精品解析：山东省济南市莱芜区教研共同体2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

2023—2024学年度第二学期5月学习成果展示八年级 数学试题 注意事项： 本试题共8页．分选择题部分和非选择题部分，选择题部分40分，非选择题部分110分，全卷满分150分．考试用时120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，每小题4分，共40分） 1. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 4. 如图， 在菱形中， 点C的坐标是， 点A 的纵坐标是1， 则点 B 的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形 中， 平分交 于点 是边上一点，连接 ，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点D，E分别在边， 上，，．若 ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形中， 分别为 的中点， 与 相交于点 ，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．正方形四个顶点坐标分别是，其中为正整数．已知正方形内部（不包含边）的整点比边上的整点多37个，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在正方形 中，点E在对角线 上，连接，作交于点F，连接交 于点H，延长交 点K，连接．下列结论：①，②；③；④若，则 ．其中结论正确的序号是（　） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分．请填在答题卡上） 11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 __． 12. 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点 ）直行2里至点，切城角（点 ）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 __里． 13. 如图，在菱形 中，对角线交 于 是 的中点，如果，那么菱形 的周长为_________． 14. 如图是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽度应为，可列方程为______． 15. 如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简______． 16. 如图，在矩形 中， ，， 、分别是、 边上的动点， ，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在▱ 中， ，是 的中点，作 ，垂足 在线段上，连接、，求证：． 20. 如图，在中， ，过点A作 的平行线与的平分线交于点D，连接 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）连接 与交于点O，过点D作 交 的延长线于点E，连接 ，若，，求的长． 21. “道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根； （2）当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形 的两条对角线的长，求菱形 的边长（用含m的代数式表示）． 23. 如图1，矩形 的一条边 ，将矩形 折叠，使得顶点落在 边上的 点处，已知折痕与边 交于点，连接、、． （1）求证： （2）如图2，擦去折痕、线段，连接 ．动点在线段上（点与点 、不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点 ．探究：当点、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由． 24. 综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 25. 如图（1），在矩形 中， ，点， 分别在边， 上（均不与端点重合），且 ，以和为邻边作矩形 ，连接，． （1）如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． 【类比探究】 （2）如图（3），当 时，矩形 绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知 ， ，当矩形 旋转至 ，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 26. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期5月学习成果展示八年级 数学试题 注意事项： 本试题共8页．分选择题部分和非选择题部分，选择题部分40分，非选择题部分110分，全卷满分150分．考试用时120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，每小题4分，共40分） 1. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法法则对C选项进行判断；根据二次根式的乘方运算对D选项进行判断． 【详解】解： ．与不能合并，所以A选项符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选： ． 2. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴墨迹覆盖了的运算符号是：． 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图， 在菱形中， 点C的坐标是， 点A 的纵坐标是1， 则点 B 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形性质等知识，连接 交 于点D，由菱形的性质得，再求出， ，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接 交 于点D， ∵四边形 是菱形， ∴， ∵点C的坐标是，点A的纵坐标是1， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：A． 5. 如图，正方形 中， 平分交 于点 是边 上一点，连接 ，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，先由正方形的性质得到，，，由角平分线的定义得到，再证明得到，即可得到． 【详解】解： 四边形 是正方形， ，，， 平分， ， 又∵ ∴， ， ， 故选：D． 6. 电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设平均每天票房的增长率为，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：， 故选：D． 7. 如图，点D，E分别在边 ， 上，，．若 ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，进而证明 ，，据此利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 故选：C． 8. 如图，平行四边形中， 分别为 的中点， 与相交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 如图所示，延长交于点 ，根据平行四边形的性质，点 是中点，可证，可得，可求出与 的关系，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点 ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，且 ，， ∴， ∴， ∵是 中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，   故选：A ． 9. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．正方形四个顶点坐标分别是，其中为正整数．已知正方形内部（不包含边）的整点比边上的整点多37个，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标规律问题，解一元二次方程，关键是根据整点的定义分别得到正方形内部（不包括边）的整点个数，边上的整点个数． 根据整点的定义分别得到正方形内部（不包括边）的整点个数，边上的整点个数，再根据正方形内部（不包括边）的整点比边上的整点多37个，列出关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图， ∵正方形的四个顶点坐标分别是，其中n为正整数， ∴正方形内部（不包括边）的整点个数为，边上的整点个数为， 依题意有， 解得：，（舍去）． 故选：B． 10. 如图，在正方形 中，点E在对角线 上，连接，作交 于点F，连接 交 于点H，延长交 点K，连接．下列结论：①，②；③；④若，则 ．其中结论正确的序号是（　） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①连接 ，证明，得到， ，利用四边形内角和和平角定义，证明，得到，则问题可证；②将 绕点C逆时针旋转，使 与 重合，得到，连，先证明，再证明，由勾股定理得到，则问题可证；③利用外角定义正，再证明则有，可得；④，证明由相似三角形性质得到，再利用得到方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ，， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 将 绕点C逆时针旋转，使 与 重合，得到，连， 由旋转可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得，， 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分．请填在答题卡上） 11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为： 12. 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点 ）直行8里有一塔（点 ），自西门（点 ）直行2里至点，切城角（点 ）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 __里． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到， ，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设这座方城每面城墙的长为里， 由题意得，，，， 里， 里， ， ， ，即， ， ∴这座方城每面城墙的长为8里， 故答案为：8． 13. 如图，在菱形 中，对角线交 于 是 的中点，如果，那么菱形 的周长为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由菱形的性质得出是 的中点，，证明 是的中位线，结合中位线的性质进行作答即可． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴是 的中点，， ∵ 是 的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∵， ∴， 则， ∴菱形 的周长为， 故答案为：． 14. 如图是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽度应为，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为，列方程为， 故答案为：． 15. 如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，二次根式化简，立方根，根据数轴分别判断 ， ，，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】解：由数轴可知，，，则， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形 中， ，， 、分别是 、 边上的动点， ，则的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且 ，连接，又因点在 上是一动点，由边与边关系，只有当点在直线上时的和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【详解】解：设，则；过点 作，且 连接，当点 、、三点共线时，的最值小；如图： 四边形是平行四边形： 由点 、、三点共线， 由四边形 是矩形． 四边形 是平行四边形． 又 在 中，由勾股定理得： 又∵，则， 解得∶， 在中，由勾股定理得： 又 又 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 18. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后合并同类项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 19. 如图，在▱ 中， ，是 的中点，作 ，垂足 在线段 上，连接、 ，求证：． 【答案】证明：延长、 交于点， 四边形 是平行四边形， ， ∴， 是 的中点， ， 在 和 中，， ， ∴， ，垂足 在线段 上， ∴ ， ∴， ． 【解析】 【分析】延长、 交于点，可证明 ，得，而 ，所以，即可证明． 此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在中， ，过点A作 的平行线与的平分线交于点D，连接 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）连接 与交于点O，过点D作 交 的延长线于点E，连接 ，若，，求的长． 【答案】（1） 证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ，且 ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 四边形 是菱形； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识： （1）通过 ， 平分，可得，等量代换可得，结合 可证四边形 是菱形； （2）根据菱形的性质得，根据直角三角形得到，设，则，由勾股定理求得，从而列得关于x的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形 是菱形， ， ，菱形 中 ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 的长为3． 21. “道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少 个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为 元/个，根据“月销售利润 每个头盔的利润 月销售量”，得出关于 的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意，得：， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为 元/个， 由题意，得：， 整理，得：， ， 或， 解得：（为让市民得到实惠，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 22. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根； （2）当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形 的两条对角线的长，求菱形 的边长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①m的取值范围为 ；②菱形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用所学知识是关键． （1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况； （2）①根据根与系数关系可得，即可求出m的取值范围；②根据菱形边长和对角线的关系即可求出，再根据根与系数关系即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ ∴不论m为何实数，方程总有实数根。 【小问2详解】 解：①由题意得： 解得：， ∴m的取值范围为 ②设菱形的边长为a，则 ∵ ∴ ∴ （舍） 所以，菱形的边长为 23. 如图1，矩形 的一条边 ，将矩形 折叠，使得顶点落在 边上的 点处，已知折痕与边 交于点，连接、、 ． （1）求证： （2）如图2，擦去折痕、线段，连接 ．动点在线段上（点与点 、 不重合），动点 在线段 的延长线上，且，连接交 于点，作于点 ．探究：当点、 在移动过程中，线段与线段 有何数量关系？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合矩形与折叠性质，得两个对应角相等，证明； （2）因为折叠性质，得则，证明，再进行线段的和差关系运算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵四边形 是矩形， ∴ 由折叠可得 ∴ ∴ 【小问2详解】 解：． 理由：如图，过点M作，交PB于点Q， ∴ 由折叠可知 ∴ ∴ ∴ 又∵ ， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 【答案】 （1）①．理由： 由题意得， ∴， ∴， ， ； ②43.2； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，位似的性质． （1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解． （2）根据位似比为，代入数据计算即可． 【详解】解：（1）①略 ② ，，，， ． ． 故答案为：． （2） ①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为， 点P的坐标为，即， 故答案为：． 25. 如图（1），在矩形 中， ，点， 分别在边 ， 上（均不与端点重合），且 ，以和为邻边作矩形 ，连接，． （1）如图（2），当 时， 与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． 【类比探究】 （2）如图（3），当 时，矩形 绕点 顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知 ， ，当矩形 旋转至 ， ，三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 【答案】（1） ， （2）与之间的数量关系发生变化， ． 理由如下： 如图（1）在矩形 和矩形 中， 当 时， ， ， ， ， ， 如图（3），连接， 矩形 绕点 顺时针旋转， ， ， ， ； （3）线段的长为 或 ． 理由如下： 当点 在线段 上时，如图3.1， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在线段上时，如图3.2， 同理，由勾股定理可求 ， ； 综上所述：线段的长为 或 ． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出， ，即可推出 ，根据矩形的性质得出 ， ， ，则 ， ，即可得出 ； （2）根据题意得出 ， ，进而得出 ， ，则，连接，通过证明 ，即可得出结论； （3）当点 在线段 上时，根据勾股定理求出，则，即可得出 ；当点在线段上时，同理可求，则 ． 【详解】解：（1） ， ． 理由如下： 当 ，则， ， ， ， 四边形 是矩形，四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ， ； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 26. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2． 【解析】 【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长． 【详解】（1）问题发现： ①如图1， ∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD， ∴ ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°， ∴∠OAB+∠ABO=140°， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°， （2）类比探究： 如图2，，∠AMB=90°，理由是： Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴， 同理得：， ∴， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ ，∠CAO=∠DBO， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°； （3）拓展延伸： ①点C与点M重合时，如图3， 同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x-2， Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=， ∴AB=2OB=2， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+(x−2)2＝(2)2， x2-x-6=0， （x-3）（x+2）=0， x1=3，x2=-2， ∴AC=3； ②点C与点M重合时，如图4， 同理得：∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+（x+2）2=(2)2. x2+x-6=0， （x+3）（x-2）=0， x1=-3，x2=2， ∴AC=2；. 综上所述，AC的长为3或2． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $