精品解析：陕西省西安市周至县第四中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

周至四中2023---2024学年度第二学期高二级期中考试试题（数学） 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 在△中，若，，，则等于 A. B. C. 或 D. 8. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 9. 一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知实数x，y满足x>0，y>0，且，则x＋2y的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 11. 如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥的体积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12. 已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，，40，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13. i是虚数单位，复数________________. 14. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取______件. 15. 已知向量，满足，且，，则与的夹角为____________. 16. 已知，则______． 三、解答题：（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 设． （1）求的值； （2）若，求t值. 18. 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围． 19. 我校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是，，，，． （1）求图中a的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均数，众数和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）． 20. 在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 21. 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 22. 已知，，． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周至四中2023---2024学年度第二学期高二级期中考试试题（数学） 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为所以. 【考点定位】集合的表示，集合的运算. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用特称命题“命题的否定”的求法即可解决． 【详解】特称命题“命题的否定”的求法；否定结论，特称量词与全称量词互换． 则 “，”的否定是“，”． 故选：C. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合向量共线的坐标运算可得，代入运算求解即可. 【详解】因为，， 若，则，即， 所以. 故选：A. 4. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分性和必要性知识解决即可． 【详解】若，则不能判断正负，则推不出. 若，即，即也推不出． 故”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 5. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】AC选项为偶函数，B选项满足要求，D选项不满足单调性. 【详解】A选项，的定义域为， 故，故为偶函数，A错误； B选项，画出的图象，满足既是奇函数又在上单调递减，B正确； C选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，C错误； D选项，在上单调递增，D错误. 故选：B 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数有意义，得出不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出不等式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 7. 在△中，若，，，则等于 A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：利用余弦定理：，∴， ∴，∴或8， ∴或， 故选C. 考点：余弦定理、三角形面积公式. 8. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 9. 一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解. 【详解】. 故选：B 【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 10. 已知实数x，y满足x>0，y>0，且，则x＋2y的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由可得x＋2y＝(x＋2y)，展开利用基本不等式求范围. 【详解】因为x>0，y>0，且， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝， 当且仅当，即x＝4，y＝2时等号成立． 故选：D 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，注意不等式成立的条件，属于基础题. 11. 如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥的体积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】三棱锥的底面积是长方体底面积的一半，高为长方体的，故体积为长方体的. 【详解】 故选：C. 12. 已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，，40，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求出甲组的第30百分位数为第2项，求出，第50百分位数为中位数，从而求出，即可求出, 【详解】因为， 所以第30百分位数为，第50百分位数为， 所以，所以 故选：B 【点睛】本题考查了样本数据中的数字特征，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13. i是虚数单位，复数________________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可. 【详解】， 故答案为：. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 14. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取______件. 【答案】12 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可. 【详解】由题意知分层比为，且总抽量为件 故甲产品应抽件 故答案为：12 15. 已知向量，满足，且，，则与的夹角为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且，， 所以，即，解得， 所以，又，所以. 故答案为： 16. 已知，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式化简，即可求解. 【详解】， 即，即 即，解得 故答案为：2 三、解答题：（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 设． （1）求的值； （2）若，求t值. 【答案】（1）0 （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的特征可计算； （2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 18. 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质求的最值即可. （2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围． 【小问1详解】 当时，， ∴在上单凋递减，在上单调递增， ∴，. 【小问2详解】 ， ∴要使在上为单调函数，只需或，解得或． ∴实数a的取值范围为． 19. 我校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是，，，，． （1）求图中a的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均数，众数和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）． 【答案】（1） （2）平均数：（分）；众数：（分）；中位数：（分） 【解析】 【分析】（1）根据长方形面积之和为可解； （2）根据（1）所求，再按照平均数，众数，中位数求解方法进行计算即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，得，解得. 【小问2详解】 这100名学生语文成绩的平均数为（分）； 数据最多的在第二组，则众数为（分）； ∵这100名学生语文成绩在的频率为， 这100名学生语文成绩在的频率为， ∴这100名学生语文成绩的中位数为（分）． 20. 在如图所示的四棱锥中，已知平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 【答案】（1）取的中点，连接， 由于，为中点，则且． ∵且， ∴且， ∴四边形MECB是平行四边形， ∴.又平面PAB，平面， ∴平面． （2）∵平面，平面， ∴， 又, 故， ∴． ∵，平面, ∴平面，又平面， ∴平面平面． 【解析】 【分析】（1）根据中点关系可证明四边形MECB是平行四边形，即可根据线线平行求证, （2）根据勾股定理可证明，根据线面垂直的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2） 【解析】 【分析】 （1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，. 因为，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 22. 已知，，． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，单调减区间为；（2）最大值为3，最小值为0． 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想. （2）根据（1）的结果及的范围求出的范围，从而计算出函数的最值. 【详解】解：，， 由 ， 的最小正周期， 由， 得：， 的单调递减区间为，； 由可得： 当时，函数取得最小值为 当时，函数取得最大值为 故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $