精品解析：河北省邯郸市大名县大名中学2023—2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023—2024学年第二学期大名中学高二年级期中考试 数学试题 一、单选题 1. 已知，则可能取值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知随机变量ξ服从正态分布，若，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 盒子里有形状大小完全相同的个红球和个白球，如果不放回的依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为 A. B. C. D. 5. 某校安排高一年级（1）～（4）班共4个班去A，B，C三个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ） A. 0.475 B. 0.525 C. 0.425 D. 0.575 7. 进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（ ） A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 8. 已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列函数求导正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，当时概率最大 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知，则 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B. 由“第行所有数之和为”猜想： C. 在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66 D. 在“杨辉三角”中，第3行所有数字的平方和恰好是第6行的中间一项的数字 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数为______________. 13. 某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，则_______，该同学投篮最有可能命中_______次． 14. 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则______． 四、解答题 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 重庆市第二外国语学校在83周年校庆时组织了“校史”知识竞赛，有两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.已知小王同学能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小王先回答A类问题，记为小王的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小王应选择先回答哪类问题？并说明理由. 17. 已知在的展开式中，第6项为常数项． 求n的值； 求展开式的所有项的系数之和； 求展开式中所有的有理项． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. （1）求出10个样品中有几个不合格产品； （2）若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列； （3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期大名中学高二年级期中考试 数学试题 一、单选题 1. 已知，则可能取值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为，则或，解得或. 故选：D. 2. 已知随机变量ξ服从正态分布，若，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布图象的对称性即可求解 【详解】∵随机变量ξ服从正态分布，∴，∴， 故选：B 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由可求得导函数及对应的函数值，进而可求，即可得处的切线方程. 【详解】的导数为， ∴， ∵， ∴曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：C. 4. 盒子里有形状大小完全相同的个红球和个白球，如果不放回的依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第一次取到白球的条件下，盒子里剩下的情况计算即可 【详解】在第一次取到白球的条件下，盒子中还有3个红球和个白球，故第二次取到红球的概率为 故选：C． 5. 某校安排高一年级（1）～（4）班共4个班去A，B，C三个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】分A基地只安排一个班与两个班两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】依题意，若A基地只安排一个班，则有种安排方法； 若A基地安排两个班，则有种安排方法； 综上可得高（1）班被安排到A基地的排法总数为种. 故选：B 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ） A. 0.475 B. 0.525 C. 0.425 D. 0.575 【答案】B 【解析】 【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可. 【详解】设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”， 则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”， 所以，，，，，， 所以接收信号为0的概率为：， 所以接收信号为1的概率为：. 故选：B. 7. 进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（ ） A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】设运输成本为元，依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的极小值点，从而得解； 【详解】解：设运输成本为元，依题意可得， 则 所以当时，当时，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值， 所以时全程运输成本最低； 故选：C 8. 已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，将问题转化为在上无解，进而研究函数性质可得，再求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 且， 因为函数有唯一的极值点， 所以有唯一正实数根， 因为，所以，故在上无解， 所以在上无解， 记，，则有， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 此时时，有最小值， 所以，即， 所以，即的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9. 下列函数求导正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数的导数计算规则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，，所以，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 10. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，当时概率最大 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由二项分布的期望和方差公式，列方程组求解；B选项，由二项分布的概率公式求解；C选项，由正态分布的对称性求解；D选项，由全概率公式求解. 【详解】随机变量服从二项分布，若， 则，解得，即，A选项错误； ，则， 设当时概率最大，则有, 即，解得， 由，所以当时概率最大，B选项正确； 随机变量服从正态分布，正态密度曲线的对称轴为，有， 若，则，C选项正确； 已知，则，由全概率公式，，即， 解得，D选项正确. 故选：BCD. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B. 由“第行所有数之和为”猜想： C. 在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66 D. 在“杨辉三角”中，第3行所有数字的平方和恰好是第6行的中间一项的数字 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据杨辉三角以及二项式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】杨辉三角对应的是展开式的二项式系数， A选项，对于，从左到右第7个数是，A选项正确. B选项，展开式的二项式系数和，B选项正确. C选项，当时，， 所以C选项错误. D选项，第3行所有数字的平方和为， 展开式中间一项的二项式系数为，所以D选项正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 所以取，得的系数为. 故答案为：. 13. 某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，则_______，该同学投篮最有可能命中_______次． 【答案】 ①. 7.68 ②. 10 【解析】 【分析】由二项分布求方差公式得到方差，设该同学投篮最有可能命中次，从而得到不等式组，求出，得到答案. 【详解】由二项分布的定义可知，， 故， 设该同学投篮最有可能命中次， 则，即， 解得，因为为正整数，所以 故答案为：7.68，10 14. 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得. 【详解】由题可得. 故答案为：2. 四、解答题 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 16. 重庆市第二外国语学校在83周年校庆时组织了“校史”知识竞赛，有两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.已知小王同学能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小王先回答A类问题，记为小王的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小王应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析 0 40 100 0.3 0.35 0.35 （2）A类，理由：若小王先回答B类问题，记为小王的累计得分， 因为，，. 所以分布列为： 0 60 100 0.5 0.15 0.35 ， ，， 所以先回答A类问题. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，，再列出分布列即可. （2）分别算出数学期望，再比较即可得到答案. 【小问1详解】 因为，，. 所以分布列为： 0 40 100 0.3 0.35 0.35 【小问2详解】略 17. 已知在的展开式中，第6项为常数项． 求n的值； 求展开式的所有项的系数之和； 求展开式中所有的有理项． 【答案】（I）；（II）；（III）有理项分别为，；. 【解析】 【分析】在二项展开式的第六项的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值；在二项展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和； 二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可求出的值，即可求得展开式中所有的有理项． 【详解】在的展开式中，第6项为 为常数项， ，． 在的展开式中， 令，可得展开式的所有项的系数之和为． 二项式的展开式的通项公式为， 令为整数，可得，5，8， 故有理项分别为， ；． 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论的值，即可根据导数的正负求解单调性， （2）根据（1）的单调性，即可根据最值求解. 【小问1详解】 因为函数，， 所以， 当时，，单调递减； 当时，由，得，解得，单调递增； 由，得，解得，单调递减； 综上：当时在R上是减函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，单调递减，又，故不满足恒成立； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 要使得恒成立，则， 即， 所以，解得， 综上，实数的取值范围为； 19. 当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. （1）求出10个样品中有几个不合格产品； （2）若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列； （3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？ 【答案】（1）10个样品中有3个不合格产品 （2） 0 1 2 3 （3）元 【解析】 【分析】（1）利用，可以求出不合格品概率，即可求出结果； （2）利用超几何分布求出分布列； （3）由样本频率估计总体，利用二项分布求出200件产品中不合格品的个数，即可求出预计维修费用. 【小问1详解】 ∵，且视为不合格， ∴∴，即10个样品中有3个不合格产品. 【小问2详解】 由（1）可知，10件样品中有3件不合格产品，有7件合格产品； ∴的可能值为0，1，2，3.∴， ， ， ， ∴分布列为: 0 1 2 3 【小问3详解】 由（1）可知，不合格品的概率为， ∴不合格品的个数， ∴200块电池中，不合格品的个数为个， 所以维修费用元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $