精品解析：江苏省泰兴市黄桥初中教育集团2023—2024学年下学期八年级数学第2次月度质量监测

江苏省泰兴市黄桥初中教育集团2024年春学期 初二数学第二次月度质量监测 （满分 150分 时间120分钟 ） 一．选择题(每小题3分，共18分) 1. 下列说法正确的是（ ） A. 神舟十八号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用抽样调查的方式 B. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数”是随机事件 C. 调查春节联欢晚会的收视率适宜全面调查 D. 成语“水中捞月”表示的事件是必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，普查和抽样调查，根据事件，普查和抽样调查的定义解答即可． 【详解】因为神舟十八号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用全面调查的方式，所以A不正确； 因为“随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数”是随机事件，所以B符合题意； 因为调查春节联欢晚会的收视率适宜抽样调查，所以C不正确； 因为成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，所以D不正确． 故选：B． 2. 下列式子从左到右变形正确的是（　　） A. ＝1 B. C. D. ＝a﹣b 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质求解判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，在数轴上表示不等式的解集，求得不等式的解集是解题的关键．根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义 解得 解集表示在数轴上，如图， 故选D 4. 某商品原价189元，经连续两次降价后售价为156元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分率的公式列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意及掌握降价百分率问题的计算公式是解题的关键． 5. 厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图），则下列说法错误的是（ ） A. y与S之间满足的函数关系式为 B. 点B的坐标为 C. 若面条的总长度为，则面条的横截面面积为 D. 若面条的横截面面积不超过，则面条的总长度不超过150m 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求出函数关系式，即可判断A选项，代入点B的横坐标求出B的纵坐标即可判断B选项，求出当时的函数值，即可判断C选项，求出面条的横截面面积不超过时y的取值范围，即可判断D选项． 【详解】解：设y与S之间的函数关系式为， ∵其图象经过， ∴， ∴，A正确； ∵在反比例函数的图象上， ∴，解得． 故点B的坐标为，B正确； 若，则， 解得，故C正确； 若面条的横截面面积不超过，则，解得， D错误.． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，读懂题意准确计算是解题的关键． 6. 如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，，等面积法求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵折叠， ∴ ∴在以为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴ ∵矩形，其中， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共30分) 7. 若分式的值为零，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得：． 故答案为：1． 8. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 【答案】a = 2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】由是一元二次方程，得 =2，且a+2≠0， 解得a=2， 故答案为 2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 9. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与判别式的关系列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查根与判别式的关系，一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0． 10. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11. 比大且比小的整数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴比大且比小的整数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 12. 已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵，，， ∴或， ∴满足条件的m的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 13. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有800名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过的有__________人． 【答案】560 【解析】 【分析】本题考查了从图象获取信息，用样本的某种率估计总体的某种率，熟练掌握用样本估计总体的思想是解题的关键．根据图中信息，可得上学途中用时不超过15min的学生有14人，用总人数乘以抽取的学生中上学用时不超过的学生所占比例，即可求解． 【详解】解：根据图中信息可知，上学途中用时不超过的学生有14人， 故该校九年级学生上学途中用时不超过的人数为（人）． 故答案为：560． 14. 已知，则代数式的值是 _________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的计算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式将原式变形为，再根据，得到，整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：2023． 15. 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 思路：，当时，不等式一定不成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系；请你根据上面的思路，画出函数图像的简图，并结合图像求不等式的解集是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】先把不等式化为当时，不等式变为；当时，不等式变为．再画函数与的图像，再利用函数图像解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，不等式一定不成立； 当时，不等式变为； 当时，不等式变为． 画函数与的图像如下： ∴当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 综上： 解集为：或； 故答案为：或 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，画函数图像，利用函数图像解不等式，熟练的运用数形结合的思想解题是关键． 16. 如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接，如果，，那么的长等于____． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，推出，证，推出，，得出等腰直角三角形，根据勾股定理求出，即可求出，进一步求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 即， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，化为最简二次根式，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键． 三、解答题(本大题共有10小题，共102分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，二次根式的混合运算，掌握运算的顺序是解本题的关键； （1）先计算零次幂，立方根，算术平方根，化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. 解方程 （1）x2+2x﹣3=0 （2）3x（x﹣2）=2（2﹣x） 【答案】（1）x1=1 x2=-3；（2）x1= x2=2． 【解析】 【详解】试题分析：（1）方程左边进行因式分解，将方程化为两个一元一次方程，进行求解即可； （2）移项，提取公因式（x-2）, 将方程化为两个一元一次方程，进行求解即可. 试题解析：(1)x2＋2x－3＝0， ∴(x＋3)(x－1)＝0， ∴x+3=0，x-1=0， ∴x1＝1，x2＝－3. (2) 3x(x－2)＝2(2－x) 3x(x－2)+2(x－2)=0 (3x＋2)(x－2)＝0， ∴3x＋2＝0或x－2＝0， 解得x1＝－，x2＝2. 19. 先化简，再求值：，其中x满足x2＋2x－3＝0． 【答案】；. 【解析】 【分析】先算括号里面的，再算除法进行化简，根据x满足x2+2x-3=0求出x的值，注意分母不为零，代入分式进行计算即可． 【详解】解： = = =； 由x2+2x-3=0，解得：x1=-3，x2=1， 当时，分母，不符合题意； ∴当时， 原式=. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，以及一元二次方程的求解. 20. 阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：_____________； （3）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】（1）⑤； （2）开方有两个答案而只写了一个； （3）正确解答过程如下：． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法分析错误原因即可； （3）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】解：（1）根据一元二次方程的解法可以判断出第⑤步开始出现了错误． 故答案为：⑤． （2）根据一元二次方程的解法分析⑤的错误原因是：开方有两个答案而只写了一个． 故答案为：开方有两个答案而只写了一个． （3）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 21. 已知一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程两个不相等的实数根分别为，且，求证： 【答案】（1） 证明：一元二次方程， ， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2） 证明：∵是方程的两根 ∴， ∵， ∴，， 即，， ∴ 即 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键. （1）计算根的判别式并判断其范围即可证明结论； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，，由得到，，则，即可得到结论. 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 22. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； （2）该农场想要建一个的矩形养殖场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由如下： 若， 则， ， ∴此方程没有实数根，故这一想法不能实现． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． （1）设，根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得的值为2； （2）令，得出，即可判断． 【小问1详解】 解：∵，矩形的面积是矩形面积的2倍， ∴， ∴， 依题意得：， 解得： ∵墙的长度为10， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）， 综上，x的值为； 【小问2详解】 略． 23. 如图，，平分交于点E （1）用无刻度的直尺作图：在上找点F使平分（保留作图痕迹，不写作法），并证明平分 （2）在（1）的条件下，给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是_____________ 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 证明：设、相交于点O， ∵中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交于点E ∴， ∵， ∴， 即平分 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键. （1）连接交于点O，连接并延长交于点F，连接，根据平行四边形的性质得到，，再证明，则，又由即可证明四边形是平行四边形，则，得到，则，即可得到，结论得证； （2）添加，则是等腰三角形，根据平分交于点E得到，即可证明四边形是矩形. 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 添加条件为， ∵， ∴是等腰三角形， ∵平分交于点E ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形. 24. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，． （1）单选题：这一过程体现的数学思想是（ ） A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； （3）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 【答案】（1）D （2），2，12， （3） 解：第一步：将原方程变形为，即， 第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3， 第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示， 第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为， 小正方形边长为常数， 长方形面积之和为常数， 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， 得方程， 两边开方可求得，． 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案； （3）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 ∵用几何法对一元二次方程进行求解的方法， ∴这一过程体现的数学思想是数形结合思想 故选：D； 【小问2详解】 解：根据题意可得： 大正方形的边长为：， 小正方形的边长为：， 长方形面积之和为：， 大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 25. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． （1）若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． （2）若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程后，根据定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求． 【小问1详解】 解：解方程得，， ∴该方程的“友好点”P的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， 解得；综上所述：m的值为或； 【小问3详解】 存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为 ∴． 26. 已知，点P是边长为4的正方形对角线上的一动点，于E，于F，连结、、、，记、、的面积分别为、、，令，． （1）求证：； （2）若， 则的值是______． （3）①求（用x的代数式表示） ②若，求x的值 ③是否存在实数k，使的值与P点在上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， 而， ∴， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2） （3）①；②，，③ 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明四边形为矩形，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，，，，可得，，，再结合三角形的面积公式可得答案； （3）①证明四边形是矩形，得到，，继而得到，，根据等边对等角得到，，再根据三角形的面积即可得解；②利用①的结论建立方程求解即可；③求出，再进一步即可得解 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵点是边长为的正方形的对角线上的一点，且， ，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，， ∴； 【小问3详解】 解：①∵点是边长为的正方形的对角线上的一点，且， ，，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，，的面积分别为，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 解得：，； ③∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ， ∵的值与点在上的位置无关，即与值无关， ∴， 解得：， ∴当时，的值为，与点在上的位置无关 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等角对等边，一元二次方程的解法等知识点．掌握矩形的判定和性质，熟练的利用方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰兴市黄桥初中教育集团2024年春学期 初二数学第二次月度质量监测 （满分 150分 时间120分钟 ） 一．选择题(每小题3分，共18分) 1. 下列说法正确的是（ ） A. 神舟十八号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用抽样调查的方式 B. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数”是随机事件 C. 调查春节联欢晚会的收视率适宜全面调查 D. 成语“水中捞月”表示的事件是必然事件 2. 下列式子从左到右变形正确的是（　　） A. ＝1 B. C. D. ＝a﹣b 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A. B. C. D. 4. 某商品原价189元，经连续两次降价后售价为156元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图），则下列说法错误的是（ ） A. y与S之间满足的函数关系式为 B. 点B的坐标为 C. 若面条的总长度为，则面条的横截面面积为 D. 若面条的横截面面积不超过，则面条的总长度不超过150m 6. 如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共30分) 7. 若分式的值为零，则_____． 8. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 9. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为___________． 10. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______． 11. 比大且比小的整数是______． 12. 已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值________． 13. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有800名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过的有__________人． 14. 已知，则代数式的值是 _________． 15. 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 思路：，当时，不等式一定不成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系；请你根据上面的思路，画出函数图像的简图，并结合图像求不等式的解集是____________． 16. 如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接，如果，，那么的长等于____． 三、解答题(本大题共有10小题，共102分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程 （1）x2+2x﹣3=0 （2）3x（x﹣2）=2（2﹣x） 19. 先化简，再求值：，其中x满足x2＋2x－3＝0． 20. 阅读材料，并回答问题： 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：_____________； （3）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 21. 已知一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程两个不相等的实数根分别为，且，求证： 22. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； （2）该农场想要建一个的矩形养殖场，这一想法能实现吗？请说明理由． 23. 如图，，平分交于点E （1）用无刻度的直尺作图：在上找点F使平分（保留作图痕迹，不写作法），并证明平分 （2）在（1）的条件下，给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是_____________ 24. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，． （1）单选题：这一过程体现的数学思想是（ ） A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； （3）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 25. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． （1）若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． （2）若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 26. 已知，点P是边长为4的正方形对角线上的一动点，于E，于F，连结、、、，记、、的面积分别为、、，令，． （1）求证：； （2）若， 则的值是______． （3）①求（用x的代数式表示） ②若，求x的值 ③是否存在实数k，使的值与P点在上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $