精品解析：云南省镇雄县红叶中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

云南省镇雄县红叶中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 本试卷共4页，共19题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，角所对的边分别为，若，则角（ ） A. B. C. D. 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. 7 B. C. D. 6. 如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，P是的中点，设Q是上的点，当点Q在位置时，平面平面PAO. A. Q与C重合 B. Q与重合 C. Q为的三等分点 D. Q为的中点 7. 已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 若线段，则向量 B. 若向量，则线段 C. 若向量与共线，则线段 D. 若向量与反向共线，则 10. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 （e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 长方体被平面截得的截面是一个五边形 B. 长方体被平面截得的截面面积为 C. 与平面平行 D. 三棱锥的体积为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数满足：，则__________. 13. 已知中，，则AB中线CM长等于______. 14. 如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求向量与夹角的大小． 16. 正三棱柱中，，，点分别为的中点． （1）求证：面； （2）求三棱锥的体积． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）若，的面积为，D为边的中点，求的长度； （2）若E为边上一点，且，，求的最小值． 18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：平面PCG∥平面AEF； （3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由． 19. 如图：在斜坐标系中，轴、轴相交成60°角，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作．在此斜坐标系中，已知满足：、． （1）求的值； （2）若坐标原点为的重心（注：在斜坐标系下，若为的重心，依然有成立）． ①求的面积； ②求满足方程的实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省镇雄县红叶中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 本试卷共4页，共19题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先由复数的除法运算化简，再结合复数的概念与几何意义即可得结论. 【详解】由题意知，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法得到，进而利用向量的减法化简即得. 【详解】， 故选：D. 3. 在△ABC中，角所对的边分别为，若，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再根据C为△ABC内角，即可求出结果. 【详解】由余弦定理得， 得， 又为内角，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题. 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 5. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助投影向量定义可计算出，结合向量模长公式计算即可得. 【详解】由题意可得，向量在向量上的投影向量为， 则，解得，则， 故． 故选：D. 6. 如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，P是的中点，设Q是上的点，当点Q在位置时，平面平面PAO. A. Q与C重合 B. Q与重合 C. Q为的三等分点 D. Q为的中点 【答案】D 【解析】 【分析】 由为底面的中心，是的中点，得，当点在的中点位置时，四边形是平行四边形，从而，由此推导出平面平面. 【详解】在正方体中， 因为为底面的中心，是的中点，， 所以， 设是上的点，当点在的中点位置时，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为， 平面平面， 所以平面平面， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关空间立体几何的问题，涉及到的知识点有面面平行的判定，属于简单题目. 7. 已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【详解】由，得， 如图，分别是的中点， 则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 8. 在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，，所以O为的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，在中用余弦定理解得AE，在中用面积公式求得面积，再乘以2可得． 【详解】 如图所示， ∵，所以O为的重心， 连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF， 则四边形ABFC为平行四边形， ，， ， 即，又因为，所以， ∴，， 设，则， 在中由余弦定理得， 即，解得，即. 又， ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查解三角形的应用，考查三角形中的几何计算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 若线段，则向量 B. 若向量，则线段 C. 若向量与共线，则线段 D. 若向量与反向共线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，根据得到点B在线段上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D选项，根据向量线性运算推导出答案. 【详解】选项A：由得点B在线段上，则，A正确： 选项B；三角形，，但，B错误； 对于C：，反向共线时，，故，C错误； 选项D：,反向共线时，，故D正确． 故选：AD． 10. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 （e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，因为，所以，故不一定成立，选项A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，由，，所以,得出,选项C正确； 对于D，由C选项的分析得，得出，选项D错误. 故选：C. 11. 如图，长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 长方体被平面截得的截面是一个五边形 B. 长方体被平面截得的截面面积为 C. 与平面平行 D. 三棱锥的体积为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本事实3确定截面的形状，再求截面的面积由此判断A，B，根据直线与平面的位置关系判断C，由锥体体积公式求体积判断D. 【详解】延长交于点，延长交于点，连接分别交与点，连接，则五边形为长方体被平面截得的截面，A对， 因为，点是线段的中点，点为线段中点，所以 所以为等腰直角三角形，所以，， 又与相似，所以，又， 所以，， 所以，， 同理可得，， 在中，，， 所以的面积， 在中，，， 所以的面积， 同理的面积， 所以五边形的面积为，B对， 若与平面平行，平面，平面平面， 所以，则，但，所以与平面不平行， 所以C错， 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 由 所以，D对， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数满足：，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，根据条件等式可得且求x，写出复数即可. 【详解】令，， ∴， ∴且，则，故. 故答案为： 13. 已知中，，则AB中线CM长等于______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两次余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 14. 如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】在正方体中确定五边形即为所求截面，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】如图，连接，并延长交的延长线于，连接，交于， 延长交的延长线于，连接，交于点， 连接，则五边形即为所求截面. 易知分别是的三等分点， 则，， 所以该五边形的周长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求向量与夹角的大小． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得； （Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得； 【详解】解：（Ⅰ）因为，所以， 由，可得， 即，解得，即， 所以； （Ⅱ）依题意， 可得，即， 所以， 因为， 所以与的夹角大小是． 16. 正三棱柱中，，，点分别为的中点． （1）求证：面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明： 取中点，连接， 分别为中点，且， 为中点，四边形为平行四边形，且， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定可证得结论； （2）取中点，可证得平面，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取中点，连接， 三棱柱为正三棱柱，为正三角形，平面， ，，又，平面， 平面， ，， . 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）若，的面积为，D为边的中点，求的长度； （2）若E为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式、余弦定理以及向量的运算、模长公式进行求解. （2）利用向量的运算、模长公式以及基本不等式的常数代换法求解. 【小问1详解】 因为，的面积为， 所以， 即，又，由余弦定理可得：， 即，得， 又∵D为边的中点，∴， 则 ， 即，∴中线的长度为． 【小问2详解】 ∵E为边上一点，， ∴， ∴，即， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， 当且仅当，即取等号，有最小值． 18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：平面PCG∥平面AEF； （3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由． 【答案】（1）∵E、F分别是BC，BP中点，∴， ∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC． （2）∵E、G分别是BC、AD中点，∴AE∥CG， ∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AE∥平面PCG， 又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG， ∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF， ∴平面AEF∥平面PCG． （3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点， ∴， ∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC， ∴FN∥平面PGC， 即N点为所找的H点． 【解析】 【分析】（1）证明，EF∥平面PAC即得证；（2）证明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得证；（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，证明N点为所找的H点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图：在斜坐标系中，轴、轴相交成60°角，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作．在此斜坐标系中，已知满足：、． （1）求的值； （2）若坐标原点为的重心（注：在斜坐标系下，若为的重心，依然有成立）． ①求的面积； ②求满足方程的实数的值． 【答案】（1）0；（2）①；②； 【解析】 【分析】（1）根据向量表示法则，表示出，，作数量积运算即可； （2）①为的重心，则的面积为面积的，根据（1）知，分步计算出OA，OB，从而计算出面积； ②利用正弦定理，余弦定理，将条件化简为，代入三角形各边长求得结果. 【详解】（1）由题知，，， 则 （2）①由题知，为的重心，则的面积为面积的， 由（1）知，又，， 则面积为 ②由①知， 则，，， 则，， 设，，， 则由，结合正弦、余弦定理化简得： 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $