精品解析：云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

云南大学附属中学星耀学校2023—2024学年（下）期中考试 高二数学试卷 （考试时长：120分钟 总分：150分） 一 .选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是可导函数，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 2. 核糖核酸（缩写为RNA），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A，C，G，U中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法， 根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为． 故选：B 3. 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据瞬时速度含义，求导运算即可. 【详解】因为物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系， 所以，令，得. 故选：A 4. 教室里一个日光灯管使用时长在年以上的概率为，则个日光灯管在使用年内恰好坏了一个的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布求解即可. 【详解】日光灯管使用时长在年以上的概率为，则1个日光灯管在1年内损坏的概率为， 设在一年内日光灯管损坏的个数为随机变量，则， 所以个日光灯管在使用年内恰好坏了一个的概率， 故选：A 5. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 6. 已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意，利用全概率公式即可得解. 【详解】设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”， 依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同）， 所以，，，， 则所求概率为. 故选：B 7. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，然后根据导函数为单调函数，利用零点存在定理列式计算. 【详解】由已知得，明显为单调递增函数， 若函数在上有极值点， 则且，解得.即. 故选：C. 8. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ） （附：若，则， A. 0.99865 B. 0.97725 C. 0.84135 D. 0.65865 【答案】B 【解析】 【分析】正态随机变量的均值方差可由二项分布的均值方差公式来近似，根据题中所给数据运算即可得解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为， 则. 由题意，且， 因为，即， 所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为. 故选：B. 二 . 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的极差和平均数相等，则 B. 数据的第80百分位数为10.5 C. 若，则 D. 若，随机变量，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平均数和极差公式即可得到关于的方程，则可判断A；利用百分位数计算公式即可判断B；根据正态分布的性质即可判断C；根据二项分布的均值的性质即可判断D. 【详解】对于A，当时，，解得，当时，， 解得，当时，，无解，故A不正确； 对于B，由于，所以数据，16的第80百分位数为12，故B不正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，若，则， 所以随机变量的期望，故D正确. 故选：CD. 10. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为45 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可. 【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知, 又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以, 所以二项式为, 则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误； 由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大, 因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确； 若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确； 由通项可得,解得,所以系数为,故D正确, 故选: BCD 【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力. 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有两个极值点 B. 当时，函数在上有最小值 C. 当时，函数有三个零点 D. 当时，函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用判别式和函数极值点的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断D选项的正误. 【详解】因为，则. 对于A选项，当时，，即方程有两个不等的实根， 此时，函数有两个极值点，A对； 对于B选项，当时，设的两个不等的实根分别为、，且， 由韦达定理可得，必有， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 故函数在上有最小值，B对； 对于C选项，当时，，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增. 所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数只有两个零点，C错. 对于D选项，当且时，，故函数在上单调递增，D对. 故选：ABD. 三 . 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案直接写在答题卡上. 12. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 【答案】60 【解析】 【分析】定序问题采用倍缩法进行求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 13. 已知函数，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求，令，求得，可得，从而可解. 【详解】由题意，， 则， 所以，则， 则. 故答案为：1 14. “三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是______（填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是______. 【答案】 ①. 会 ②. 【解析】 【分析】设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式即可得解. 【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门， 若车在，则打开的概率是， 若车在，则打开的概率为1， 被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1）， 也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2）， 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大， 所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大， 所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率， 用概率论公式来分析，我们得到： 车在门的概率为：， 车在门的概率为：. 故答案为：会；. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 四 . 解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】分析：灵活运用排列组合公式． 详解：（1）（+）÷ =÷ ==； （2）3=2+6， ∴3x（x﹣1）（x﹣2）=2x（x+1）+6x（x﹣1）， 化简得3x2﹣17x+10=0， 解得x=5，x=（不合题意，舍去）； ∴x=5． 点睛：本题主要考查了组合及组合数、排列公式的灵活应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 16. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证是否符合题意即可； （2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值. 【小问1详解】 由已知 令得或， 当时，令得或，令得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符； 当，即时，令得或，令得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意； 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，函数单调递增， 令，得，函数单调递减， 所以. 17. 机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了型､型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心为机器人的出发点，型､型两个机器人别从出发点出发沿路线任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的；型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以表示型机器人为了离开房间尝试的次数，以表示型机器人为了离开房间尝试的次数. （1）试求离散型随机变量的分布列和期望； （2）求的概率. 【答案】（1）分布列： 1 2 3 数学期望为2 （2） 【解析】 【分析】（1）写出的可能取值，再分别写出其分布列，计算期望即可； （2）根据独立事件的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 . 【小问2详解】 ， ， 则 . 18. 已知函数 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论在区间上的零点个数. 【答案】（1） （2） （3） 当或时，在上有唯一的零点； 当时，在上有两个零点． 【解析】 【分析】（1）依据给定条件求出切点，利用导数的几何意义得到斜率，求出切线方程即可. （2）利用分离参数法结合导数求解取值范围即可. （3）对参数范围分类讨论，结合零点存在性定理求解零点个数即可. 【小问1详解】 当时，，其定义域为，， ，，函数的切点坐标为，切线斜率为， 因此，函数在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 在时恒成立， 则在上恒成立， 设，则， 设，则，当时， 故在上单调递增，所以； 故当时，，当时， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故； 所以，即. 【小问3详解】 因为，所以， 而当时，，此时若， 则恒成立，在上单调递增， 又，所以只有一个零点； 当时，且令， 故恒成立，可得单调递增， ， 当时，，故单调递增， 而，因此只有一个零点， 当时，，而， 故，可得使得 并且当时，令，可得单调递减， 当时，令，可得单调递增， 若时，在上无零点， 又，所以在上只有一个唯一零点， 时，在上有两个零点 综上所述，当或时，在上有唯一的零点； 当时，在上有两个零点． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是求解出含参函数的导数，然后对参数范围合理讨论，结合零点存在性定理得到所要求的不同情况零点个数即可． 19. 已知点、、是抛物线上的点，且． （1）若点的坐标为，则动直线是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由． （2）若，求面积的最小值． 【答案】（1）直线过定点； （2）. 【解析】 【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可得出、所满足的等式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标； （2）分和两种情况讨论，在时，直接计算出的面积，在时，将的面积表示为的表达式，求出面积的取值范围，综合可得结果. 【小问1详解】 设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、，则且， 联立可得，， 由韦达定理可得，， ，同理， ， 所以，，可得， 故直线的方程为， 因此，直线过定点. 【小问2详解】 解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，记线段的中点为点. ①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴， 因为，则点为坐标原点，又因为，则为等腰直角三角形， 则的两腰所在直线的方程为，联立，解得或， 此时，，； ②当时，，，即点， 因为，则， 设点，其中且，，， 由已知可得 ， 所以，，则， 直线的斜率为，可得， 所以，，当时，等式不成立， 所以，且， 所以，，则 ， 所以，， 故. 综上所述，. 因此，面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南大学附属中学星耀学校2023—2024学年（下）期中考试 高二数学试卷 （考试时长：120分钟 总分：150分） 一 .选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是可导函数，且，则（　　） A. B. C. D. 2. 核糖核酸（缩写为RNA），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 教室里一个日光灯管使用时长在年以上的概率为，则个日光灯管在使用年内恰好坏了一个的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ） （附：若，则， A. 0.99865 B. 0.97725 C. 0.84135 D. 0.65865 二 . 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的极差和平均数相等，则 B. 数据的第80百分位数为10.5 C. 若，则 D. 若，随机变量，则 10. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为45 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有两个极值点 B. 当时，函数在上有最小值 C. 当时，函数有三个零点 D. 当时，函数在上单调递增 三 . 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案直接写在答题卡上. 12. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 13. 已知函数，则的值为______． 14. “三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是______（填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是______. 四 . 解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）解方程：． 16. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 17. 机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了型､型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心为机器人的出发点，型､型两个机器人别从出发点出发沿路线任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的；型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以表示型机器人为了离开房间尝试的次数，以表示型机器人为了离开房间尝试的次数. （1）试求离散型随机变量的分布列和期望； （2）求的概率. 18. 已知函数 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论在区间上的零点个数. 19. 已知点、、是抛物线上的点，且． （1）若点的坐标为，则动直线是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由． （2）若，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $