精品解析：四川省古蔺县蔺阳中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

蔺阳中学高2023级高一下学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，的坐标为，则点的坐标为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标法表示求解即可. 【详解】设点的坐标为则则则的坐标为. 故选:A. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. -6 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程求参，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，所以 所以． 故选:C. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平方关系得的值，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：A. 4. 在矩形中，，则（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】， 则. 故选：A. 5. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理即可求. 【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2. 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定角度范围得到，变换，展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 可得， 所以 . 故选：A. 7. 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算，向量模的坐标运算，结合投影向量的公式计算. 【详解】平面向量，，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D 8. 函数与函数的图像的交点个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数和的图象，由图象可得交点个数， 【详解】的最小正周期是，， 时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 与共线的单位向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设，结合模长公式可得，即可得结果. 【详解】设，且，解得， 所以或. 故选：BC. 10. 计算下列各式，结果为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用辅助角公式与和角公式可判断A项正确；用降幂公式可判断B项；利用二倍角的正切公式可判断C项；利用两角和的正切公式可判断D项. 【详解】对于A项， ，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：AD. 11. 已知函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据图象求出的解析式，进而根据三角函数的图象和性质求解ABD，根据三角函数图象平移法则判断C. 【详解】由图象可知，，， 所以函数最小正周期，所以， 又，即， 所以，所以， 由，得，所以，所以，A选项正确； 当时，，因为函数在上单调递增， 所以在区间上单调递增，B选项正确； 将的图象向左平移个单位，得函数的图象， 其中，不是函数最值，则y轴不是函数图象的对称轴， 所以不是偶函数，C选项错误； ， 所以，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直、向量四则运算和向量模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为平面向量，，， 所以，解得，即， 所以，， 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则的一个取值可以是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，所以， 因此的一个取值可以是. 故答案为：. 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 【答案】54m 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为：54m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将条件平方后，利用向量的数量积的运算求得向量的数量积，进而求得，从而得到的值； （2）根据条件利用向量的数量积的运算求得，进而得解. 【小问1详解】 由两边平方得，又， 代入得，所以， 所以. 【小问2详解】 ，∴， 又∵，∴. 16. 在中，角所对的边分别为． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角差的正弦公式可求得，由此可得. （2）由（1）及已知，利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得：， 而，则， 于是，又，即，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理， 得，解得， 所以的面积. 17. 如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，. （1）用向量，表示； （2）设向量，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可； （2）用，表达，结合三点共线即可求得. 【小问1详解】 ∵为中线上一点，且， ∴ ； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，又，，三点共线， ∴，解得，故的值为. 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1） 证明：由， 得， 即， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，故， 又，故，由， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形内角和的关系计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，借助三角函数的值域计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理可得： ， 又锐角中，有，，解得， 即，即， 故. 19. 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将其化成正弦型函数，依题求出即得； （2）先求出函数在R上的单调递增区间，再与给定区间求交即得； （3）将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立问题，通过设元，将函数化成，，判断其单调性即得，从而求得参数范围. 【小问1详解】 依题， 由题知，，. 【小问2详解】 由可得 ，， 时，的单调递增区间为，． 【小问3详解】 因在恒成立， 则 化简得， 即在恒成立 记， ，，， 又 设，则根据对勾函数性质知在上单调递增， ， ，即. 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于难题.解决此类题的关键是，根据解析式特点进行三角恒等变换，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象解决问题；对于恒成立问题，常常寻求参变分离法，将不等式恒成立问题转化为求对应函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蔺阳中学高2023级高一下学期期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，的坐标为，则点的坐标为（     ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. -6 B. 0 C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在矩形中，，则（ ） A. B. C. 8 D. 12 5. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 函数与函数的图像的交点个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 与共线的单位向量有（ ） A. B. C. D. 10. 计算下列各式，结果为的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则______ 13. 已知函数在上单调递减，则的一个取值可以是________． 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的夹角. 16. 在中，角所对的边分别为． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 17. 如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，. （1）用向量，表示； （2）设向量，，求的值. 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：； （2）求的取值范围. 19. 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $