10.1.3古典概型课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.3 古典概型 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω 事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示 知识回顾 (1)包含关系、相等关系的判定 ①事件的包含关系与集合的包含关系相似； ②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生． (2)判断事件是否互斥的两个步骤 第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． (3)判断事件是否对立的两个步骤 第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 3 正面朝上 反面朝上 4点 1点 2点 3点 5点 6点 探究一：古典概型 试验1：抛掷一枚质地均匀的硬币一次，观察朝上的面. 试验2：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，观察可能出现的点数. 试验3：一只袋子中放入3个黑球、2个绿球和1个红球，所有球除颜色外一切相同，从袋子中任意摸出1个球，观察可能出现的结果.（用数字m表示摸到的球号） 4 思考２：观察对比，找出这三个试验有什么共同特征？ 样本空间的样本点只有有限个； 每个样本点发生的可能性相等. 古典概率模型 思考１：试验1、2、3的样本空间是什么？每个样本点出现的可能性又是多少？完成表格. 样本空间 样本点出现 的可能性 试验1 试验2 试验3 {正面朝上，反面朝上} {1点，2点，3点，4点，5点，6点 } {黑球1,黑球2 ,黑球3,绿球4,绿球5,红球6} 5 （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 归纳:古典概型 6 练习：下列概率模型中，有几个是古典概型(　 ) ①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率； ②从1～10中任意取出一个整数，求取到1的概率； ③向一个正方形ABCD内投一点P，求P刚好与点A重合的概率； ④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 探究二：古典概型的概率 思考3：考虑下面两个随机试验,如何度量事件A和B发生的可能性大小? (1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”; 分析：古典概型 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．　 男生数与班级学生数的比值来度量． 这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A= “抽到男生”包含18个样本点． 因此，事件A发生的可能性大小为 　 0 1 借助树状图列出试验的所有样本点： 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 第一次 第二次 第三次 000 001 010 011 100 101 110 111 可能的结果 (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好一次正面朝上”. 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”. 样本空间：{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1) (1,0,0), (1,0,1 ),(1,1,0),(1,1,1)}. 共8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是 一个古典概型． 分析： 9 事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小 因为B={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的 可能性大小为 用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量． 样本空间：{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1) (1,0,0), (1,0,1 ),(1,1,0),(1,1,1)}. 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 归纳总结: 古典概型的概率计算公式 11 例7：单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？ 解：试验有选A、选B、选C、选D共四种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A，B，C，D}． 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型． 设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，则n(M)=1， 所以，考生随机选择一个答案，答对的概率 12 思考４： 在标准化的考试中也有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的），你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？ 分析：在多选题中有15个可能结果，试验的样本空间可以表示为 Ω={A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD}． 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型． 设N=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，则n(N)=1， 所以，考生随机选择一个答案，答对的概率 比单选题答对的概率 小得多，所以多选题更难答对． 反思归纳 利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤 (1)判断事件是否是古典概型； (2)确定样本空间的样本点的总数n（A）； (3)确定所求事件A包含的样本点的个数n（Ω）； 1.从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： （1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；（3）抽到的牌是方片；（4）抽到的J或Q或K；（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色. 解：从 52 张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，样本空间 Ω 包含 52 个样本点. （1）设事件A = “抽到的牌是7” ，则 （2）设事件B = “抽到的牌不是 7” ，则 练习 课本241页 15 解：（3）设事件C = “抽到的牌是方片” ，则 （5）设事件 E ＝ “抽到的牌既是红心又是草花” ，则P(E)=0. （4）设事件 D=“抽到J或Q或K” ，则 （6）设事件F ＝ “抽到的牌比6 大比9 小” ，则n(A)=2×4=8（张）,所以 （7）设事件 G = “抽到的牌是红花色”,n(G)=2×13=26（张），所以概率为 （8）设事件H=“抽到的牌是红花色或黑花色”,则P(H)＝ 1． 16 2.从0~9这10个数中随机选择一个数，下列事件的概率： （1）这个数平方的个位数字为１；（2）这个数的四次方的个位数字为１. 解：设A=“取到的数的平方的个位数字为１”，B=“取到的数的的四次方的个位数字为1”， 试验的样本空间为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，这10个样本点是等可能的，其中数中随机选择一个数， A={1，9}，B={1，3，7，9}. 所以 17 例8: 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. （1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 解：用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现点数是n， 则用（m，n）表示这个试验的一个样本点. m \ n 列表: 列表法 样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}. 共有36个样本点. 由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型. 样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}. 共有36个样本点. 由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型. 另解：用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现点数是n， 则用（m，n）表示这个试验的一个样本点. 树状图: 1 2 3 4 5 6 1 2 2 3 4 5 6 1 3 2 3 4 5 6 1 4 2 3 4 5 6 1 5 2 3 4 5 6 1 6 2 3 4 5 6 1 树状图法 （2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”；C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ 号骰子的点数” . 解： ∵ 思考5：在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 不记号，则不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如 (1,2)和(2,1)的结果将无法区别. 不记号时，试验的样本空间Ω1={(m，n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n}，则n(Ω1)=21. 其中，事件A =“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)}，这时 m \ n 思考6： 同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢? 36个结果都是等可能的； 合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率. 因此 是错误的. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例9：袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: （1）A = “第一次摸到红球”； （2）B= “第二次摸到红球”； （3）AB = “两次都摸到红球”. 解：将两个红球编号为1、2，三个黄球编号为3、4、5. 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有4种等可能的结果. 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用下表表示. 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × (1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)， 即A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)}， (2)第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2列)， 即B={(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)}， (3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1，2)，(2，1)}， 思考：如果同时摸出2个球,那么事件AB的概率是多少? 样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)， (2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}. 共有10个样本点. 求解古典概型问题的一般思路: （1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）； （2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率. 归纳总结 说明：我们一般用列举法（树状图法，列表法 ）列出所有的样本点. 例10：从两名男生(记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人.（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间. 解：根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间 Ω1= {(B1，B1)，(B1，B2)， (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)， (B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)， (G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)， (G2，G2)}. 不放回简单随机抽样的样本空间 Ω2= {(B1，B2)， (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，B1)，(B2，G1)， (B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)， (G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)} 按性别等比例分层抽样，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间： Ω3= { (B1，G1)， (B1，G2)，(B2，G1)， (B2，G2)} . 解：设事件A=“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样， A={(B1，B1)，(B1，B2)， (B2，B1)，(B2，B2)}． 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以且这是一个古典概型．因此 （2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 则对于不放回简单随机抽样，A={(B1，B2)， (B2，B1)}． 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此 按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A=Ø， 因此 P(A)=0． 思考： 对于不同的抽样方法有什么区别？ 29 $$