精品解析：河南省郑州市高新区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024 学年下期期末调研 七年级 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分100分． 2．考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列道路交通安全标志牌的图案，是轴对称图形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 如图，某天气预报软件显示“郑州市 2024年 6 月 22 日的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ） A. 6 月 22 日将有的时间下雨 B. 6 月 22 日将有的地区下雨 C. 6 月 22 日下雨的可能性较大 D. 6月 22 日下雨的总降水量一定为 3. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　) A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，木工师傅在做完门框后为防止其变形，会钉上两条斜拉的木板条（即图中的，两根木条），这样做的依据是（ ） A. 两直线相交，只有一个交点 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形具有稳定性 6. 长方形周长为，设长为，宽为，则与的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. a，b，c 是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，面积记作，分别以a，c 为长和宽作长方形，面积记作，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较、的大小 8. 受潮汐影响，某港口从0时到12时港内水深情况如图．港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于4 米时，才能进出该港．一艘吃水深度(即船底与水面的距离)为2米的轮船可以进出该港的时间长大约为（ ） A. 3个小时 B. 4 个小时 C. 5个小时 D. 6个小时 9. 如图，，点E 是线段的中点，连接 恰好平分，下列说法不正确的是（ ） A. B. 线段 是 的中线 C. D. 10. 如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图 3中的（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段 _______ 12. 纳秒（）是非常小的时间单位，．北斗卫星导航系统（）是我国自行研制的全球卫星导航系统，未来在亚太地区授时精度优于12纳秒，用科学记数法表示12是________ s． 13. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是____ ． 14. 随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 ________ 千米． 15. 如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ____________． 三、解答题（本大题共7 小题，共55分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表 试验总次数 n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 （1）上表中 ， ； （2）根据上表，完成图2的折线统计图； （3）请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 18. 在△ABC中，，，作等腰三角形．如图1，小智的方法是以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形；小慧的方法是作的垂直平分线，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形． （1）根据小智的方法，是等腰三角形的依据是 ； （2）根据小慧的方法，在图2中尺规作图并求出的度数． 19. 在中，于点D，过点D作交于点G，点E为直线 上一动点（与点A，B不重合），过点E作的垂线，交直线于点F． （1）若点E在线段上，如图1所示，判断与的数量关系，并说明理由； （2）若点E不在线段上，直接写出与的数量关系为 ． 20. 郑州新郑机场是目前国内功能性口岸数量最多的内陆机场，是“空中丝绸之路”的重要节点．现有甲、乙两条自动装卸货物的流水线．如图所示，折线段、线段 分别表示甲、乙两条流水线装卸货物的重量（吨）与时间（小时）之间的关系．甲先运行一段时间后，乙开始运行，当乙运行小时，两条流水线装卸货物的重量相等，中间甲停转进行技术改进，改进后装卸效率与乙流水线相同． （1）由图象可知，甲运转 小时后，乙开始运转，甲停转了 小时； （2）乙运转过程中每小时自动装卸货物 吨，图象中的值为 ； （3）乙运转过程中，乙流水线比甲流水线装卸货物的重量多吨时，求时间的值． 21. 对于一个三位自然数 M，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称M为“儿童数”．如：三位数721，∵，，∴721是“儿童数”． （1）请你写出一个“儿童数” ；（721除外） （2）将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数 127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； （3）设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为a，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想． 22. 下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题提出】 如图1，在中，，，点D在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形． 【问题探究】 乐学组：如图2，分别以点B、点C为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点E，连接、，则即为所求作的三角形． 善思组：如图3，过点B作于点B，过点C作于点C，、相交于点E，则即为所求作的三角形． （1）乐学组得出的依据是 ，善思组得出的依据是 ．（横线上填序号：①；②；③；④） 【问题再探】 （2）善思组的同学们证得后，在图3的基础上连接，通过几何画板测量发现和的面积相等，请你一起来探究． ①在横线上填写内容或者依据； 如图4，延长线段、交于点F， ∵，， ∴ = ， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴（ ）， ②把未完成的说理过程补充完整． （3）在（2）的条件下，已知，点D是线段的三等分点，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024 学年下期期末调研 七年级 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分100分． 2．考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列道路交通安全标志牌的图案，是轴对称图形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：第一个图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 第二个图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 第三个图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 第四个图形是轴对称图形，故此选项符合题意； ∴是轴对称图形的有个． 故选：B． 2. 如图，某天气预报软件显示“郑州市 2024年 6 月 22 日的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ） A. 6 月 22 日将有的时间下雨 B. 6 月 22 日将有的地区下雨 C. 6 月 22 日下雨的可能性较大 D. 6月 22 日下雨的总降水量一定为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键． 根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答． 【详解】解：解：“郑州市 2024年 6 月 22 日的降水概率为 ”表示“郑州市6 月 22 日下雨的可能性较大”， 故选：C． 3. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确； B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误； C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误； D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误； 故选A. 【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、单项式除法与乘法、积的乘方等知识，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，木工师傅在做完门框后为防止其变形，会钉上两条斜拉的木板条（即图中的，两根木条），这样做的依据是（ ） A. 两直线相交，只有一个交点 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，掌握三角形的特点和性质是解题关键． 根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故选：D 6. 长方形周长为，设长为，宽为，则与的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了函数关系式，得到矩形的一组邻边长与矩形周长的关系是解决本题的关键． 利用矩形的边长周长的一半另一边长，把相关数值代入即可，再利用在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，进而得出答案． 【详解】解：矩形的周长是， 矩形的一组邻边的和为， 一边长为，另一边长为， ， 故选：A． 7. a，b，c 是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，面积记作，分别以a，c 为长和宽作长方形，面积记作，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较、的大小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟知平方差公式是解题的关键．利用作差法即可比较大小． 【详解】解：由题可知， ∴(， ∴， 故选B 8. 受潮汐影响，某港口从0时到12时港内水深情况如图．港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于4 米时，才能进出该港．一艘吃水深度(即船底与水面的距离)为2米的轮船可以进出该港的时间长大约为（ ） A. 3个小时 B. 4 个小时 C. 5个小时 D. 6个小时 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解决本题的关键是理解吃水的概念． 从图象上找到当水深为米的两个时间相减即可得到本题的答案． 【详解】解：∵当船底与水底间的距离不少于米时，才能进出该港． ∴水深度即船底与水面的距离为米的轮船在水深为米时才可以通航， 从图象可知水深为米的时间为1时和5时， ∴进出该港口的时间为小时， 故选：B 9. 如图，，点E 是线段的中点，连接 恰好平分，下列说法不正确的是（ ） A. B. 线段 是 的中线 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据平行线的性质判断A选项；根据中点的定义判断B选项；延长AE，交于点F，证明，然后结合等角对等边判断C选项，最后利用三角形三边关系判断D选项即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确； ∵点E 是线段的中点， ∴，即线段 是 的中线，故B选项正确； 延长AE，交于点F， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故C选项正确； ∵， ∴，故D选项不正确； 故选D． 10. 如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图 3中的（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的应用，动手实践是解此类题的关键. 由剪去的三角形与展开后的平面图形中的三角形是相同的三角形，观察形成的图案是否符合要求判断即可． 【详解】解：图中，①②③④均有可能得到． 故选：D． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段 _______ 【答案】AB∥EF（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质得∠B=∠F(或∠ACB=∠EDF),然后根据平行线的判定即可解答． 【详解】∵△ABC≌△EFD， ∴∠B=∠F，∠ACB=∠EDF， ∴AB∥EF，AC∥DE， 故答案为：AB∥EF（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解答的关键． 12. 纳秒（）是非常小的时间单位，．北斗卫星导航系统（）是我国自行研制的全球卫星导航系统，未来在亚太地区授时精度优于12纳秒，用科学记数法表示12是________ s． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：∵， ∴， 12ns用科学记数法表示得， 故答案为：． 13. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是____ ． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】如图，如图，设大正方形的边长为，则，到的距离 ∴阴影区域的面积为：，大正方形的面积是：， ∴小球最终停留在阴影区域上的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 14. 随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 ________ 千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的运算在是实际生活中的应用．先求出每的电量所走的里程，问题即可得解． 【详解】解：由题意可得，每的电量所走的里程：（千米， 当显示电量时，已行驶里程为（千米． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．首先根据三角形内角和定理得到，然后根据折叠的性质和平行线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵把沿折叠， ∴， 如图，若， ∴， ∴ ∵把沿折叠， ∴； 如图，若， ∴ ∵把沿折叠， ∴ 综上所述，的大小为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7 小题，共55分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简得，求值得 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及负指数幂和零指数幂，熟练掌握整式化简求值得步骤是解题的关键．根据整式的混合运算先化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 把，代入，得原式． 17. 数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表 试验总次数 n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 （1）上表中 ， ； （2）根据上表，完成图2的折线统计图； （3）请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 【答案】（1）；75 （2） 根据题意，折线图画图如下： （3）有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可； （3）答案不唯一，只要事件的概率为即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 解得， 故答案为：；75． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率． 18. 在△ABC中，，，作等腰三角形．如图1，小智的方法是以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形；小慧的方法是作的垂直平分线，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形． （1）根据小智的方法，是等腰三角形的依据是 ； （2）根据小慧的方法，在图2中尺规作图并求出的度数． 【答案】（1）两边相等的三角形是等腰三角形 （2）作图如图： 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义判断； （2）求出，，可得结论． 【小问1详解】 解：∵以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴根据小智的方法，是等腰三角形的依据是两边相等的三角形是等腰三角形， 故答案为：两边相等的三角形是等腰三角形； 【小问2详解】 如图所示， ∵，， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∴的度数为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 在中，于点D，过点D作交于点G，点E为直线 上一动点（与点A，B不重合），过点E作的垂线，交直线于点F． （1）若点E在线段上，如图1所示，判断与的数量关系，并说明理由； （2）若点E不在线段上，直接写出与的数量关系为 ． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用，得出，证明，得出，即可得出； （2）分当点在的延长线时，当点在的延长线时，分别讨论证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当点在的延长线时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 郑州新郑机场是目前国内功能性口岸数量最多的内陆机场，是“空中丝绸之路”的重要节点．现有甲、乙两条自动装卸货物的流水线．如图所示，折线段、线段 分别表示甲、乙两条流水线装卸货物的重量（吨）与时间（小时）之间的关系．甲先运行一段时间后，乙开始运行，当乙运行小时，两条流水线装卸货物的重量相等，中间甲停转进行技术改进，改进后装卸效率与乙流水线相同． （1）由图象可知，甲运转 小时后，乙开始运转，甲停转了 小时； （2）乙运转过程中每小时自动装卸货物 吨，图象中的值为 ； （3）乙运转过程中，乙流水线比甲流水线装卸货物的重量多吨时，求时间的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据图像可得结论； （2）根据“当乙运行小时，两条流水线装卸货物的重量相等”列式可得乙运转过程中每小时自动装卸货物的吨数；确定的解析式为，根据改进后甲继续运转且流水线装卸效率与乙流水线相同得，可设的解析式为，将点代入求出得函数的关系式，然后求出点为，则点，将点代入的解析式即可求得； （3）分两种情况：当甲停转的时候；当甲改进后重新运转后，根据题意分别列方程，即可解得答案； 解题的关键是读懂题意，能从函数图像中获取有用的信息． 【小问1详解】 解：由图可知，甲运转小时后开始停转，此时乙开始运转，甲停转了：（小时）， 故答案为：；； 【小问2详解】 根据图像可：甲运转小时时装卸货物的重量为吨，， ∵当乙运行小时，两条流水线装卸货物的重量相等，即此时乙装卸货物的重量为吨， ∴（吨/小时）， ∴乙运转过程中每小时自动装卸货物吨； ∴，， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵改进后甲继续运转且流水线装卸效率与乙流水线相同， ∴， 设的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵点在：的图像上， ∴， 解得：， 故答案为：；； 【小问3详解】 ①当甲停转时， 得：， 解得：； ②当甲改进后重新运转后， 得：， ∴乙运转过程中，乙流水线比甲流水线装卸货物的重量多吨，的值为． 21. 对于一个三位自然数 M，若它的百位数字比个位数字多6，十位数字比个位数字多1，则称M为“儿童数”．如：三位数721，∵，，∴721是“儿童数”． （1）请你写出一个“儿童数” ；（721除外） （2）将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127，用大数721减去小数 127得到差为594，差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495，用大数594减去小数495得到差为99，请你用（1）中所写“儿童数”按照程序计算结果； （3）设任意一个“儿童数”，百位数字为，十位数字为，个位数字为a，按照（2）的程序列式计算，并提出进一步的猜想． 【答案】（1）943 （2）99 （3） 结论：任意“儿童数”按照（2）的程序列式计算，最终的结果均为99， 根据题意：变换为， ∵， ∴，差为三位数； 594变换为495，即，差为两位数； 即最终的结果为99， ∴任意“儿童数”按照（2）的程序列式计算，最终的结果均为99． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，有理数的运算， （1）按照“儿童数”的特点作答即可； （2）将（1）中的“儿童数”按照给出的程序计算即可； （3）根据题意：变换为，在表示出，，作减法即可作答． 【小问1详解】 ∵，， ∴943是“儿童数”， 故答案为：943（答案不唯一）； 【小问2详解】 943变换为349，即，差为三位数； 594变换为495，即，差为两位数； 故答案为：99； 【小问3详解】 略 22. 下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题提出】 如图1，在中，，，点D在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形． 【问题探究】 乐学组：如图2，分别以点B、点C为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点E，连接、，则即为所求作的三角形． 善思组：如图3，过点B作于点B，过点C作于点C，、相交于点E，则即为所求作的三角形． （1）乐学组得出的依据是 ，善思组得出的依据是 ．（横线上填序号：①；②；③；④） 【问题再探】 （2）善思组的同学们证得后，在图3的基础上连接，通过几何画板测量发现和的面积相等，请你一起来探究． ①在横线上填写内容或者依据； 如图4，延长线段、交于点F， ∵，， ∴ = ， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴（ ）， ②把未完成的说理过程补充完整． （3）在（2）的条件下，已知，点D是线段的三等分点，请直接写出的面积． 【答案】（1）①，③ （2）①；全等三角形的对应边相等 ②补充证明： ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）6或12 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）根据题意进行三角形判定即可得出用哪个依据； （2）①推理补充即可；②得出，再证得出即可； （3）过点作，分情况求即可． 【详解】解：（1）由小明的作图可知，，， 在和中，， ∴； 由小亮的作图可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； 故答案为：①，③； （2）①如图4，延长线段、交于点F， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； ② 略 （3）如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵是线段的三等分点， ∴，或， ∴，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $