精品解析：重庆市涪陵外国语学校高中部2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

涪陵外国语学校高中部2024学年度下期中期考试 高一年级数学学科试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解作答. 【详解】因为向量，，则 故选：C 2. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设，则，又， 由余弦定理，得， 即，解得（负值舍去），即. 故选：D. 3. 已知三条直线a，b，c和两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面位置关系，结合平面基本性质判断A、B、C；根据平面基本性质知且，由线面平行的判定、性质有，即可判断D. 【详解】A：，则或，错误； B：，则或，错误； C：，则可能相交或平行，错误； D：由为两个平面且、，故且， 由，则，又，，，则， 所以，正确. 故选：D 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质和已知先求高，然后由棱台的体积公式可得. 【详解】连接AC，，作平面ABCD，由正四棱台性质可知点E在AC上，如图， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4， 所以， 易知四边形为等腰梯形，所以， 所以， 因为上下底面面积分别为：， 所以四棱台的体积为. 故选：C 5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线AB，CD所成角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先还原正方体，再平移AB，找到异面直线所成角，求之即可． 【详解】还原后正方体及AB，CD的位置如图所示， 取正方体的一个顶点E，连接CE，DE，则AB∥CE， 所以∠ECD或其补角为直线AB，CD所成角， 因为CD，DE，CE均为面对角线，所以CD＝DE＝CE，即△CDE为等边三角形， 所以∠ECD＝，所以直线AB，CD所成角为． 故选：C． 6. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，由三点共线有，再用分别表示出、，最后应用向量数量积的运算律求即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为C，P，D三点共线，所以，即， 所以，又， 所以 . 故选：C 7. 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【详解】由余弦定理得，即，即，又， ，即，当且仅当时等号成立. ， . . 故选：B 8. 已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理计算先得，确定为直角三角形，再利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】由余弦定理可知， 所以，即为直角三角形，. 设，则， 则， 显然时，. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 若，则的最大值为 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，，则复平面内对应的点位于第二象限，B正确； 对于C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，C正确； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D正确． 故选：BCD 10. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面上的一个动点，且∥平面，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 平面将正方体分成的两部分的体积比为7∶16 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作出平面的延展面，过作出平面的平行平面，依次判断各个选项即可. 【详解】如图，取线段中点，连接，在正方体中易知∥， 所以等腰梯形即为平面截正方体所得的截面， 取中点，取中点，连接，，， 易知∥，∥，所以平面∥平面， 又因为为侧面上的一个动点，且∥平面， 所以点的轨迹为线段，，所以D正确； 对于A，三棱锥的体积，因为∥平面，所以到平面的距离d为定值，为定值，所以A正确； 对于B，截面为等腰梯形，其中，,， 则等腰梯形的高为，所以，B正确； 对于C，正方体体积，由题易知几何体为三棱台， 则其体积， 所以平面将正方体分成的两部分的体积比为，所以C错误； 故选：ABD 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面积的最大值为 B. 若，且只有一解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理可得，根据求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A；由正弦定理得，利用可判断B；求出，利用为锐角三角形得的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断C；根据余弦定理求解，即可根据高的表达式求解D. 【详解】对于A，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 若，且，所以， 由余弦定理得， 由，，可得，即，当且仅当时等号成立， 则面积，所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，若，且，由正弦定理得， 所以，当时，即，时有一解，故B错误； 对于C，若，所以，且为锐角三角形， 所以，解得，所以， 由正弦定理得，故C正确； 对于D，由于为锐角三角形，，，所以， 故AC边上的高为 则AC边上的高的取值范围为，故D错误． 故选：AC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，根据题意列出方程解出即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由于圆锥侧面展开图是一个半圆， 故有， 即圆锥母线长为， 又圆锥的表面积为， 解得， 所以圆锥的高为. 故答案为：. 13. 在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积. 【详解】 设上下两个底面的中心分别为，连接， 因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以直三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以直三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故答案为： 14. 中，，边上一点，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，有，，中，由正弦定理求出，得到，可求. 【详解】中，，为边上一点， ，如图所示， 设，由，则， 所以，，， 在中，由正弦定理可得， 因为，所以， 即，整理得，即， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 由题意，复数， 所以， 则， 因为为纯虚数，所以，解得； 【小问2详解】 复数， 因为复数在复平面对应的点在第一象限， 所以，解得 16. 已知与夹角为. （1）求在方向上的投影向量; （2）求的值; （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据投影向量的概念求解； （2）通过展开计算； （3）根据，且与不共线计算求解. 【小问1详解】 在方向上的投影向量为； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 对于， 得， 解得， 若与共线， 则存在，得，解得， 所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为. 17. 如图所示，在正三棱柱中，，点D是AB的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线和BC所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，证明，即可得证； （2）由将异面直线和BC所成角转化为或其补角，由勾股定理求出相关边长，由余弦定理求出余弦值即可. 【小问1详解】 如图，连接交于，易得为的中点，又点D是AB的中点，则， 又平面，平面，则平面； 【小问2详解】 连接，易得，则或其补角即为异面直线和BC所成角， 又由正三棱柱可得， ，则， 则，即异面直线和BC所成角的余弦值为. 18. 在锐角中，内角，，所对边分别为，，，. （1）求角； （2）设是角的平分线，与边交于，若，，求，； （3）若，求面积的取值范围. 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）法一：利用余弦定理得到，再由余弦定理计算可得；法二：利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）利用正弦定理及角平分线的性质得到，设，，再在中利用余弦定理求出，即可得解； （3）首先得到，利用正弦定理得到，再根据的范围及正切函数的性质计算可得. 【小问1详解】 法一：在锐角中，， 由余弦定理得，化简得， 可得，又，得. 法二：在锐角中，，由正弦定理得， 即， 可得， 又，，得，又，得. 小问2详解】 在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有， 因为是角的平分线，故， 又，故， 所以， 设，， 在中，由余弦定理，有， 解得，所以（负值舍去）， 所以，. 【小问3详解】 因为， 由正弦定理， 得， 在锐角中，，，， 即，可得， 则有，，，， 即，得， 所以面积的取值范围为. 19. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； （1）求∠PAQ的大小； （2）求面积的最小值； （3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）该同学猜想正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）解法一首先由向量的平行四边形定则和向量的数量积得到，再由三角函数的定义得到，，最后再结合正切函数的诱导公式得到；方法二设，，由向量夹角的定义得到，在中再结合勾股定理和三角函数值求出； （2）由三角形的面积公式得到，再角度关系和二倍角公式及结合正弦函数的最值化简可得； （3）由三角形的面积公式得到，再由向量夹角的定义结合三角函数值得到，求出结果即可. 【小问1详解】 记，，则． （1）解法一：∵，∴， ∴， ∴， ∵正方形ABCD的边长为1，∴，， 在中，，，由， 则， ∴，． ∵，∴． 解法二：． 设，，则． 在中，，即， ． ∵，∴． 【小问2详解】 ，． ∴， ∵，∴． ∵，∴当时，面积的最小值为． 【小问3详解】 设中PQ边上的高为h，由，得， ． 又∵，∴， 且，∴， ∴，即为定值，该同学猜想正确. 【点睛】关键点点睛： （1）在求三角形面积时除了常规公式外可用公式； （2）在已知角的正弦或余弦值求其余弦或正弦时，可用配凑法结合三角函数的诱导公式比较简便. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 涪陵外国语学校高中部2024学年度下期中期考试 高一年级数学学科试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知，，，则（ ） A 1 B. C. D. 3 3. 已知三条直线a，b，c和两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线AB，CD所成角为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则值为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 若，则的最大值为 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面上的一个动点，且∥平面，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 平面将正方体分成两部分的体积比为7∶16 D. 点的轨迹长度为 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面积的最大值为 B. 若，且只有一解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为_______. 13. 在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 14. 中，，为边上一点，若，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 16. 已知与的夹角为. （1）求在方向上的投影向量; （2）求值; （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图所示，在正三棱柱中，，点D是AB的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线和BC所成角的余弦值. 18. 在锐角中，内角，，所对边分别为，，，. （1）求角； （2）设是角的平分线，与边交于，若，，求，； （3）若，求面积取值范围. 19. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； （1）求∠PAQ的大小； （2）求面积的最小值； （3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$