6.1 二元一次方程组 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

二元一次方程 二元一次方程的解 定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程 使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程的一组解 特别说明 （1）二元一次方程必须同时满足：①是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③未知数的次数都是 1； （2）二元一次方程中的“二元”指的是只含有两个未知数； （3）二元一次方程的一般形式为 ax+by=c （a，b≠0） （1）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值； （2）二元一次方程的解有无数组，只需让方程的左右两边的值相等即可.二元一次方程的每一组解都要用大括号括起来，两个未知数的值上下排列， 如 是二元一次方程 3x-2y=8 的一组解 6.1 二元一次方程组 ■考点一 二元一次方程及二元一次方程的解 [考点解读] -1- 6.1 二元一次方程组 -2- 典题精析 例 1 已知 是关于 x，y 的二元一次方程 x-ay=3 的一个解，则 a 的值为 （ ） A． 1 B． -1 C． 2 D． -2 解析：把 代入二元一次方程 x-ay=3，得 1- 2a=3，解得 a=-1． 答案：B 易错：A 错因：对二元一次方程的解理解不到位． 满分备考：解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数 a 为未知数的一元一次方程. 二元一次方程组 二元一次方程组的解 定义 由几个方程组成的一组方程叫做方程组.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程组，叫做二元一次方程组，如 等 二元一次方程组中方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解，如 是二元一次方程组 的解 6.1 二元一次方程组 -3- ■考点二 二元一次方程组及二元一次方程组的解 特别说明 二元一次方程组必须同时满足：①方程组中共有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是 1；③每个方程都是整式方程 二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解或无解，如 有无数多个解； 无解 注意 检验一组数是不是二元一次方程组的解，可以分别将这组数代入二元一次方程组中的每一个方程，看能否使每一个方程的左右两边相等，只有使所有方程都成立，才是二元一次方程组的解，否则它就不是二元一次方程组的解 6.1 二元一次方程组 -4- 续表 6.1 二元一次方程组 -5- 典题精析 例 2 下列各方程组中，属于二元一次方程组的是 （ ） 解析：A. xy 的次数是 2，故 A 不是二元一次方程组；B. 含有三个未知数，故不是二元一次方程组； C. 是二元一次方程组；D. 不是整式方程，故不是二元一次方程组. 答案：C 易错：A 错因：对二元一次方程组的定义理解不透彻，对 “含有未知数的项的次数都是 1”理解错误. 满分备考：“含有未知数的项的次数都是 1”，注意不可理解为每个未知数的次数都是 1，而是方程组中含未知数的每一项的次数都是 1. 6.1 二元一次方程组 -6- [易错分析] ■忽略二元一次方程的未知数系数不为 0 这一条件 例 （金乡期末）若 +（k-1）y=3 是关于 x，y 的二元一次方程，则 k 的值为 （ ） A. -1 B. 1 C. 1 或-1 D. 0 解析：根据二元一次方程的定义知，方程有两个未知数，且未知数的系数不能为 0，即可求出 k 的值. 答案：A 易错：C 错因：忽略了未知数系数不能为 0 这一限制条件，导致求解错误. 易错警示：使用二元一次方程的定义确定未知字母的取值时，一定要注意未知数的系数、含有未知数的项的次数的限制条件. 6.1 二元一次方程组 -7- [题型探究] ■题型一 运用二元一次方程的定义求字母的值 例 1 （沧州期末）若 +（m-2）y=6 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m=________. 解析：因为 +（m-2）y=6 是关于 x，y 的二元一次方程，所以 =1，m-2≠0，解得 m=1. 答案：1 题型解法：由二元一次方程的定义得出，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有两个未知数；②含未知数的项的次数为 1；③方程是整式方程. 6.1 二元一次方程组 -8- ■题型二 求二元一次方程的特殊解 例 2 写出二元一次方程 4x+y=20 的所有正整数解. 解析：先把 4x+y=20 变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再根据式子的特 点求解. 答案：解：由原方程，得 y=20-4x. 因为 x，y 取正整数，所以当 x=1，2，3，4 时，y= 16，12，8，4， 所以方程4x+y=20 的所有正整数解为 题型解法：二元一次方程的特殊解的求法： （1）先将方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式；（2）再将所有符合条件的 x 或 y 的值逐一代入求出 y 或 x 的值，这样求得的每组值均是所要求的特殊解. 6.1 二元一次方程组 -9- ■题型三 运用二元一次方程（组）的解的定义求式子的值 例 3 （邢台月考）已知 是方程 2x-ay=3b 的一个解，那么 a-3b 的值是 （ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. 1 解析：将 代入方程2x-ay=3b，得 2+a= 3b，所以 a-3b=-2.故 选 C. 答案：C 题型解法：解决本题的关键是将方程的解代入，从而求出待定式子的值. 6.1 二元一次方程组 -10- 例 4 （巴中中考）已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解是 则 a+b 的值是 （ ） A． 1 B． 2 C． -1 D． 0 解析：将 所以 a+b=2. 答案：B 题型解法：已知方程组的解，确定未知系数的方法是将解代入方程组中，利用方程两边相等可求出未知系数的值. 6.1 二元一次方程组 -11- ■题型四 二元一次方程组的实际应用 例 5 根据下图给出的信息，求每件 T 恤衫和每瓶矿泉水的价格.（只列方程组） 共计 44 元 共计 26 元 解析：从题图中可获得信息：2 件 T 恤衫和 2 瓶 矿泉水一共是 44 元；1 件 T 恤衫和 3 瓶矿泉水一共 是 26 元.列出二元一次方程组即可. 答案：解：设每件 T 恤衫 x 元，每瓶矿泉水 y 元. 由题意，得 题型解法：解答有关二元一次方程组的图表信息题的关键是认真分析和提取图表中的数据信息，挖掘图表中所隐含的等量关系，从而建立方程组求解. 6.1 二元一次方程组 -12- ■题型五 二元一次方程组的错解问题 例 6 小明和小文解一个关于 x，y 的二元一次方程组 小明正确解得 小文因看错了 c，解得 已知小文解题时除看错了 c 外没有出现其他错误，求 a-3b+c 的值. 解析：由题意，将 代入 cx-3y=-2 中可得 c 的值，将 代入 ax+by=2 中可得 a-3b 的值，即可求得 a-3b+c 的值. 答案：解：将 代入 cx-3y=-2，得 c+3=-2， 解得 c=-5. 将 代入 ax+by=2，得 2a-6b=2，即 a-3b=1，所以 a-3b+c=1-5=-4. 题型解法：因看错一个方程而求出的方程组的错解，它仍是方程组中另一个没有看错的方程的解，因此可以将这组解代入没有看错的方程求出相应系数. 6.1 二元一次方程组 -13- ■题型六 二元一次方程组的开放探究类问题 例 7 （辽源期末）写出一个解为 的一个二元一次方程组. 解析：此题答案不唯一，只要二元一次方程组的解满足 即可. 答案：解：因为 x=3，y=1，所以 x+y=4，x-y=2， 故满足题意的二元一次方程组可以是 （答案不唯一） 题型解法：以 为解的二元一次方程有无穷多个，只要从这些方程中选中两个方程联立，即可得所要求的二元一次方程组.注意：在找两个方程联立时，不能找系数成比例的两个方程. 6.1 二元一次方程组 -14- ■检验二元一次方程组的解的方法———代入检验法 [方法总结] 将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；若这对数值不满足其中的任何一个方程，那么它就不是此方程组的解. 6.1 二元一次方程组 -15- 例 解为 的二元一次方程组是 （ ） 6.1 二元一次方程组 -16- 解析：A. 不能使 x-y＝1 成立，故不是该方程组的解，不符合题意； B. 不能使 3x+y＝-5 成立，故不是该方程组的解，不符合题意； C. 不能使 x-y＝3 成立，故不是该方程组的解，不符合题意； D. 能使方程组中的两个方程都成立，故是该方程组的解，符合题意. 答案：D 6.1 二元一次方程组 -1- ■考点 1 二元一次方程及二元一次方程的解 1.（教材 P4，练习 T2 改编）下列各式中，属于二元一次方程的是 （ ） A. x2-25=0 B. x=2y C. y-6=0 D. x+y+z=0 2. 若方程 mx-2y=3x+4 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m 的取值范围是 （ ） A． m≠0 B． m≠3 C． m≠-3 D． m≠2 3.（教材 P4，练习 T1 改编）方程 2x-3y=7，用含 x 的代数式表示 y 为 （ ） A. y＝ B. y＝ C. x＝ D. x＝ ▍考点集训/夯实基础 6.1 二元一次方程组 -2- 4. 已知二元一次方程 x+y=1，下列说法不正确的是（ ） A. 它有无数多组解 B. 它只有一组非负整数解 C. 它有无数多组整数解 D. 它没有正整数解 5. 二元一次方程 x-2y=1 有无数组解，下列四组值中不是该方程的解的是 （ ） x＝0 x＝1 x＝1 x＝-1 A. B. C. D. y＝1 y＝0 y＝-1 6.1 二元一次方程组 -3- ■考点 2 二元一次方程组及二元一次方程组的解 6.（教材 P4，练习 T3 改编）下列各方程组是关于 x，y 的二元一次方程组的是 （ ） 2x-z＝6 2x-y＝1 3x-2y＝1 x2-1＝0 A. B. C. D. 2x-y＝3 y＝3z+1 x+y＝5 x+y＝1 7.（教材 P4，AT2 改编）以 x＝1，为解的二元一次方程组是 （ ） y＝-1 x+y＝0 x+y＝0 x+y＝0 x+y＝0 A. B. C. D. x-y＝1 x-y＝-1 x-y＝2 x-y＝-2 6.1 二元一次方程组 -4- 8. 如图，AB⊥BC，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的 2 倍少 15°，设∠ABD 与∠DBC 的度数分别为 x°，y°， 根据题意，下列方程组正确的是 （ ） x+y＝90 x+y＝90 x+y＝90 x+y＝90 A． B． C． D． x＝y-15 x＝2y-15 x＝15-2y x＝2y+15 （第 8 题图） 6.1 二元一次方程组 -5- 9. 关于 x、y 的方程组 的解是 ，求 的值. -1- 第六章 二元一次方程组 6.1 二元一次方程组 1. B 提示：A.x2-25=0 不是二元一次方程， 因为其含未知数的项的次数为 2，且只含 一个未知数；B.x=2y 是二元一次方程； C.y-6=0 不是二元一次方程，因为只含一个未知数；D.x+y+z=0 不是二元一次方程，因为含有 3 个未知数． 2. B 提示：∵mx-2y=3x+4 是关于 x、y 的二元一次方程，移项合并同类项，得（m-3）x- 2y=4，∴m-3≠0，解得 m≠3． 3. B 提示：用 x 表示 y，可排除 Ｃ、Ｄ；移项，得-3y=7-2x，系数化为 1，得 ，即 ． 4. B 提示：一个二元一次方程有无数多组解，A 正确，不符合题意；它有 和 两组非负整数解，B 错误，符合题意；它有无数多组整数解，C 正确，不符合题意；它没有正整数解，D 正确，不符合题意. -2- 第六章 二元一次方程组 5. B 提示：A.当 时，x-2y=0-2× =1，是方程的解；B.当 时，x-2y=1-2×1=-1，不是方程的解；C.当 时，x-2y=1-2×0=1，是方程的解；D.当 时，x-2y=-1-2×（-1）=1，是方程的解. 6. C 提示：A、B 方程组里含有 x，y，z 三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是 二元一次方程组；C.此方程组符合二元一次方程组的定义；D.此方程组里含有x2，未知项的次数是 2，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组． 7. C 提示：将 代入各个方程组， 可使方程组 中所有方程都成立． -3- 第六章 二元一次方程组 8. B 提示：由“AB⊥BC”可知，∠ABD+∠DBC= ∠ABC=90°，列方程为 x+y=90；由“∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的 2 倍少 15°”， 列方程为 x=2y-15，所以列方程组为 9. 解：因为方程组 的解是 所以 解得 所以 ． $$