9.3 三角形的角平分线、中线和高 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

定义 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角 平分线 特点 （1）三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线； （2）一个三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形内部，且交于一点 性质 当 AD 是△ABC 的角平分线时，∠1=∠2 或∠BAC=2∠1 =2∠2 或∠1=∠2= ∠BAC 判定 若∠1=∠2 或∠BAC=2∠1= 2∠2 或∠1=∠2= ∠BAC 时， 则 AD 是△ABC 的角平分线 应用 （1）证明角相等；（2）证明角的倍分关系；（3）进行角度计算 [考点解读] -1- ■考点一 三角形的角平分线 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -2- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 典题精析 例 1 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AE 是 △ABD 的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD=______. 解析：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°. ∵AE 是△ABD 的角平分线，∴∠EAD= ∠BAD= ×40°=20°. 答案：20° 易错： 错因：误认为∠EAD=∠BAE=∠CAD= ∠BAC. 满分备考：三角形的角平分线把角分成两个相等的小角. 定义 连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线 特点 （1）三角形的中线是一条线段； （2）任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，它们相交于一点，该点叫做三角形的重心，任何三角形的重心都在三角形内部 性质 若 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，则 BD=CD= BC（或BC= 2BD=2CD或点D为BC的中点） 判定 若 BD=CD= BC（或 BC=2BD= 2CD 或点 D 为 BC 的中点）， 则 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线 应用 三角形的每一条中线都把三角形分成两个面积相等的三角形，从而利用三角形的中线可以解决有关面积的问题 -3- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 ■考点二 三角形的中线 -4- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 典题精析 例 2 如图,已知 BD 是△ABC 的中线 ,AB =5,BC =3, △ABD 和 △BCD 的周长的差是 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 不能确定 解析:∵BD 是△ABC 的中线,∴AD=CD,∴△ABD 和△BCD 的周长的差是(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)= AB+BD+AD-BC-BD-CD=AB-BC=5-3=2. 答案:A 易错:D 错因:不能确定 AD 与 CD 的长度关系,不能找到△ABD 与△BCD 的周长,从而无法判断. 满分备考:三角形的中线把对边分成长度相等的两部分.三角形的中线分成的两个三角形的周长之差等于引出中线的角两边的长度之差. 定义 三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，简称三角形的高 特点 （1）三角形的高是一条线段； （2）三角形的三条高所在的直线交于一点； （3）锐角三角形三条高的交点在三角形内部；直角三角形三条高的交点是直角顶点；钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部.如图所示 -5- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 ■考点三 三角形的高 性质 若 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，则AD⊥BC或∠ADB和∠ADC 均为直角（或等于 90°） 判定 若 AD⊥BC 于点 D 或∠ADB= ∠ADC =90°，则 AD 是△ABC 的边 BC 上的高 应用 当已知三角形的两条高求其他边长或已知一高 与其他边长求另一高时，常用面积作为中间量， 即题中有高出现时，常用面积法 -6- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 续表 -7- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 典题精析 例 3 下列画△ABC 的边 AC 上的高，正确的是 （ ） 解析：根据高的画法可知，画△ABC 的边 AC上的高，即过点 B 作 AC 边的垂线． 答案：C 易错：D 错因：没有从顶点 B 出发，而是让点 C 作了垂足. 满分备考：任意一个三角形，都有三条高，且三条高所在的直线总会交于一点. -8- [易错分析] 9.3 三角形的角平分线、中线和高 ■混淆三角形的角平分线、中线和高 例 如图，已知△ABC，根据下列要求画图. （1）过顶点 B 画出△ABC 的角平分线； （2）画 AC 边上的中线； （3）画 BC 边上的高. -9- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 解析：根据三角形角平分线、中线和高的定义及画法分别按要求画出图形即可. 答案：解：（1）如图 1 所示，BD 是△ABC 过顶点 B 的角平分线. （2）如图 2 所示，BE 是 AC 边上的中线. （3）如图 3 所示，AG 是 BC 边上的高. -10- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 易错：解：（1）如图 1 所示，BD 是△ABC 过顶点 B 的角平分线. （2）如图 2 所示，BE 是 AC 边上的中线. （3）如图 3 所示，CG 是 BC 边上的高. 错因：（1）易混淆角的平分线和三角形的角平分线，误将三角形的角平分线画成射线.（2）误将三角形的中线画成角平分线.（3）三角形高的两个端点找错，做题时不仔细看题，随便画出一条边上的高. -11- 易错警示：三角形角平分线、中线和高都是线段，其中一个端点在三角形的一个顶点处，另一个端点一定在这个顶点的对边或其延长线上，而且三角形的角平分线和中线一定在其内部，高可能在三角形的内部 （如锐角三角形的高），可能与某一条边重合（如直角三角形中两直角边上的高），也可能在三角形的外部（如钝角三角形中钝角所在的边上的高）. 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -12- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 [题型探究] ■题型一 三角形的中线与面积的计算 例 1 如图，A，B，C 分别是线段 A1B，B1C，C1A 的中点，若△ABC 的面积是 1，那么△A1B1C1 的面积是 _________. -13- 解析：如图，连接 AB1.∵B 是 B1C 的中点，∴△AB1B 和△ABC 等底同高，∴S△AB1B=S△ABC.∵A 是 A1B 的中点， ∴△AB1B 和△A1B1A 等底同高， 答案：7 题型解法：解决本题的关键是要知道三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分，然后按所给图将三角形的面积进行分割，找出△A1B1C1 的面积与△ABC 的面积的关系，求出△A1B1C1 的面积. 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -14- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 ■题型二 三角形的内角和外角与三角形角平分线、高的综合应用 例 2 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，它们相交于点 O，∠CAB=50°，∠C=60°，求 ∠DAE 和∠BOA 的度数． -15- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 解析：先利用三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，在直角三角形 ACD 中，易求∠DAC 的度数； 再根据角平分线定义可求∠CBF，∠EAF 的度数，可得∠DAE 的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB 的度数，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA 的度数． 答案：解：∵∠CAB=50°，∠C=60°，∴∠ABC=180°- 50°-60°=70°. 又 ∵AD 是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC= 180°-90°-∠C=30°.∵AE，BF 是角平分线，∴∠CBF= ∠ABF= ∠ABC=35°，∠EAF = ∠CAB=25°， ∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF= 60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°． 题型解法：三角形的角平分线、中线、高经常综合出题，灵活运用三角形内角和定理、外角性质及角平分线和高线性质，是解答三角形中求角度问题的关键. -16- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 [方法总结] ■分类讨论思想在三角形求角度问题方面的应用 分类讨论就是在问题所给的对象不能进行统一研究时，需要先将研究对象按某个标准进行分类，然后将每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结论得到整个问题的答案. -17- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 例 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，求这个等腰三角形的底角. -18- 解析：根据题意，画出图形，要分高在三角形的内部、与三角形的一条边重合和外部三种情况，然后通过计算求出底角度数即可. 答案：解：（1）如图 1，当高 BD 在△ABC 的内部. ∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°. 由题意，得∠ABD=40°， ∴ 在△ABD 中，∠A=180°-∠ADB-∠ABD= 180°-90°-40°=50°. ∵∠ABC=∠C，∴∠C=（180°-50°）÷2=65°. 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -19- 9.3 三角形的角平分线、中线和高 （2）如图 2，当高 BD 与 AD 重合. 此时∠DBC=45°，∠DBA=0°，这与已知条件中的∠DBA=40°矛盾，故这种情况不存在. -20- （3）如图 3，当高 BD 在△ABC 的外部. ∵BD⊥AC，∴∠D=90°. 由题意，得∠ABD=40°， ∴ 在△ABD 中，∠BAD=180° -∠D-∠ABD= 180°-90°-40°=50°. ∵∠ABC=∠C，∠BAD=∠ABC+∠C，∴∠C= ∠BAD÷2=50°÷2=25°. 综上所述，所求等腰三角形的底角为 65°或 25°. 9.3 三角形的角平分线、中线和高 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -1- ■考点 1 三角形的角平分线 1. 一个三角形的三条角平分线的交点在 （ ） A． 三角形内 B． 三角形外 C． 三角形的某边上 D． 不确定 2. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AE 平分△ABC 的外角∠FAC，若∠DAC=20°，则∠EAC=________. （第 2 题图） ▍考点集训/夯实基础 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -2- 3.（教材 P111，AT1 改编）如图，AD 是△ABC 的角平分线，点 O 在 AD 上，且 OE⊥BC 于点 E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD 的度数为 ________. （第 3 题图） 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -3- ■考点 2 三角形的中线 4. ［教材 P111，BT2（1）改编］如图，BD= BC，则 BC 边上的中线是 _____，若 S△ABD=5 cm2，则 S△ACD=_____ cm2， S△ABC= ______ cm2. （第 4 题图） （第 5 题图） 5. 如图，AD 是△ABC 的中线，AB=5，AC=3，△ABD 的周长和△ACD 的周长相差 _____． 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -4- 6. 如图，已知△ABC 的周长为 27 cm，AC=9 cm，BC 边上的中线 AD=6 cm，△ABD 的周长为 19 cm，AB= ___________. （第 6 题图） 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -5- ■考点 3 三角形的高 7. 下面四个图形中，线段 CD 不是△ABC 的高的是（ ） 9.3 三角形的角平分线、中线和高 -6- 8. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为 C，D，E，则下列说法不正确的是 （ ） A． AC 是△ABC 的高 B． DE 是△BCD 的高 C． DE 是△ABE 的高 D． AD 是△ACD 的高 （第 8 题图） -7- 第九章 三 角 形 9.3 三角形的角平分线、 中线和高 1. A 提示：三角形的角平分线都在三角形的内部，所以它们的交点也在三角形的内部. 2. 70° 提示：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠DAC =20 ° ，∴ ∠BAC =2 ∠DAC =40°， ∴∠FAC=180°-∠BAC=180°-40°=140°. ∵AE 平分△ABC 的外角∠FAC， ∴∠EAC= ∠FAC=70°． 3. 20° 提示：∵∠BAC=60°，∠C=80°， ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°． 又 ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD= ∠BAC=30°，∴∠ADE=∠B+ ∠BAD=70°.又 ∵OE⊥BC，∴∠OED=90°， ∴∠EOD=180°-90°-70°=20°． 4. AD 5 10 提示：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分. -8- 第九章 三 角 形 5. 2 提示：∵AD 是△ABC 中 BC 边上的中线， ∴BD=DC= BC，∴△ABD 和△ADC 的周长的差= =AB-AC=5-3=2. 6. 8 cm 提示：设 AB=x cm，BD=y cm， ∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BC=2BD=2y cm． 由题意得 解得 所以 AB=8 cm． 7. B 8. C 提示：C.DE 是△BDC，△BDE，△CDE 的高，不是△ABE 的高，故错误，符合题意. $$