉花纤维的长度的75%分位数. 0,02 0.01 10152025303510长1gm 【高一数学第3页（共4页）】 24564A 18.(本小题满分17分) 已知<a<受c0sa=一青，角B的终边过点P(7,3). 3x 4 a)求sina+要)的值： (2)求tan(2a-3)的值. 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-4=sinC-siA c sin B+sin A' (1)求角B: (2)若△ABC为锐角三角形，AC=2,D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围. 【高一数学第4页（共4页）】 24564A皋兰一中2023~2024学年度第二学期期中考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A本题考查纯虚数.(x十3i)2-x2-9+6.xi,,(x十3i)2是纯虚数，.x=土3. 2.C6ms43cws13+sin43sin13=0s(43”-139）=6os30=g,故选C 3a.D因为a=2,b在a上的投影为行，可得9。=言所以a6=号a=合×2=号，放选D 4.C对于A选项：1一32%-15.5%一45.5%=7%，m=7.0,A正确：B选项中，1000×(1一45.5%)=545（人）， 所以B正确：C选项中，，m=7,.1000×7%=70(人)，70<100，所以C错误：D选项中，1000×(32%一 15.5%)=165(人)，D正确. 5.C因为a∥b,所以2×2+k=0,即k=一4. 6.BAB=√7，AC=2,C=120°， ∴.由余弦定理AB=BC十AC-2BC·ACeos C可得：BC+2BC-3=0, 解得：BC=1,或一3（舍去）， 由正弦定理可得：mA-BCC-要放选B 7.A设塔AB的高度为h,在Rt△ABC中，因为∠ACB=45°，所以BC=h:在Rt△ABD中，因为∠ADB 30,所以BD=V3h:在△BCD中，∠BCD=60°，BC=h,BD=√3h,根据余弦定理可得BD=BC十CD一 2BC·CDc0s60,即(3h)2=+1402-2h×140×号，解得M=70或方=-140（舍去）.故选A 8.Dosa+5sina=2sin(a+若)=号，则sin(a+若）=0，则cos(2a+5)=cos[2(a+吾)]-1 2sin(a+吾）-品故选D. 9.BD1500名运动员是总体，故A错误：抽取到的150名运动员是样本，故B正确：随机数表法常常用于总体 的个体较少时，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机数表法产生的代 表性不合理，故C错误：在简单的随机抽样时，每个运动员被抽到的机会是相等的，故D正确.故选BD, 10.BD因为1=1十2i的共轭复数为=1一2i,所以A不正确： 因为||=√/+2=√5，|=√2+(-1)严=√5，所以B正确： 因为名1+e=1+2i+2一i=3十i,所以C不正确： 因为·2=(1十2)(2-i)=4十3i,点的坐标(4,3)在第一象限，所以D正确。 1l.AD对于A选项，由A>B,有a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,故A选项正确： 对于B选项，由v3<1.74<2,可知△ABC有两解，可知B选项错误： 对于C选项，由anA=分，得sinA=sin Btan A,有cosA=sinB,可得A+B=受或B=受十A,可知C选 项错误： 对于D选项，若△ABC为锐角三角形或直角三角形，有cosA+cosB+cosC>0:若△ABC为钝角三角形， 不妨设C为钝角，有cosC<0,cosA>0,cosB>0,有cosA+cosB+cosC>cosA+cosC=c0sA一cos(A 十B)=cosA一cos Acos B十sin Asin B>cosA(1一cosB)>0,可知D选项正确.故选AD. 12.60人 10-4×100=60(人). 10 【高一数学参考答案第1页（共3页）】 24564A 1.-号sina+cose=号(sina+=1+2aina·osa=1+sin2a=合dn2a=-号 9 14.-石由Bi=B心+Ci=(2m+3,4),又A,B,D三点共线，得8-3(2m+3)=0,解得m=-令 6 15.解：(1)=(a十i)(1-2i)=a十2十(1-2a)i,…2分 a+2<0, 则1-2a>0: 解得a<一2；……6分 (2)1=1十2i,则1=1一2i,81十2=a十3-(2a十1)i,…………8分 ∴.x1十2|=√/(a+3)2十(2a+1)产=5a+10a十10=√5(a十1)2十5，…11分 当a=一1时，密1十2的最小值为5.…………13分 16.解：(1)a=(2,-1),b=(1,4), 2=(4,一2)，………3分 2a-b=(3,-6), |2a-b=√9+36=3wW5:… …7分 (a+2b)(a-b) (2)设a+2b与a-b的夹角为0，则cos0-a+2b,a- ………9分 0十2b=(4,7),a十2b=√65，… 11分 a-b=(1,一5)，a-b=√26，… 13分 cos0=4,7)·1.-5)=-31 -3110 √65X√2613√10 130 向量a+2b与a-b夹角的余弦值为二31而 130 …15分 17.解：(1)由频率分布直方图知(0.01十0.02+0.05十0.06+a+0.01+0.01)×5=1,解得a=0.04.…4分 最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为2025=2.5(mm.…6分 2 平均数x=7.5×0.05+12.5×0.1+17.5×0.25+22.5×0.3+27.5×0.2+32.5×0.05+37.5×0.05= 21.75(mm)………10分 (2)设棉花纤维的长度的75%分位数为xmm, 所以0.1+30-I×0.2=0.25,解得x=26.25(mm).… 15分 5 4 18.解：(1)因为元<a3cosa=。, …2分 所以sina=-V1-cosa=一√1-( 4 )2=3 … …5分 所以sin(a+2)=-sin acos兰 3 ………8分 3 10 (2)油三角函数的定义可得1am=号，又1ama=。-子， 10分 2X- 3 由倍角公式可得am2a一m。1-(子 2tan a 4 24 13分 24_3 77 147 tan(2a-1+tan 2atan B 24 3 121' 17分 【高一数学参考答案第2页（共3页）】 24564A 19.解：，1惆为号-温十出由正孩定理刊号-公行层所以公十-公=，…3分 由余弦定理得cosB=+2一：=c=1 2ac 2ac2· …5分 又B∈(0，x),所以B=；…… 6分 (2)因为a”十c2-b=ac,所以a+c2=a十4. 因为D是线段AC的中点，所以Bd=号(Bi+BC), 所以市-[2(i+C)]了-(a+e+uc)=1+ AC.............. ………9分 孩理品B风Aa b 所以ac=4mA,nC=9nAsn(A+吾）=号n(2A-吾)+号…12分 0<A< 2 又△ABC为锐角三角形，所以 0<-A 解得吾<A<受，所以晋<2A-吾<晋…15分 所以ac∈（号，4]，所以B亦∈（子，3] 所以BD∈(5]即BD的长的取值范国是(w5] …………]7分 【高一数学参考答案第3页（共3页）】 24564A