精品解析：广东省清远市四校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

2023－2024学年第二学期“四校联盟”高一级期中联考 高一数学试题 命题：毛惠邦、袁武、江井娣 做题：杨园园、黄海强 审核：伍亦富 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若均为非零向量，则 B. 若为相反向量，则 C. 相等向量 D. 若均为单位向量，则 3. 边长为1的正方形，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是（ ） A 2 B. C. D. 4. 若向量满足，则（ ） A B. C. D. 5. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 6. 如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是边BC上一点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则在上投影向量为 D. 若，则 10. 已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 B. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 D. 将函数图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 11. 已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 下图为2018年某市某天6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为_______. 14. 球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）在复数范围内解关于的方程：； （2）设是虚数单位，求复数为纯虚数的充要条件； （3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数，求点对应的复数. 16. 如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M． （1）求与所成角的余弦值； （2）设，求λ的值． 17. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求的大小； （2）若点满足，且，当时，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离； （2）设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）求函数在上的取值范围； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年第二学期“四校联盟”高一级期中联考 高一数学试题 命题：毛惠邦、袁武、江井娣 做题：杨园园、黄海强 审核：伍亦富 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数虚部、共轭复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项. 【详解】复数的虚部为，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D不正确. 故选：C. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若均为非零向量，则 B. 若为相反向量，则 C. 为相等向量 D. 若均为单位向量，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的定义和共线向量的概念，可判定A不正确；由，可判定B不正确；由，向量不一定是相等向量，可判定C不正确；根据向量的运算法则和向量的数量积的运算公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，若均为非零向量，则表示与向量共线的向量， 表示与向量共线的向量，而向量与不一定共线， 所以与不一定相等，所以A不正确； 对于B中，若为相反向量，可得，所以B不正确； 对于C中，若为相等向量，可得 ， 反之：若，则向量不一定是相等向量，所以C不正确； 对于D中，由， ，因为， 所以，所以D正确. 故选：D. 3. 边长为1的正方形，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图得出原图形的结构，然后计算面积． 【详解】由直观图知原图形是平行四边形，，，， 所以面积为． 故选：C． 4. 若向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的模长公式展开求解即可. 【详解】由两边取平方，， 则有，则， 故选：D. 5. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 6. 如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据台体的结构特征结合台体的体积公式运算求解. 【详解】 如图，过作下底面的投影，垂足为， 上底面对角线长，下底面对角线长， 则， 可得正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 故选：B 7. 如图，在中，，是边BC上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据题意，得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】设， 因为，即，且， 又因为，可得， 则， ， 所以. 故选：A. 8. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中计算，然后在中计算，最后在中计算出即可. 【详解】根据题意，， 在中，， 由正弦定理得， 所以， 在中，. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则在上的投影向量为 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则， 所以在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因为， 由可得，解得， 当时，， 此时，，， 当时，， 此时，，故D错误； 故选：AB 10. 已知函数，，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 B. 将函数图象上所有点横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用诱导公式将函数变为正弦型三角函数；再利用三角函数图象间的变换规律即可得出答案. 【详解】 由三角函数图象间的变换规律知： 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象； 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 故选：BC． 11. 已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图像求出表达式，再逐项判断即可. 【详解】由图可知，函数的周期，，由，解得， 将代入函数，可得方程，解得， 由，则，所以.A正确 对于B，由，则，根据正弦函数的对称性， 可知直线是函数的对称轴，故B正确； 对于C，由，则，根据正弦函数的单调性， 函数在上单调递增，故C正确； 对于D，由， 该函数图象向左平移个单位可得新函数的解析式为 ，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为： 13. 下图为2018年某市某天6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为_______. 【答案】13℃ 【解析】 分析】 观察图像，由最值求得，，根据周期求得，再由函数图像过点即可求出，从而得到函数解析式，令，即可求得该天8时的温度. 【详解】由题意得， ∵， ∴，∴， ∴， 将代入得，即， ∵，∴， ∴ ∴当时，， 即该天8时的温度大约为13℃. 故答案为：13℃ 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与单调性，观察图像，根据最值求得，，根据周期求得，代入特殊点求出，属于基础题. 14. 球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的外接圆半径，根据勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值，再利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】因为，，，则，所以，， 所以，的外接圆半径为， 设球的半径为，由题意可知，，即，解得， 因此，球表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）在复数范围内解关于的方程：； （2）设是虚数单位，求复数为纯虚数的充要条件； （3）在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数，求点对应的复数. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）在复数范围内解方程即可. （2）由复数的乘法和除法运算化简，再由复数的定义和充分条件、必要条件的定义求解即可； （3）由复数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即，所以. 所以在复数范围内方程的根为. （2）, 若复数为纯虚数，则，解得：， 若，则为纯虚数， 所以复数为纯虚数的充要条件为. （3）点A，B，C分别对应复数， 则，，，设， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以， 所以，所以， 解得：，所以， 故点对应的复数为. 16. 如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M． （1）求与所成角的余弦值； （2）设，求λ的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，利用坐标运算求解向量的夹角； （2）设点，利用将用表示，然后设，利用坐标运算列方程求解. 【小问1详解】 如图建立平面直角坐标系，则， 则， 所以. 即与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 设点，则， 由得， 解得，即， 设，则， 所以，解得. 17. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求的大小； （2）若点满足，且，当时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，得到； （2），在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理求出. 【小问1详解】 由于，由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以为的中点， 又，所以， 因为，， 故在中，由余弦定理得， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ， 故，所以. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离； （2）设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值. 【答案】（1）最小正周期为，相邻两条对称轴的距离为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出最小正周期，并求出图象相邻两条对称轴距离； （2）由正弦二倍角公式得到，由余弦定理求出，由基本不等式求出，从而得到面积最大值. 【小问1详解】 的最小正周期为， 它的图象相邻两条对称轴的距离为； 【小问2详解】 由题意得，即， 因为，所以，故， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得， 其中， 故面积， 故面积的最大值为. 19. 已知函数. （1）求函数在上的取值范围； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换的公式化简的解析式，利用正弦函数的性质求解即可； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得的解析式，由方程，得，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 ， ， 当时，可得，所以. 函数在上的取值范围为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则， 由方程，即，即， ，， 设，其中，即， 结合正弦函数的图象，如图， 可得方程在有6个解，即， 其中，，，，， 即，，，， ， 解得：，，，，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$