精品解析：江苏省无锡市江阴市三校联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

2023-2024学年第二学期高二期中考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分） 1. 物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（ ） A. 5 B. 25 C. 125 D. 625 2. 某同学逛书店，发现3本喜欢书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（　　） A. 4种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 3. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为 A. B. C. D. 7. 已知，则的大关系为（ ） A B. C. D. 8. 若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分） 9. 关于，则（ ） A B. C. D. 10. 下列正确的是（ ） A. 由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数 B. 由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数 C. 由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码 D. 由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有极小值 B. 函数在处切线的斜率为4 C. 当时，恰有三个实根 D. 若时，，则的最小值为2 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分） 12. 计算：___________.（用数字作答） 13. 已知随机变量的分布列如下，则______. 14. 已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，计77分） 15. 已知函数，当时，取得极值． （1）求解析式； （2）求在区间上的最值． 16. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； （2）展开式中系数最大的项． 17. “国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2）若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望． 18. 6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同排队方式有多少种？ （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ （3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期高二期中考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分） 1. 物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（ ） A 5 B. 25 C. 125 D. 625 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数实际意义与导数运算法则求解即可. 【详解】物体运动的方程为，则， 代入，得时的瞬时速度为. 故选：C 2. 某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（　　） A. 4种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 【答案】A 【解析】 【分析】分为买两本和买三本两种情况求解即可. 【详解】买两本，有种方案；买三本，有1种方案； 因此共有方案(种)． 故选：A. 3. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， ，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可. 【详解】由，得， 所以，又， 故曲线在点处的切线的方程为，即. 故选：A. 5 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用条件概率的公式即可求解. 【详解】由，得． 因为， 所以． 故选：C． 6. 有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率. 详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法， 其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法， 所以所求概率为，故选D. 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 7. 已知，则的大关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得. 【详解】设，则， 当时，，在上递增； 当时，，在上递减, 故. 则，即； 由可知，故. 故选：B. 8. 若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可. 【详解】根据指数函数性质在上单调递增， 故当时，则在上单调递增， ， 根据零点存在定理，在存在唯一零点， 则当时，无零点 时，， 令，则，时，则； 在上单调递减，在上单调递增， 于是时，有最小值 依题意，，解得，所以最小整数为 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分） 9. 关于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，B，D，分别令、、代入已知关系式即可求解，选项C，利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】令，则，即，故A正确； 令，则， 即， 所以，故B错误； 根据二项式展开式的通项公式：，故C错误； 令，则， 令，则， 两式相加可得，① 两式相减可得，② ②①可得， 所以，故D正确. 故选：AD 10. 下列正确的是（ ） A. 由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数 B. 由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数 C. 由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码 D. 由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列组合数进行计算即可． 【详解】由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有个，故A正确； 若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有个，故B错误； 数字1，2，3，4能够组成三位密码有个，故C正确； 若三位数比320大，则百位是4时，有个， 若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有个，则比320大的三位数有个，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有极小值 B. 函数在处切线的斜率为4 C. 当时，恰有三个实根 D. 若时，，则的最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性和极值，结合图象判断ACD，利用导数的几何意义判断B. 【详解】由题意可得：， 令，解得；令，解得或； 则在上单调递减，在上单调递增， 可知的极大值为，极小值为， 且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于， 可得的图象如下： 对于选项A：可知的极小值为，故A正确； 对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误； 对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数， 由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误； 对于选项D：若时，，则， 所以的最小值为2，故D正确； 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分） 12. 计算：___________.（用数字作答） 【答案】65 【解析】 【分析】根据排列数、组合数的运算法则，计算即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：65 13. 已知随机变量的分布列如下，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】先根据期望和方差公式求出，再根据方差的性质即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数研究时的性质，作出的图象．若关于的方程恰有个不同实数根，令，通过分析可得有2个不等实根，且，数形结合即可建立关于的不等式组，即可求解． 【详解】当时，，则， 令，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 根据题意可作出的图象如下： 若关于的方程恰有4个不同实数根， 令，，则有两个不等实数根， 故与都有2个交点，或者与有1个交点，与有3个交点； 当与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去； 当与有1个交点，与有3个交点， 则，当时，，解得， 故，解得或，舍去； 故， 两个实数根的范围为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想，作出函数的图象，通过图象得到与有1个交点，与有3个交点，并通过分析得到． 四、解答题（本大题共5小题，计77分） 15. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）的最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用极值定义可求得，可得解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论. 【小问1详解】 依题意可得， 又当时，取得极值，所以，即； 解得； 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，可得或， 当变化时，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 因此，在区间上，的最小值为，最大值为. 16. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； （2）展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式和等差中项的性质求出，再根据二项式系数的性质可求出结果； （2）设第项的系数最大，由，解出，进而求解. 【小问1详解】 的展开式的通项为，（，1，…，n）， 因为前3项的系数成等差数列， 所以， 化简得，解得或（舍）． 展开式共有9项，二项式系数最大项为. 【小问2详解】 由（1）知，展开式的通项为，（，1，…，8）， 设第项的系数最大，则， 即， 解得，则或， 所以展开式的第3项与第4项系数最大， 即和. 17. “国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2）若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1），（分） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）先利用频率和为1求出a，再利用平均值的公式进行求解即可； （2）根据分层抽样计算出7人中“防范意识差”和“防范意识强”的人数，得到随机变量X的取值的所有可能取值，再求出随机变量X每个取值的概率，可得分布列，根据期望公式可求出数学期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，，解得． 100份问卷的平均分为（分）． 【小问2详解】 从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人，则“防范意识差”的人数为，“防范意识强”的人数为． 则的所有可能的值为0，1，2． 则，，， 故的分布列为 0 1 2 . 18. 6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？ （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ （3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 【答案】（1）144 （2）1560 （3）252 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种； （2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果； （3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案. 【小问1详解】 根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列， 所以共有. 【小问2详解】 先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种； 再分到4个项目，即可得共有； 【小问3详解】 先考虑全部，则共有种排列方式， 其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种； 甲参加项目同时乙参加项目共有种， 根据题意减去不满足题意的情况共有种. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，再分，，，四种情况讨论即可得出答案； （2）函数存在单调递减区间，则在上有解，构造函数，再根据的符号分类讨论即可得解； （3）求导，由有两个极值点，得是的两个根，利用韦达定理求出，化简得，则要证，即证，即证，即证，即证，令，构造函数，利用导数求出函数的最值即可得证. 小问1详解】 ，定义域， 当时，， 当时，，当时， 在上单调递增，上单调递减； 当时，， 若，即时，，所以在上单调递增； 若，即时， 令，得， 当或时，， 当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 当时，时，，当时，， ∴在上单调递增，上单调递减， 综上所述，当时，在上递增，上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增， 在上递减； 当时，在上递增，上递减； 【小问2详解】 ， ∵函数存在单调递减区间，∴在上有解， ∵，设，则， 当时，显然在上有解； 当时，，， 由韦达定理知，， 所以必有一个正根，满足条件， 当时，有，解得， 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可知，， ∵有两个极值点， ∴是的两个根，则，    ∴ ， ∴要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， ∴在上单调递增， 则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$