甘肃省皋兰县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

皋兰一中2023~2024学年度第二学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第四章，选择性必修第二册第一章~第二 章2.3。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是 A.24 B.36 C.64 D.81 2.设f(x)=a.x3十x,若f(-1)=4,则a A.1 B.-2 C.3 D.-1 3.已知向量c=(1,2,4),则c的值为 A.(1,4,16) B.21 C.21 D.4 4.已知函数f(x)=2x2一x十1，则f(x)从1到1十△x的平均变化率为 A.2 B.2△x+3 C.2(△x)2+3△x D.2(△x)-△x+1 5.已知(a十b)”的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n= A.11 B.10 C.12 D.13 6.函数图象连续的函数y=f(x)在区间[a,们上 A.一定存在极小值 B.一定存在极大值 C.一定存在最大值 D.极小值一定比极大值小 【高二数学第1页（共4页）】 24564B 7.已知a=(2,3,1),b=(1,一2，-2)，则a在b上的投影向量为 A.2b B.-2b n号b 8.已知函数f(x)一2x一sinx十cosx,若a∈(0,1)，则下列式子大小关系正确的是 A.√f(a)<f(a)<f(a) B.f(va)<f(a)<vf(a) C.vf(a)<f(a)<f(a) D.f(a)<√f(a)<f(Va) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.A,B,C,D,E五个人并排站在一起，下列说法正确的是 A.若A,B不相邻，有72种排法 B.若A,B不相邻，有48种排法 C.若A,B相邻，有48种排法 D.若A,B相邻，有24种排法 10.已知空间向量a=(一3，一1,2)，b=(3,3,1),则下列说法正确的是 A.(3a+2b)∥a B.a⊥(5a+7b) C.a=14 D.b=19 1山.已知函数f()=一专，则下列说法正确的是 A.f()的极值点为(1，-) B.f(x)的最小值为一1 C.f(x)有两个零点 D.直线y一己x一专是曲线y一f:)的一条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为 y=t,则在t=4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 mm/min, 13.已知a=3,b=(1,2,-2),a·b=2,则2a-b= 14.在(2.x+1)(y一1)3的展开式中，x3y2的系数为 【高二数学第2页（共4页）】 24564B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知二项式(2一√无)”的展开式中共有10项. (1)求展开式的第5项的二项式系数： (2)求展开式中含x的项. 16.(本小题满分15分) 如图，在边长为4的正方体ABCD-ABC1D1中，E,F,G分别是A1D1,DD1,CD的中点 以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 (1)写出B1,C,E,F,G五点的坐标； (2)求CG·(B1E+BF). D 17.(本小题满分15分) 现有4名男生、3名女生站成一排照相.（用数字作答） (1)两端是男生，有多少种不同的站法？ (2)任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ (3)男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 【高二数学第3页（共4页）】 24564B 18.(本小题满分17分) 如图，在半径为4m的四分之一圆(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在 圆弧上，点A,C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子 的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xm,圆柱的体积为Vm3. (1)求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域： (2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？ 19.(本小题满分17分) 已知函数fx)=-2alnx+2r2+ax(a∈R). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性. 【高二数学第4页（共4页）】 24564B皋兰一中2023~2024学年度第二学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.C43=64.故选C. 2.Af(x)=3a.x2+1,(-1)=3a十1=4，解得a=1.故选A. 3.Bc2=c·c=1°+2+4=1+4+16=21. 4.B 函数∫(x)=2x-x+1从1到1+△x的平均变化率为1+△）-)= △x [2(1+△x)2-(1+△x)+1门-(2-1+1)=2Ax+3.故选B. △ 5.C“只有第7项的二项式系数最大号十1=1，…m=12. 6.C由函数的最值与极值的概念可知，y=f(x)在[a,b们上一定存在最大值.故选C. 7.D a·b=(2,31)·(1.-2,-2)=2-6-2=-2 b21+(-2)2+(-2) 9 31 故口在b上的投影向量为a:》:b一号，故选D. b 8.A由f(x)=2x-sinx+cosr,得(x)=2-cosx-sinx,当r∈(0,1)时，f(x)>0,所以f(x)在 (0,1)上单调递增，因为a∈(0,1)，所以0<a<a<1,所以f(a)<f(a),由函数f(x)在(01)上单调 递增，有f(x)>f(0)=1,所以f(a)>√f(a),综上，得f(a)<f(a)<f(Wa).故选A. 9.ACA,B,C,D,E五个人并排站在一起，若A,B不相邻，则先让C,D,E自由排列，再让A,B去插空即可， 则方法总数为AA=72(种).则选项A判断正确：选项B判断错误； A,B,C.D,E五个人并排站在一起，若A,B相邻， 则将A,B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C,D,E自由排列即可， 则方法总数为A号A!=48(种).则选项C判断正确：选项D判断错误，故选AC 10.BCD3a+2b=3×(-3,-1,2)+2×(3,3,1)=(-3,3,8),又a=(-3,-1,2),故A错误： 5a十7b=5×(-3,-1,2)+7×(3,3,1)=(6,16,17),则(5a+7b)·a=0,故B正确： 因为a=(-3,-1,2),b=(3,3,1),所以|a|=√9+1+4=√14，b=√9+9+1=√19，故C,D正确.故选 BCD. 1山，BDfx)=-。,令f)<0,解得x<1,令了x)>0,解得>1，所以x)在(-©，D上单调递减， 在1，十∞)上单调递增，所以)的极值点为1，又)=一。，所以f)的最小值为-。，故B正确，A 错误：当<1时，0)=0，当x>1时，八)=一号<0，所以八)有且仅有1个零点，放C错误：令了(x)- -二=己解得x=2,所以切点为2。是)故D正确故选D, 12子因为=0=一了0=)动了0办子故在=4血时的展时将期强度（装一时 【高二数学参考答案第1页（共3页）】 24564B 刻降雨量的瞬间变化常)为子mm/min, 13.√37由|a=3,|b=√W1+2+(-2)下=3，有12a-b=√4a-4a·b+b下=√36-8+9=√37. 14.一240因为(2x十1)卢的展开通项公式为T=C路(2x)5-t=25-Cx5-(0≤k≤5，k∈N), (y一1)3的展开通项公式为T,=Cy'(一1)'=（一1）Cy2(0≤r≤3，r∈N), 所以取k=2,r=1,得x3y2的系数为2C号·(-1)C=一240. 15,解：(1)因为二项式(2一√云)”的展开式中共有10项，所以n=9,……3分 所以展开式的第5项的二项式系数为C=126:………6分 (2)(2一√x)的展开式的通项公式为T+1=C·2-×(-√元)=（一1）·2-·C酷·x立，…10分 令号=4可得=8，所以展开式中含的项为T=2Cr=18r.…13分 16.解：(1)由题可知，B1(4,0,4),C(4,4,4),E(0,2,4),F(0,4,2),G(2,4,0)……7分 (2)由(1)可知，CG=(-2,0-4).B1E=(-4,2,0),B1F=(-4,4,-2) 则B,E+BF=(-8,6,-2).则CG·(BE+B,F)=-2×(-8)+0X6+(-4)×(-2)=24.… ………………15分 17.解：(1)选2名男生排两端有A种方法，再排其余学生有A种方法， 所以两端是男生的不同站法有A好A好=1440（种）：……………5分 (2)先排3名女生有A种方法，再将4名男生插入4个空隙中有A:种方法， 所以任意两名男生不相邻的不同站法有AA=144(种)：…………10分 (3)7名学生的全排列为A,而甲乙的顺序有2种， 所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有号A=2520(种).…… 15分 18.解：(1)在Rt△OAB中，因为AB=x,所以OA=√16-x, …2分 设圆柱的底面半径为r,则√16一x=2πr, 4分 即16-x2=422，… 6分 所以V=xx=16x -,0<x<4 8分 4π (2)由(1)得，V=16-3x2 10分 4π 令V'=0,得x=4 3 ………………12分 当0<x<3时，V>0,V(x)单调递增，当4之x<4时，V<0,V(x)单调递减，……】 3 64364v 所以当x=4时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是（生 3 9 -32v3 3 …17分 4π 9π 19.解：1)当a=1时，f(x)=-2nx+2x+x, …2分 f)=-2+x+1,所以f)=-2+1+1=0.f)=号 【高二数学参考答案第2页（共3页）】 24564B 曲线)y=f(x)在(1，f1)处的切线方程为y=号；…5分 (2)f(x=r+ax-2a2_(x+2a)(x- …小……7分 ①当a=0时，f(x)=x>0,所以函数在(0，十o∞)上单洞递增；…8分 ②当a>0时，令f(x)=0,则x=-2a(舍)或x2=a, (x)<0,0<x<a,当x∈(0，a)时，函数f(x)单调递减： (.x）>0,x>a,当x∈(a,十0o)时，函数f(x)单调递增…11分 ③当a<0时，令f(x)=0,则x1=一2a或xe=a(舍)， 了(x)<0,0<x<一2a,当x∈(0，一2a)时，函数f(x)单调递减： f(x)>0,x>一2a,当x∈（一2a,+o∞）时，函数f(x)单调递增 ………………14分 综上所述：当a-0时，函数在(0.十∞)上单调递增： 当a>0时，当x∈(0，a)时，函数f(x)单调递减 当x∈(a,十∞)时，函数f(x)单调递增： 当a<0时，当x∈(0，-2a)时，函数∫(x)单调递减： 当x∈（一2a,十0∞）时，函数f(x)单调递增.……17分 【高二数学参考答案第3页（共3页）】 24564B