精品解析：浙江省绍兴市会稽联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2023学年第二学期绍兴会稽联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分100分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单选题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中为虚数单位.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知内角，，的对边分别为，，，若，则角（ ） A. B. C. D. 5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知圆锥的底面积为，高为，过圆锥的顶点作截面，则截面三角形面积最大为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 3 二、多选题：（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知复数，下列命题正确有（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数为 C. D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 10. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A. 在中，，，若角为钝角，则实数的取值范围为 B. 在中，若，则等腰直角三角形 C. 在中，若，则在方向上的投影向量的模为 D. 在中，若，则点为的重心 11. 已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ） A. B. 边的取值范围是 C. 面积取值范围是 D. 周长取值范围是 非选择题部分 三、填空题：（本大题共3小题，每题4分，共12分） 12. 已知一个水平放置四边形的斜二测画法的直观图是菱形，且，，则原四边形的面积是______； 13. 已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是______； 14. 已知内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 四、解答题：（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知在长方体中，，，，为棱的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 16. 如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. （1）用，表示，并求的模； （2）求的长. 17. 已知复数，，其中为虚数单位，若. （1）若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 18. 在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点. （1）若为的中点，，，求边； （2）若平分，，，求的面积. 19. 如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记. （1）若，求的长； （2）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2023学年第二学期绍兴会稽联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分100分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单选题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线与垂直的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量，， 对于A，由，所以向量与不共线，所以A错误； 对于B，由，所以与不垂直，所以B错误； 对于C，由，，可得，所以，所以C正确； 对于D，由，可得，所以向量与不共线，所以D错误. 故选：C. 2. 已知复数，其中为虚数单位.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的概念，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数为纯虚数，可得，解得. 故选：B. 3. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由，是平面内一组基底，向量与共线， 则存在实数使得，可得，解得. 故选：A. 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理角化边，进行化简，再根据余弦定理求角. 【详解】由正弦定理角化边可知，， 整理为， ，， 所以. 故选：C 5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，圆台高为，上下底面半径分别为：. 弧长公式求得，，再用圆台表面积公式解得，进而再得圆台的高为． 【详解】设，圆台高为，上下底面半径分别为：. 则，解得， 所以圆台的表面积为：， 解得，故圆台的高为：． 故选：D. 6. 在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值. 【详解】， , ， ， ， . 故选：D 7. 已知圆锥的底面积为，高为，过圆锥的顶点作截面，则截面三角形面积最大为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可． 【详解】由题知，过圆锥顶点的截面中，截面为等腰直角三角形时，截面面积最大． 圆锥的底面积为，则底面半径为，高为，求得母线为. 截面三角形面积最大为：． 故选：C. 8. 已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先求三棱柱底面三角形外接圆的半径，再求三棱柱外接球的半径，根据球的体积公式求三棱柱的高，最后代入三棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】，则，则， 所以外接圆的半径， 设，所以直三棱柱外接球的半径， 球的体积，所以，即， 所以三棱柱的体积. 故选：A 二、多选题：（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知复数，下列命题正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数为 C. D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，得到，结合复数的概念，共轭复数的概念，以及复数的模和复数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 对于A中，由复数的虚部为，所以A错误； 对于B中，由复数的共轭复数为，所以B正确； 对于C中，由复数，可得，所以C正确； 对于D中，由复数在复平面内对应的点为位于第一象限，所以D正确. 故选：BCD. 10. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A. 在中，，，若角为钝角，则实数的取值范围为 B. 在中，若，则为等腰直角三角形 C. 在中，若，则在方向上的投影向量的模为 D. 在中，若，则点为的重心 【答案】CD 【解析】 【分析】根据角为钝角，转化为数量积的正负，以及不平行，确定的取值范围；根据数量积的公式，结合余弦定理，判断三角形的形状；根据向量模的公式，判断C，根据向量的运算，转化为几何关系，结合重心的定义，即可判断D. 【详解】A.若角钝角，则，且与不平行， 则，且，解得：且，故A错误； B. 若，则，两边平方得 ，由余弦定理， 所以，所以，则， 所以为直角三角形，故B错误； C.，所以在方向上的投影向量的模为，故C正确； D.如图，点是的中点，，若，则，则三点共线，且，所以点是的重心，故D正确. 故选：CD 11. 已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ） A. B. 边的取值范围是 C. 面积取值范围是 D. 周长取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围. 【详解】A选项，由题意得，即， 因为，所以，A正确； B选项，由正弦定理得， 故， 因为锐角中，，所以， 解得，故， ，B正确； C选项，由B可知，，故， 面积取值范围是，C正确； D选项，由正弦定理得，故， 因为，所以， 故， 所以周长取值范围是，D错误. 故选：ABC 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 非选择题部分 三、填空题：（本大题共3小题，每题4分，共12分） 12. 已知一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是菱形，且，，则原四边形的面积是______； 【答案】32 【解析】 【分析】根据直观图还原四边形，再求四边形的面积. 【详解】如图，为水平放置的直观图，还原四边形， 四边形是矩形，,，所以四边形的面积为. 故答案为：32 13. 已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义，可得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆，而的几何意义为定点到圆上点的距离，进而可解. 【详解】由已知得对应点为， 由得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆， 则的几何意义为点到圆上点的距离， 如图可得最大距离为，最小距离为， 故答案为：. 14. 已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 可得， 因为为的内角，所以，则， 又因为，可得，所以， 因为，由正弦定理得， 又因为， 所以， 则， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知在长方体中，，，，为棱的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，分别求得各个面的面积，进而得到其表面积； （2）根据题意，利用棱柱和棱锥的体积公式，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：在长方体中，由，，，为棱的中点， 可得， 可得， 所以三棱锥的表面积为. 【小问2详解】 解：在长方体中，由，，，为棱的中点， 可得， 且 所以. 16. 如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. （1）用，表示，并求的模； （2）求的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）表达出，平方后求出答案； （2）由垂直关系得到. 【小问1详解】 等腰梯形，，，，，， ， 为的中点，， 作，垂足为，因为，， 所以，又，所以， ， ； 【小问2详解】 ， 又， 在中， . 17. 已知复数，，其中为虚数单位，若. （1）若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式除法运算化简，由求出，即可得到，再求出其共轭复数，最后根据复数的几何意义得解； （2）将代入方程，再由复数相等得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 ， 又，所以，解得，所以， ，则在复平面内对应的点的坐标； 【小问2详解】 是关于的方程的一个根， ，得， 所以，解得. 18. 在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点. （1）若为的中点，，，求边； （2）若平分，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式求得角，结合平面向量加法法则得，再由余弦定理求解； （2）设，由根据题意，利用余弦定理求解的值，从而得解. 【小问1详解】 ，， 为的中点，则， 平方得：， 又，， 由余弦定理得：，； 【小问2详解】 设， 若平分，，易得， 又，得，， 平分，， 即 在中，， 19. 如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记. （1）若，求长； （2）求的最小值. 【答案】（1）1 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，，从而确定点的位置，即可求解； （2）和中，利用正弦定理表示，即可得到，并利用三角函数表示，利用换元，结合基本不等式，即可求解最值. 【小问1详解】 ， 易知此时为直角三角形，则为中点，与重合， 【小问2详解】 在中，， 在中，， 换元：令，则 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$