1.2子集、全集、补集讲义-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

导语 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5，5<7，5>3等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？比如，一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？ 一、子集与真子集 问题1　观察下面的几个例子，请同学们说出两个集合元素有何特点？ (1)C为某校高一(二)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (2)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 知识梳理 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A A⫋B或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A，则A＝B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A，B，C，若A⫋B且B⫋C，则A⫋C； (2)对于集合A，B，若A⊆B且A≠B，则A⫋B； (3)若A≠∅，则∅⫋A 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 例1　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 延伸探究　对于例题(1)中的集合A＝{－1，1}，试写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 跟踪训练1　(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是(　　) A．M＝N B．N⫋M C．M⫋N D．N⊆M (2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个． 二、补集 问题2　如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？ 知识梳理 1．全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 2．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A；(3)∁SS＝∅，∁S∅＝S 例2　设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则∁UM等于(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2，或x>2} D．{x|x≤－2，或x≥2} 跟踪训练2　已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，则∁UA＝________. 三、由集合间的关系求参数范围 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⫋A，求实数m的取值范围. 延伸探究 1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 2．若本例条件“B⫋A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 跟踪训练3　(1)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． (2)已知集合A＝{x|x<－2，或x>5}，B＝{x|m≤x<m＋1}． ①求∁RA； ②若B⊆∁RA，求实数m的取值范围． 1．集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则(　　) A．B∈A B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B 2．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A等于(　　) A．{0} B．{1} C．∅ D．{0，1} 3．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 4．若全集U＝{1，2，3，4，5}且∁UA＝{2，3}，则集合A的真子集共有________个． 1．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，x}，若B⊆A，则x可以取的值为(　　) A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6 C．1，2，3，6 D．1，2，6 2．(多选)已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是(　　) A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0，1}⊆A 3．已知全集U＝R，M＝{x|－3≤x<5}，则∁UM等于(　　) A．{x|x<－3，或x≥5} B．{x|x≤－3，或x＞5} C．{x|x<－3，且x≥5} D．{x|x≤－3，且x>5} 4．若全集U＝{1，2，3，4，5}，且∁UA＝{x|1≤x≤3，x∈N}，则集合A的真子集共有(　　) A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 5．若集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＝1}，且B⊆A，则实数a取值的集合为(　　) A．{－1} B．{1} C．{－1，1} D．{1，－1，0} 6．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是(　　) A．2 B．8 C．－2 D．－8 7．已知集合M＝{3，2a}，N＝{a＋1，3}，若M⊆N，则a＝________. 8．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A⊆∁UB，则a的取值范围为________． 9．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}． (1)求∁RA； (2)若A⊆B，求实数a的取值范围． 10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C. 11．满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有(　　) A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 12．集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是(　　) A．S⫋P⫋M B．S＝P⫋M C．S⫋P＝M D．P＝M⫋S 13．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有(　　) A．M⊆∁UN B．∁UN⊆M C．∁UM＝∁UN D．M⊆N 14．设全集U＝{2，3，2a－3}，A＝{2，b}，∁UA＝{5}，则a＝________，b＝________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$