精品解析：山东省枣庄市辅仁高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷

辅仁高级中学4月月考高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的虚部为（ ） A. B. C. 0 D. 2. 已知平面向量，，，则（ ） A. 6 B. C. D. 3. 若为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，那么在上的投影向量的坐标是（ ）． A. B. C. D. 5. 在中，已知，，，则等于（    ） A. B. C. 2 D. 1 6. 已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是 A. B. C. D. 7. 如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2km，山高为，B是母线SA上一点，且.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡.当公路长度最短时，下坡路段长为（ ） A. B. 3km C. 3.6km D. 8. 已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 非零向量，，满足且与同向，则 D. 非零向量，，满足，则与的夹角为30° 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则该三角形周长的最大值为6 C. 若的面积为2，a，b，c边上的高分别为，且，则的最大值为 D. 设，且，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为__________． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为__________． 14. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，且，则角A=________；若角A的平分线为AD，则线段AD的长为________. 15. 已知，，求： （1）； （2） . 16. 已知复数． （Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数； （Ⅱ）当时，化简． 17. 如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点. （1）求； （2）若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求的面积． 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 （1）设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值； （2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辅仁高级中学4月月考高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的虚部为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简，进而求得的虚部. 【详解】， 所以的虚部是. 故选：D 2. 已知平面向量，，，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由向量平行的坐标公式求解即可. 【详解】由题意知：，解得. 故选：C. 3. 若为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法化简复数为一般形式，利用复数的基本概念可得出关于实数所满足的等式，由此可求得实数的值. 【详解】， 由于该复数为纯虚数，则，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复数的基本概念求参数，解题的关键在于利用复数的除法法则化简复数，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知平面向量，，那么在上的投影向量的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的公式以及向量数量积和向量模的坐标运算求解. 【详解】平面向量，， 在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的坐标是. 故选：C 5. 在中，已知，，，则等于（    ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求得. 【详解】由正弦定理，, 解得. 故选：A 6. 已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】、 此棱柱为正棱柱，体积 的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2， 底面正三角形内切圆的半径为1， 故底面三角形高为3边长为 ，所以正三棱柱的表面积 【点睛】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正三角形的内切圆与边长的关系得出的． 7. 如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2km，山高为，B是母线SA上一点，且.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡.当公路长度最短时，下坡路段长为（ ） A. B. 3km C. 3.6km D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值． 【详解】由题意，半径为，山高为，则母线， 底面圆周长，所以展开图的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图， 结合题意，， 由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值，即点为公路的最高点，段即为下坡路段， 则，即，得 下坡路段长度为． 故选：C. 8. 已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 如图设，，则，即可得到，从而求出参数的取值范围. 【详解】解：如图设， 则 则 故选： 【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等，属于中档题. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】解方程可得与，进而判断各选项. 【详解】由， 得，， 故，A选项错误； ，，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确. 故选：BD. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 非零向量，，满足且与同向，则 D. 非零向量，，满足，则与的夹角为30° 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而可求出的取值范围；对于B，判断两个向量是否共线；对于C，根据向量不能比较大小即可判断；对于D，由，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【详解】解：对于A选项， ，，与的夹角为锐角， ，且，所以，故A错误； 对于B选项，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确； 对于C选项，且与同向，向量依然不能比较大小，故C错误； 对于D选项，因为，两边平方得，则， ， 故，而向量的夹角范围为， 得与的夹角为，即为30°，故D项正确. 故选：BD 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则该三角形周长的最大值为6 C. 若的面积为2，a，b，c边上的高分别为，且，则的最大值为 D. 设，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到，求出，A正确；B选项，由余弦定理结合基本不等式求出周长的最值；C选项，利用三角形面积公式，得到，，利用余弦定理及基本不等式求出，从而求出，C正确；D选项，变形为，两边平方后得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【详解】A选项，，由正弦定理可得：， 而， 故， 因为且位于分母位置，故， 所以， 又， 所以，故A错误； B选项，由A选项知：，由余弦定理得： ， 所以，，当且仅当时等号成立， 此时，所以周长的最大值为6，故B正确； C选项，结合三角形面积公式得，，， 则， 又因为，所以， 结合余弦定理得，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 所以的最大值为，故C正确； 对于D选项，因为，即， ， 两边平方并化简得， 即，，， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由复数的概念列方程组求解即可. 【详解】由于复数（为虚数单位）是纯虚数，所以， 解得， 故答案为：2. 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，得到底面面积为，周长为，高为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而求得圆锥的表面积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为， 则圆锥底面圆面积为，周长为，高为， 可得，解得， 所以该圆锥的表面积为． 故答案为：. 14. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，且，则角A=________；若角A的平分线为AD，则线段AD的长为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正弦定理求出，求出的值即可，结合正弦定理以及余弦定理求出即可． 【详解】解：由，，由正弦定理，， ，，或， 是锐角三角形，， 如图示： 平分， 由正弦定理得：，， ，， ，， ， ，， 在中，，， 在中，，， 故答案为：，． 15. 已知，，求： （1）； （2） . 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示式计算即得； （2）先计算出的坐标，再求其模长即得. 【小问1详解】 因为，， 所以； 【小问2详解】 因为，，则，于是. 16. 已知复数． （Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数； （Ⅱ）当时，化简． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）复数的实部为0,虚部不为0．（Ⅱ）当时，．先将整理即分母两复数做加法,分子完全平方,之后再分母实数化即分子分母同乘以分母的共轭复数． 试题解析：（Ⅰ）当时，解得， 即时，复数为纯虚数． （Ⅱ）当时，， 17. 如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点. （1）求； （2）若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算表示，，根据向量垂直的条件求得，继而可求得； （2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，设点，且，，运用二次函数的性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：， ， 又，所以，所以， 由得， 所以 . 所以； 【小问2详解】 解：以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则 ，，，，，， 又点为线段上的任意一点，设点，且，则，， 所以， 所以当时，取得最大值：， 当或时，取得最小值：， 所以的取值范围为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得； （2）首先求出，再利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为，由余弦定理可得， 即， 所以． 因为，所以． 【小问2详解】 解：由于，所以， 由正弦定理，即，解得， 又， 所以的面积为． 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 （1）设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值； （2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求出，进而由余弦定理求出，利用三角形面积公式得，利用平面向量基本定理及数量积运算法则得到答案； （2）由正弦定理得到，利用锐角三角形，求得，进而求出，由面积公式求得. 【小问1详解】 ，由正弦定理得： ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 因为，，由余弦定理得：， 因为，所以， 其中， 所以， 因为点E为线段BD的中点，所以， 由题意得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：，又， 由正弦定理得：， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得：， 则，，， 故， 面积为 故面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $