精品解析：河南省郑州市航空港区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年下学期期末调研卷 八年级 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 3. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，再由，两式相加进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由得，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键． 4. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 根据作图过程可以证明，进而可得结论． 【详解】∵， 在Rt和Rt中， ， ∴， ∴， ∴射线就是的平分线． 故选：C． 5. 如图，在中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A.∵， ∴四边形是平行四边形．故选项A不符合题意； B.由无法判断四边形是平行四边形．故选项B符合题意； C.， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴，即，、 又， ∴四边形是平行四边形．故选项C不符合题意； D.同理可证， ∴， ∴， 又, ∴四边形是平行四边形．故选项D不符合题意； 故选：B． 6. 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌.若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多变形的内角以及平面镶嵌的定义，解题的关键是掌握正多边形每个内角都相等．先分别得出各个正多边形的内角度数，再根据平面镶嵌的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：正三角形每个内角为， 正方形每个内角为， 正五边形每个内角为， 正六边形每个内角为， A、∵， ∴正三角形能铺满地面，不符合题意； B、∵， ∴正方形能铺满地面，不符合题意； C、∵， ∴正五边形不能铺满地面，符合题意； D、∵， ∴正六角形能铺满地面，不符合题意； 故选：C． 7. 下列命题是真命题的是( ) A. 到角两边距离相等的点在角的角平分线上 B. 若关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是 C. 若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解和增根问题、平行四边形的判定、角平分线的判定、真命题和假命题等知识，根据相关知识进行解答即可. 【详解】解：A．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上，故选项是假命题，不符合题意； B． 去分母得到，， 解得， ∵解是非负数， ∴且， 解得且， 故选项是假命题，不符合题意； C． 去分母得到，， 解得， ∵方程有增根， ∴ 解得， 故选项是真命题，符合题意； D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项是假命题，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，直线经过点和点，直线过点则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找出两图象都在x轴下方，且直线y=kx+b在直线y=2x的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】直线y=kx+b经过点A（-1，-2）和点B（-2，0）， 观察图象，当x-2时，直线y=kx+b在x轴下方， 当x-1时，直线y=kx+b在直线y=2x的上方， ∴不等式组2x＜kx+b＜0的解集为-2＜x＜-1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题(每小题3分，共15分) 10. 鱼缸里饲养两种鱼，种鱼的生长温度的范围是，种鱼的生长温度的范围是，那么鱼缸里的温度应该控制在 ______ 范围内 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，求不等式组解集的公共部分即可． 【详解】解：由题意，解得：20≤x≤25， 故答案为：20≤x≤25． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解． 11. 反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”时，首先要假设 ：_________________. 【答案】一个三角形中至少有两个内角是直角 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”的第一步是假设一个三角形中至少有两个内角是直角， 故答案为一个三角形中至少有两个内角是直角． 12. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为__________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题关键．由线段垂直平分线的性质得，从而，由三角形内角和求出即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知不等式组的解集为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 14. 如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动________秒时，三角形是直角三角形． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， 当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为(秒)； 当时，设 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为(秒)； 综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：或4． 三、解答题(本大题共8个小题，共75 分) 15. 先化简，再求值： 其中x是不等式组 的正整数解． 【答案】， ． 【解析】 【分析】先通分算括号内的，同时把除法化为乘法，约分后解出不等式组，把满足条件的整数x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为， 符合不等式解集的整数是，， 当时，分式无意义， 取，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的解集，完全平方公式及平方差公式，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，每个方格的边长均为个单位长度． （1）和关于原点成中心对称，请画出 （2）将进行平移得到，若的坐标为，则坐标为 ； （3）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、中心对称的变化规律，熟练掌握图形变化及变化过程中点的坐标变化是解题的关键，本题的难点是由已知三点确定平行四边形存在性． （）分别找出的三个顶点关于原点成中心对称的对应点，连接即可； （）由及的坐标变化判断平移方式，进而确定点的坐标； （）满足以，，，为顶点的四边形是平行四边形的点共有三个，由图可知，在轴上只有一个，且，可得点坐标为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由及，的坐标变化判断平移方式为先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵， ∴； 故答案为：． 【小问3详解】 以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点在轴上，即，由平行特性及点的坐标，可得点坐标为； 故答案为：． 17. 已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且. （1）求证：； （2）求的度数. 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键. （1）根据等边三角形的性质和已知即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到．利用三角形内角和定理进行解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴． ∴． 18. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元 （2）购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元 【解析】 【分析】（1）设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； （2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质得购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【小问1详解】 解：设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得， 甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍， ， 解得， 设所需费用为元， ， ， 随的增大而增大， 时，最小，最小值为元， 此时， 答：购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式． 19. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴的面积是： 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到是等边三角形． 20. 数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面．比如： （1）数学在生活中的应用：如图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处紧靠木板边缘，如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是 ． （2）数学在航海中的应用：如图，一艘船从处向正北航行海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则利用数学知识可得处到灯塔的距离是 海里． （3）数学在建设中的应用：如图：某地有两个村庄、和两条相交叉的公路，，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点．注意保留作图痕迹，不用写作法) 【答案】（1）平行四边形的对边平行； （2）海里； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，即可证得四边形是平行四边形，然后由平行四边形的对边平行，即可证得木板两个边缘平行； （2）根据三角形的外角性质得，从而由等腰三角形的判定得海里，即可得解； （3）连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是平行四边形的对边平行， 故答案为∶平行四边形的对边平行； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴海里， ∴处到灯塔的距离是海里 【小问3详解】 解：点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下： 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．注意有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．等腰三角形得判定及三角形得外角性质以及作图-应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解题的关键． 21. 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微.”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式： (如图1).利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题. 【理解应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式 ；由图3可得等式 ； （2）利用图3 得到的结论，解决问题：若( 则 ； 【思维拓展】 （3）已知正数，，和，，满足( .试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明 【答案】（1）；；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积； （1）根据图2、图3及正方形、长方形的面积公式可得； （2）通过对（1）中得到的公式变形再把字母的值代入可以得解； （3）构造一个边长为的正方形，并根据对各边进行分割，然后根据正方形、矩形的面积计算公式即可得解． 【详解】（1）由图2可得等式： ； 由图3可得等式： ； 故答案为：；； （2）利用图3得到的结论可得： ， ； 故答案为：； （3）根据题意，可以构造如下的正方形，其边长为：满足 从图中面积可以看出：． 22. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． （1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； （2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2）仍然成立，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下学期期末调研卷 八年级 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )． A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌.若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是( ) A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是( ) A. 到角两边距离相等的点在角的角平分线上 B. 若关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是 C. 若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 8. 如图，直线经过点和点，直线过点则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 10. 鱼缸里饲养两种鱼，种鱼的生长温度的范围是，种鱼的生长温度的范围是，那么鱼缸里的温度应该控制在 ______ 范围内 11. 反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”时，首先要假设 ：_________________. 12. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为__________． 13. 已知不等式组的解集为，则的值为_______． 14. 如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动________秒时，三角形是直角三角形． 三、解答题(本大题共8个小题，共75 分) 15. 先化简，再求值： 其中x是不等式组 的正整数解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，每个方格的边长均为个单位长度． （1）和关于原点成中心对称，请画出 （2）将进行平移得到，若的坐标为，则坐标为 ； （3）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且点在轴上，则点的坐标是 ． 17. 已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且. （1）求证：； （2）求的度数. 18. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 19. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的面积． 20. 数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面．比如： （1）数学在生活中的应用：如图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处紧靠木板边缘，如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是 ． （2）数学在航海中的应用：如图，一艘船从处向正北航行海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则利用数学知识可得处到灯塔的距离是 海里． （3）数学在建设中的应用：如图：某地有两个村庄、和两条相交叉的公路，，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点．注意保留作图痕迹，不用写作法) 21. 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微.”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式： (如图1).利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题. 【理解应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式 ；由图3可得等式 ； （2）利用图3 得到的结论，解决问题：若( 则 ； 【思维拓展】 （3）已知正数，，和，，满足( .试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明 22. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． （1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； （2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $