10.2事件的相互独立性课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2 事件的相互独立性 试验1： 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率. 探究：下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 思考2：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？ 思考1：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为 Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点， A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}， 所以AB={(1,0)}． 由古典概型概率计算公式， 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”. 因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率. 思考1：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ 思考2：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？ 样本空间 Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}}，包含16个等可能的样本点， A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}， B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}， 所以AB={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}． 积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积. 相互独立事件的定义： 对任意事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立． 归纳总结 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 6 练习1.判断下列事件是否为相互独立事件. ① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了. ②袋中有3个红球，2个白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球. ③袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球. 7 广东省阳江市第一中学周如钢 根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生． 思考：必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立吗？ 设A为任意事件，因为P(Ω)=1，P(Ø)=0， 所以，P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立． 因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立． 探究：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B互相独立，那么它们的对立事件是否也互相独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与 与B， 与 是否独立，你有什么发现？ （1）必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. （2）若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: 注意：当三个事件A、B、C两两独立时， 等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立. 相互独立事件的性质 归纳总结 互斥事件 相互独立事件 定义 概率公式 不可能同时发生的两个事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 相互独立事件与互斥事件的区别 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 推广：若 A1，A2 ，… ，An，相互独立，则 11 广东省阳江市第一中学周游数 例1：一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”,那么事件A与B是否独立？ 解：因为样本空间 Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12个等可能样本点，即n(Ω)=12 A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，n(A)=6， B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，n(B)=6， 所以AB={(1,2)，(2,1)}，n(AB)=2． 所以 此时P(AB)≠P(A)P(B), 因此，事件A与事件B不独立. 12 归纳总结 判断两个事件是否相互独立的方法 （3）转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立, 转化为判断A与  , 与B, 与  是否具有独立性.   （1）直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. （2）定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A，B，C中哪两个相互独立？ P249练习 解： 14 2.设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b}，B={a,c}，C={a,d}.请验证A,B,C三个事件中两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 解： ∵ A={a,b}，B={a,c} ，C={a,d} ， ∴ A={a} ，AC={a} ，BC={a} ，ABC={a} ， ∴ P(A)=P(B)=P(C)= 　，P(AB)=P(AC)=P(BC)= ∴ P(A)P(B)P(C)= 　P(ABC)= ∴ P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)= P(A)P(C) ，P(BC)=P(B)P(C) ， 即A,B,C三个事件中两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 15 例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶； 　 (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； 　 (4)至少有一人中靶． 解： 16 解： (2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶． 解： 说明：已知两个事件A,B,那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B中至多有一个发生为事件    . (3)A,B恰好有一个发生为事件 . (5)A,B都不发生为事件     .  (4)A,B都发生为事件AB. (6)A,B不都发生为事件    . P249练习3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:（1）甲、乙两地都降雨的概率; （2）甲、乙两地都不降雨的概率;（3）至少一个地方降雨的概率； 解：设事件A=“甲地降雨”，事件B=“乙地降雨”，由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3,且事件A与B相互独立. (1)因为AB=“甲、乙两地都降雨”， (2)因为　　=“甲、乙两地都不降雨”， （3）因为 =“至少一个地方降雨”， 20 例3：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概为 ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． 分析：两轮活动中猜对3个成语，相当于事件“甲猜对１个，乙猜对2个，“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生. 21 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 解： 22 1.相互独立事件的定义： 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立． 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 2.若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)； 3.必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立； 4.若事件A与B相互独立，则 相互独立． 课堂小结 23 求较复杂事件概率 正向 反向 对立事件的概率 分类 分步 P(A+B)= P(A) + P (B) P(A·B)= P(A) · P (B) ( 互斥事件) ( 互独事件) 独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立. 项目 互斥事件 相互独立事件 定义 不可能同时发生的两个事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 概率 公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) P(AB)＝P(A)P(B) 求较复杂事件的概率的方法 是 不是 是 提示　对于A与，因为A＝AB∪A，而且AB与A互斥， 所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)， 所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P(). 由事件的独立性定义，知A与相互独立. 类似地，可以证明事件与B，与也都相互独立. $$